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* Objetivos del Trabajo Práctico :
– Comprobar y fijar el análisis cinemático del movimiento en un plano ;
– Corroborar la certeza de las ecuaciones , en especial , la ecuación de la trayectoria para el movimiento estudiado ;
– Verificar la validez del Principio de Independencia de los movimientos ;
– Determinar gráficamente algunos parámetros del movimientos ;
* Materiales Utilizados :
– 1 plano de vidrio con una plataforma de acero , con capacidad de regulación de altura a través de un tornillo en cada apoyo de la misma . La limpieza y calidad del mismo eran precarias ;
– 1 disparador ( o lanzador ) que estaba constituido por un paralelepípedo hue co ranurado de metal , también precario ;
– 1 rodamiento de metal ( de carácter esférico ) , de peso considerable para ven cer rozamientos ; de calidad admirable y eficiencia total ;
– 1 chapa de metal , contenedora de la esfera ;
– 1 nivel de madera ;
– 4 cronómetros : tres ( 3 ) de ellos de calidad digital con precisión 1/100 de bo tones sensibles y uno ( 1 ) de calidad analógica con la misma precisión pero con botones mecánicos ( este último mal calibrado ) ;
– 1 cartulina blanca de espesor despreciable y de dimensiones acordes con las del plano ( preferentemente que lo cubra ) ;
– Cinta Adhesiva ( en pequeños trozos ) ;
– 2 papeles carbónicos ( de dimensiones parecidas a la cartulina ) ;
– 1 regla milimetrada transparente de 50 cm de longitud ;
– 1 escuadra no milimetrada ;
– Lápices mecánicos con mina de 0,5 mm ( H.B. ) .-
* Marco Teórico :
Para comenzar ésta introducción teórica debemos decir que el movimiento compuesto a estudiar conformado por un Movimiento Rectilíneo Uniforme ( M.R.U. ) en el eje horizontal , y un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado ( M.R.U.A. ) en el eje vertical ( semejante a la caída libre ) .
Es por ello que daremos algunas nociones sobre estos movimientos , para entender un poco sus funcionamientos :
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– Movimiento Rectilíneo Uniforme : Definición = “ Un movimiento es uniforme cuando el móvil recorre espacios iguales en tiempos iguales “.
Podemos comenzar definiendo que es la Velocidad ( V ) = es el cociente entre el espacio recorrida ( x ) y el tiempo ( t ) empleado en recorrerla :
V = x / t —-> V = Dx / Dt * Representa el Espacio reco rrido en cada unidad de Tiem po .
Matemáticamente , ésta relación de Velocidad , podemos afirmar que es un Cociente Incremental , es decir que representa la pendiente de la curva dada :
V =( X – Xo ) / ( t – to ) —-> como to = 0 .
V . t = X – Xo
X = Xo + V.t
– Características del M.R.U :
a ) El Espacio Recorrido es proporcional al Tiempo en el que se lo reco rrió ;
b ) La Velocidad es constante ( no varía durante todo el tiempo ) .-
– Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado ( M.R.U.A. ) : Definición=
“ Como analogía del M.R.U. podemos evaluar , en un principio , que el M.R.U.V. es aquel cuya Velocidad no es constante Es decir que experimenta variaciones de Velocidad ( posee Aceleración , pero ya veremos lo que esto significa ) y como es variado uniformemente , podemos decir que dichas variaciones las realiza en lapsos iguales ( o tiempos iguales ) “.
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Es así como llegamos al concepto de Aceleración : es el cociente entre un D V y el tiempo ( t ) en el que se produce ; es decir , que a todo variación de velocidad le corresponde su aceleración =
D v = a . t
a = D v / D t
D t = D v / a
Pero podríamos explicar cual es el significado físico de la Aceleración : la cual representa la variación de Velocidad en cada unidad de tiempo , es decir , es la rapidez con que cambia la Velocidad .
La representación de la V = f(t) es una curva lineal donde la Aceleración ( a ) es su pendiente :
a = ( V – Vo ) / ( t – to ) —-> como to = 0
a . t = V – Vo
V = Vo + a . t
Pero si hablamos del espacio recorrido ( X ) , tendremos que decir que su representación gráfica es una cónica conocida como Parábola o Función Cuadrática ( ya que el grado mayor del polinomio es un cuadrado – 2 – ) , a la cual se llega a través del siguiente análisis :
* Podríamos decir que tanto en el M . R . U . como el M . R . U . V . , el Espacio ( X ) está representado por al área de la figura ABED , por lo tanto sería :
Área ABED = Área ABCD + Área DCE
D X = b . h + b . h
2
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D X = Vo . t + t . ( a . t )
2
D X = Vo . t + ½ . a . t ²
X = Xo + Vo . t + ½ . a . t ²
– Características del M.R.U.V. :
a ) La variación de ;a Velocidad es directamente proporcional al tiempo en que se efectúa ;
b ) El Espacio ( X ) depende del cuadrado del Tiempo ( t ) ;
c ) Si la Vo es nula , el camino recorrido es directamente proporcional al t ² :
X 1 = X 2 = X 3 = …… = cte .
t 1 ² t 2 ² t 3 ²
Esto quiere decir que si en un determinado tiempo ( t ) el móvil recorre un cierto espacio ( x ) , en más tiempo recorrerá mayor espacio .
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Pero como sabemos , el movimiento realizado en el plano inclinado es un movimiento COMPUESTO , es decir que analizaremos si cada movimiento por separado influye en el otro con un ejemplo :
* Si tenemos una esfera apoyada en una mesa , ¿ será lo mismo si la dejamos caer , que si la empujamos con el dedo ? :
1 ) Influye la traslación horizontal sobre la caída libre = ésta última sólo tiene un movimiento , el de CAÍDA ; en cambio , si le proveemos una cierta traslación anterior a la caída , poseerá dos de ellos : el de TRASLACIÓN HORIZONTAL , que es uniforme ; y el de CAÍDA LIBRE ( que es uniformemente acelerado ) . Ambas tardan el mismo tiempo en caer , por lo tanto , el movimiento horizontal no influye en el de caída.
2 ) Influye la Caída Libre sobre la Traslación Horizontal = NO , pues la esfera avanzará igualitariamente ( en términos de espacio ) si posee Traslación Horizontal o si se le agrega la Caída Libre .
Con esto , podemos exponer un principio , el cual enuncia la independencia de los movimientos simples cuando se combinan ( Principio de Independencia de los Movimientos ) :
“ Si un cuerpo tiene un movimiento compuesto , cada uno de los movimientos com ponentes se cumplen como si los demás no existiesen “.
Ahora bien , como tanto el movimiento sobre un Plano Inclinado y el Tiro Oblicuo son movimientos Compuestos ( y además su trayectoria está conformada por una Parábola ) y sus Velocidades y Aceleraciones son magnitudes Vectoriales , cada una de ésta últimas puede descomponerse ( en cada punto de la curva ) como una suma vectorial : Vx y Vy .
– Velocidad del Movimiento Horizontal : Vx = Vo . cos a
– Velocidad del Movimiento Vertical : en el inicio Vy = Vo . sen a pero va dismi nuyendo a medida que transcurre el tiempo : Vy = Vo . sen a – g . t
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La Velocidad Total en cada punto de la curva ( V ) siempre será tangente a la curva que realiza la esfera .
Podemos considerar muy parecidos a ambos movimientos ( Plano Inclinado y Tiro Oblicuo ) , por lo tanto , son análogos en la conformación de sus movimientos ( ambos tienen un M.R.U. – eje X – y M.R.U.V. – eje Y – ) y podemos definir la Altura máxima ( Hmáx ) que alcanzará un supuesto proyectil al ser lanzado :
1 ) H = Vo . sen a – ½ . g . t ² y con Vy = 0 en el Vertice de la Parábola
Vy = Vo . sen a – g . t
H = Vo . sen a . Vo sen a – ½ . Vo ² sen ² a 0 = Vo . sen a – g . t
Vo . sen a = t –> se reemplaza en g ( 1 )
Hmáx = Vo ² . sen ² a
2 . g
X máx = Vo . cos a . t
* Desarrollo del Trabajo Práctico :
Para hacer la experiencia se cuenta con un Plano de Vidrio inclinable , a través de un soporte de acero regulable ( en sus apoyaturas ) por medio de tornillos .
Primero debe regularse la altura o inclinación del Plano . Luego , por medio de un Nivel debe controlarse la planaridad del vidrio con respecto a sus soportes . A continuación , debe comprobarse la nivelación en sentido transversal . Esto se realiza mediante el lanzamiento de la Esfera de Metal por sobre el plano , en forma paralela al borde del mismo .
Una vez hecho esto , se procede a medir la Altura Mayor ( H ) del Plano ( desde la mesa hasta el vidrio ) y la Altura Menor ( h ) . Seguidamente se tomará medida de la Longitud ( L ) del mismo , para así obtener a través de un cálculo ( que contiene una relación trigonométrica ) el Ángulo de Inclinación del Plano :
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Luego , se deben realizar diferentes tiros de práctica , con la misma Velocidad Inicial ( Vo ) que se utilizará para graficar luego la traza de la trayectoria y se tomarán sus respectivos tiempos para ejercitar el uso de los Cronómetros .
Se anotarán los valores de cada uno de los tiempos de las personas que controlaron , y éstas determinarán cuál fue su mejor medición . Caso contrario ( es decir , que no puedan determinar su mejor medición ) se buscará el promedio de todas las mediciones realizadas por esa persona .
Una vez terminada la ejercitación con los cronómetros , se buscará ( a través de promedios y discusiones lógicas ) prefijar el tiempo en el cual la esfera recorre todo el plano ( Gráfico 1 ) aproximadamente , para :
Vo menor = 0,992 seg .
Vo mayor = 0,9525 seg .
También se tomará el tiempo que tarda la esfera en recorrer ( paralelamente al borde) todo el plano , sin Vo , el cual en este caso es igual a 0,9287 seg. ( Gráfico 2 ) .
Una vez terminado esto se procede a cubrir el vidrio con la Cartulina ( procurando que la misma cubra toda la supuesta trayectoria de la esfera ) y se la pega en los bordes del plano con Cinta Adhesiva . Debe asegurarse de que la cartulina no ofrezca ningún tipo de dificultad a la esfera ( tal como dobleses , arrugas , etc . ) . Luego , se cubre la superficie de la cartulina con Papel Carbónico teniendo en cuenta que éste también debe cubrir la trayectoria de la esfera y no ofrecer dificultades a la misma ( se lo sujetará también con cinta adhesiva en los extremos ) .
Se coloca la Chapa Contenedora en la primera ranura del Disparador ( menor Vo ) y se inserta la esfera por el lado opuesto del disparador . Después , una vez que la esfera se “ apoye “en la chapa contenedora , se procede a levantar la misma para dejar que la esfera ruede por sobre el carbónico y marque la traza número 1 ( Gráfico 3 ) :
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Se realiza lo mismo para la traza número 2 pero con la chapa contenedora en la 3° ranura .
Una vez obtenidas las trazas se procede a sacar la cartulina ( y el carbónico ) con cuidado de no romperla ni mancharla . Luego , se marca un sistema de Ejes Cartesianos ( x , y ) en el punto inicial de las trazas y también se dibujan dos líneas paralelas a los ejes : una de ellas ( la paralela al eje X ) determinará , al cortar con la curva el punto final de análisis del recorrido ; la otra ( paralela al eje Y ) irá desde el punto final de la traza , hasta intersectarse con el eje de las X , teniendo así el recorrido trasladado al eje horizontal ( idem para la traza 2 ) .
Una vez obtenido esto se procede a dividir el valor de la proyección del punto de intersección de la línea final con el recorrido ( 1 ) , en 10 subdivisiones ( Dx = Dt ) y a través de la curva , se obtienen las correspondientes a ellas ( Dy = Dx – recorrido – ; Gráfico 4 ) :
Idem para la trayectoria 2 .
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Estos valores deben volcarse en tablas ( ver Tablas de Valores ) . Una vez finalizado este proceso , debe elegirse un punto de un recorrido ( al azar ) para graficar la Velocidad en ese punto a escala ( la cual es tangente a la curva ) , y descomponerla en Vx y Vy ; idem para la aceleración ( pero en este caso se graficará la ay y se obtendrán las Componentes Intrínsecas ( at y an ) :
* Procedimiento para la Comprobación gráfica de a y V en un punto del reco rrido :
A ) Velocidad en un punto ( pasos a seguir ) =
– Trazar la tangente a la curva en el punto deseado ;
– Trazar la paralelas a los ejes X e Y en el mismo punto ;
– Calcular la Vx del punto elegido : medir el espacio o subdivisión y marcar el vector correspondiente sobre la paralela al eje trazada en ese punto ;
– Marcar el vector ( tangente a la curva ) cuyo extremo estará dado por la intersección entre la paralela a eje Y y la tangente a la curva ( Regla del Paralelogramo ) ;
– Medir , tanto los vectores Vy y Vx como V , y comparar con los valores calculados:
Mediciones : Vx = 3,64 cm ; Vy = 9,1 cm ; V = 9,8 cm .
Escala : 1 cm = 10,49 cm/seg .
B ) Aceleración en un punto ( pasos a seguir ) :
– Trazar la tangente a la curva en el punto deseado ;
– Idem Velocidad en …… ;
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– Calcular la a del punto elegido a través de los valores de la ta bla: volcar ese valor sobre la paralela del eje Y con su escala correspondiente ( el valor de la aceleración calculada será el valor de ay , en sentido vertical ).
– Trazar una recta perpendicular a la tangente en el punto y a la vez una paralela a dicha tangente y a dicha perpendicular ; formando de esta manera , el paralelogramo a través del cual se obtendrán las componentes Intrínsecas de la Aceleración calculada y graficada ) ;
– Comparar el valor de las componentes Intrínsecas con los calcu lados :
Mediciones : an = 3,95 cm ; at = 12,65 cm ; a = 13,21 cm .
Escala : 10 cm = 1 m/s ² .
* Cálculos para los Gráficos :
A ) Para el gráfico de las Velocidades ( Vo mayor ):
Vy = Y (8) – Y (7) = 1,0179 m/s
t(8) – t (7)
Vx = X(8) – X(7) = 0,3819 m/s
t(8) – t(7)
V = Vx ² + Vy ² = 1,0872 m/s
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B ) Para el gráfico de las Aceleraciones ( Vo menor ) :
a(7)= 2 . Dy / Dt² = 1,3211 m/s ²
* Cálculos y Tablas de Valores :
TABLA DE VALORES PARA Vo MAYOR:
TABLA DE VALORES PARA Vo MENOR :
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* Cálculos Adicionales :
Aceleración del Plano : ap = g . sen a
= 9, 8 m/s ² . sen ( 8° 38’6.49” )
= 1, 47139 m/s ² .
Componentes Intrínsecas : an = ap . sen a = ap .( Vy / V )
= 1,47139 m/s ² . ( 41,33 cm/s / 49,76 cm/s )
= 1,222 m/s ²
at = ap . cos a = ap . ( Vx / V )
= 1,47139 m/s ² . ( 27,72 cm/s / 49,76 cm/s )
= 0,81967 m/s ²
a = an ² + at ² = 1, 47 m/s ²
* Comprobación Analítica con los gráficos ( ver gráficos ) :
– Para la Vo mayor ( para los puntos 9 y 10 ) :
V = Dx / Dt = 0,384 m/s
Y = k . t ² —–> pero k = Dy / Dt ² = 0,736 m/s ²
por lo tanto : 2 . k = a
1,472 = 1,47 m/s ²
– Pero para los puntos de la Vo menor ( los mismos que Vo mayor ) tenemos que :
2 . k = a
2 . ( 0,66 ) = 1, 47 m/s ² .
1,32 = 1,47 m/s ² .
Notamos que hay una leve diferencia que será luego explicada en las Conclusiones .-
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* Conclusiones :
Habiendo hecho todos los cálculos y apreciaciones posibles , he podido determinar
( fehacientemente ) , la veracidad del Principio de Independencia de los Movimientos .
Esto se debe a que hemos tratado de averiguar si la aceleración , de un tiro oblicuo en un plano , varía si modificamos la Vo del disparo .
Debemos decir , en realidad , que si hallamos las aceleraciones en cada uno de los puntos de los dos tiros , la misma va aumentando en pocas dosis , pero haciendo aproximaciones puedo decir que se mantiene constante .
Este hecho se lo atribuyo a distintos motivos de error ( paralelismo , perpendicularidad , mal control del tiempo , etc. .) y a que quizás la fuerza Peso ( P ) de la esfera fuera mucho mayor que la fuerza de reacción del plano , y que el rozamiento de la superficie.
Es por ello que digo , que para distintas Vo , los movimientos : M.R.U. ( en el eje horizontal ) y M.R.U.A. ( en el eje Y ) , son independientes y se pueden combinar pero ninguno influye sobre el otro .
Con respecto a la a ( Aceleración ) graficada en un punto de la traza , podemos decir que es diferente a la calculada en dicho punto , debido a las aproximaciones , errores de dibujo y al hecho anteriormente nombrado del aumento progresivo pero pequeño de la aceleración de la esfera ( a medida que la esfera toma mayor Vo , su aceleración aumentará muy lentamente , y en pocas cantidades ) .-
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BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA :
* “Introducción a la Física l “ – Maiztegui – Sábato – Editorial Kapeluz
( 1955 )
* “Tratado Elemental de Física ( tomo l ) “ – Loyarte- Loedel
Editorial Estrada