Índice
1. | Introducción. | 2 |
2. | Circuitos de corriente continua. | 2 |
2.1. Corriente continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2. Asociación de elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2.1. Acoplamiento de resistencias en serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2.2. Acoplamiento de resistencias en paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.3. Asociaciones mixtas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.4. Asociación de generadores en serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.5. Asociación de generadores en paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. Me´todo de las mallas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Circuitos de corriente alterna. 5
3.1. Corriente alterna senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2. Impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2.1. Asociación en serie de impedancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.2. Asociación en paralelo de impedancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.3. Asociación mixta de impedancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.4. Transformación estrella-triangulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3. Resonancia en los circuitos de corriente alterna. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1. Introducción.
En el presente tema se van a tratar alguno de los métodos existentes para el calculo de magnitudes en los circuitos eléctricos, lo que se conoce como resolución de circuitos eléctricos. Las magnitudes que caracterizan principalmente un circuito eléctricos son las intensidades, caídas de voltaje y potencias disipadas en cada uno de los componentes que conforman el circuito.
Dividiremos el tema en dos grandes bloques, circuitos de corriente continua, y circuitos de corriente alterna.
Antes de proseguir definamos circuito eléctrico:
Circuito eléctrico Definimos circuito eléctrico como el conjunto de generadores y receptores eléctricos unidos entre si por conductores formando un circuito cerrado.
2. Circuitos de corriente continua.
La resolución de circuitos pretende el análisis de las magnitudes eléctricas que se dan en dicho circuito. Para ello se aplican las leyes fundamentales: la Ley de Ohm y las Leyes de Kirchhoff, obteniéndose un sistema de ecuaciones mas o menos complejo, que caracteriza a dicho circuito. Sin embargo este procedimiento puede resultar mas laborioso de lo necesario y por ello existen métodos que reducen al mínimo el numero de ecuaciones y de incógnitas que representan a dicho circuito.
El método mas simple, que se utiliza para circuitos sencillos, consiste en ir agrupando los elementos que componen el circuito, para así ir simplificándolo y poder aplicar las ecuaciones mas fácilmente. A continuación veremos como se calcula la resistencia equivalente a la asociación de varias.
Posteriormente describiremos el me´todo de las mallas para obtener las ecuaciones de un circuito.
2.1. Corriente continua.
En el caso de los circuitos de corriente continua, las fuentes suministran corrientes y tensiones invariables en el tiempo, constantes.
Como vamos a considerar la resolución de circuitos en régimen estacionario, solamente consideraremos receptores resistivos. En c.c. los condensadores se comportan como circuitos abiertos y las bobinas como cortocircuitos, debido a que sus relaciones de tensión y corriente eran proporcionales a las variaciones de corriente y tensión respectivamente. Por ello a continuación analizaremos las conexiones de las resistencias en los circuitos de c.c.
2.2. Asociación de elementos.
2.2.1. Acoplamiento de resistencias en serie.
La conexión en serie de dos o mas resistencias consiste en conectarlas unas a continuación de otras. El acoplamiento tiene las siguientes características:
1. Todas las resistencias son recorridas por la misma intensidad.
2. La tensión total en los extremos del acoplamiento, es igual a la suma de las tensiones en los extremos de cada resistencia.
Teniendo en cuenta estas dos características, es fácil calcular el valor de una resistencia equivalente (Req ) a un conjunto de resistencias conectadas en serie.
Según la Ley de Kirchhoff del voltaje V = V1 + V2 + · · · + Vn
Y según la Ley de Ohm V = Req · I = R1 · I + R2 · I + · · · + Rn · I = (R1 + R2 + · · · + Rn ) · I
De estas dos ecuaciones se deduce que:
Req = R1 + R2 + · + Rn
El valor de la resistencia equivalente a la asociación en serie de varias resistencias, es igual a la suma de los valores de las resistencias individuales.
2.2.2. Acoplamiento de resistencias en paralelo.
En el acoplamiento en paralelo de resistencias, los extremos de las resistencias se llevan a dos puntos comunes. Este acoplamiento tiene las siguientes características:
1. La tensión eléctrica entre los extremos de la resistencia, es igual para todas ellas.
2. La intensidad de corriente total es igual a la suma de intensidades que circula por cada una de ellas.
Teniendo en cuenta estas dos características, es fácil calcular el valor de una resistencia equivalente (Req ) a un conjunto de resistencias conectadas en paralelo.
Según la ley de Kirchhoff de los nudos: I = I1 + I2 + · · · + In
Y según la Ley de Ohm: I1 = V ; I2 = V ; · · · ; In = V R1 R2 V Rn 1 1 1 I =Req = + R1 R2+ · · · + n= V ·R1 R2 + · · · + n 1Req = + R1 R21+ · · · +n
2.2.3. Asociaciones mixtas.
Cuando en un circuito aparecen conexiones que corresponden tanto a conexiones en serie como en paralelo se denomina mixto.
La forma de encontrar la resistencia equivalente total del circuito es idéntica a la forma de resolución de resistencias en serie y en paralelo.
Un primer paso será encontrar la resistencia equivalente en paralelo de todas las asociaciones que encontremos.
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Realizar las sucesivas simplificaciones del circuito de forma ordenada y metódica.
2.2.4. Asociación de generadores en serie.
La conexión en serie de varios generadores de c.c. consiste en conectarlos uno a continuación del otro, uniendo el borne negativo de uno con el positivo del siguiente. Los bornes libres de los generadores extremos forman los bornes positivo y negativo del acoplamiento.
Características:
1. Todos los generadores son recorridos por la misma intensidad de corriente eléctrica. Para poder acoplar varios generadores en serie hay que asegurarse que todos deben tener la misma intensidad nominal para evitar que alguno de ellos funcione sobrecargado.
2. La f.e.m. total en los extremos del acoplamiento es igual a la suma de fuerzas electromotrices en extremos de cada generador.
V = V1 + V2 + · · · + Vn
3. La resistencia total del acoplamiento es igual a la suma de las resistencias internas de los generadores.
2.2.5. Asociación de generadores en paralelo.
Consiste en conectar todos los bornes positivos entre sı para formar el borne positivo del acoplamiento y, de la misma forma conectar los bornes negativos entre sı para formar el borne negativo del acoplamiento.
Para poder acoplar varios generadores en paralelo, se debe cumplir que todos deben tener la misma f.e.m. y la misma resistencia interna para que la intensidad suministrada se reparta por igual entre todos.
El acoplamiento tiene las siguientes características:
1. La intensidad total que es capaz de suministrar el acoplamiento es la suma de las intensidades que suministra cada generador. Todos los generadores suministran la misma intensidad.
I = I1 + I2 + · · · + In ; I1 = I2 = · · · = In
2. La f.e.m. en los extremos del acoplamiento es igual a la f.e.m. en extremos de cada gene- rador.
3. La resistencia total del acoplamiento es igual a la inversa de la suma de las inversas de las resistencias internas de cada generador.
2.3. Me´todo de las mallas.
En una red en la que se conocen las resistencias y las fuerzas electromotrices, se procede del modo siguiente para calcular las intensidades que circulan por cada rama:
1. Se elige una corriente por rama cualquiera.
2. Se indica en cada malla un sentido de circulación positivo.
3. Se aplica la primera ley de Kirchhoff en todos los nudos menos en uno.
4. Se aplica la segunda ley de Kirchhoff en todas las mallas (circuitos sin ninguna rama interior).
De esta manera se obtienen tantas ecuaciones como incógnitas (intensidades de rama), las cuales permiten calcular todas las intensidades que circulan por la red.
Si se obtiene un valor negativo para una intensidad de corriente, quiere decir que el sentido de esa corriente es contrario al que inicialmente se había supuesto.
3. Circuitos de corriente alterna.
En los circuitos de corriente alterna, las fuentes proporcionan corrientes e intensidades variables con el tiempo. La corriente alterna que más´s se emplea mayoritariamente es corriente alterna senoidal.
La resolución de circuitos en corriente alterna es muy similar a los de corriente continua, pero teniendo en cuenta la peculiaridad de que se trabaja con magnitudes dependientes del tiempo. Teniendo en cuenta esa precaución, se pueden aplicar la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff.
3.1. Corriente alterna senoidal.
La variación de la corriente responde a la ecuación:
donde:
i(t) = imax · cos(ω · t + ϕ) ω es la pulsación angular expresada en rad y que se relaciona con la frecuencia por: ω = 2 · π · f . ϕ es el Angulo de fase expresado en radianes.
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Representación compleja de una onda senoidal.
Una función senoidal puede ser representada mediante un fasor, esto es mediante un numero complejo cuyo modulo es igual al valor eficaz de la onda y cuyo argumento es igual al Angulo de fase inicial. Esta representación permite un manejo sencillo de las funciones senoidales en la mayoría de los casos que se presentan en la Ingeniería Eléctrica, donde normalmente la frecuencia es fija.
Figura 1: Representación fasorial.
La representación mediante fasores, de las magnitudes senoidales permite realizar con enorme facilidad cálculos que de otra manera resultarían muy engorrosos, adema´s de visualizar gráficamente los desfases entre varias ondas.
Un fasor es una versión transformada de una onda seonidal de voltaje o corriente que consiste en la información de la magnitud y el Angulo de fase. Por ejemplo, sea una fuente ideal de tensión de la forma v(t) = cos(100 · t + 30o) ; el fasor representativo de esta tensión es:
30o 10 b V = √2
donde solo se representa la amplitud de la señal como valor eficaz y el Angulo de fase. La frecuencia no se representa ya que excitaciones de una determinada frecuencia siempre darán respuestas de la misma frecuencia.
3.2. Impedancia
Cuando hablábamos de corriente continua, hemos dicho que los condensadores y las bobinas no se consideraban en el análisis de circuitos, ya que estos se comportaban, en estado estacionario, 1como un interruptor abierto y un cortocircuito respectivamente. Sin embargo en los circuitos de corriente alterna este comportamiento cambia completamente, ya que la naturaleza oscilante de la corriente alterna, provoca que tanto el condensador como la bobina se carguen y descarguen continuamente. Se hace necesario definir una nueva magnitud que con- temple tanto el efecto de la resistencia, como el efecto de las bobinas y condensadores. Esta magnitud es la impedancia (Z~ ).
La impedancia es una magnitud de los circuitos de corriente alterna, análoga a la resistencia en los circuitos de corriente continua. Es la oposición que ofrece el circuito al paso de la corriente alterna.
As´ı podemos escribir la ley de Ohm generalizada de la forma:
V~ = I~ · Z~
Como hemos dicho antes, la tensión y la intensidad en corriente altera, tienen carácter fasorial. La impedancia también tiene carácter fasorial y tiene unidades de resistencia eléctrica (Ω).
La impedancia es la relación entre los fasores tensión y Corriente en sus terminales.
La impedancia de un elemento pasivo, puede calcularse a partir de su resistencia (R), coeficiente de autoinducción (L), y su capacitancia (C).
Z~ = R + j · (χL − χC ) [Ω]
donde:
χL es la reactancia inductiva χL = ω · Lχ es la reactancia capacitiva χ = 1 ω·C
Los valores de la reactancia capacitiva y de la reactancia inductiva dependen de la pulsación angular de la onda (ω), es decir el valor de la impedancia depende de la frecuencia de la corriente alterna.
El vector impedancia se puede representar gráficamente, en el triangulo de impedancias.
Figura 2: Triangulo de impedancias.
3.2.1. Asociación en serie de impedancias.
La asociación en serie de impedancias es totalmente análoga a la asociación en serie de resistencias comentada con anterioridad. La única salvedad es que ahora estamos trabajando con magnitudes fasoriales, y la suma es una suma de fasores, en lugar de números escalares.
Z~eq = Z~1 + Z~1 + · · · + Z~n
3.2.2. Asociación en paralelo de impedancias.
La asociación en paralelo de impedancias es totalmente análoga a la asociación en paralelo de resistencias comentada con anterioridad. La única salvedad es que ahora estamos trabajando con magnitudes fasoriales, y la suma es una suma de fasores, en lugar de números escalares.
1 Z~eq 1 = Z~1 1 + Z~2 + · · · + 1 Z~n
3.2.3. Asociación mixta de impedancias.
Se entiende como circuito mixto aquel que esta compuesto de varias impedancias que no están dispuestas únicamente en serie o en paralelo, sino que son una mezcla de ambas.
La resolución de estos circuitos es sencilla: o bien se aplican las leyes de Kirchhoff, o se agrupan las resistencias en serie y en paralelo, simplificando as´ı el circuito.
3.2.4. Transformación estrella-triangulo.
En los circuitos de corriente alterna trifásicos, es frecuente encontrar conexiones en estrella y triangulo. Estas conexiones presentan mayor dificultad para ser resueltas, ya que no valen las reglas aplicadas anteriormente en los montajes en serie y en paralelo. Por esa razón se aplican las leyes de Kirchhoff para solventarlas; o bien el teorema de Rosen, que permite la conversión de las conexiones de estrella a triangulo y viceversa, y de esta forma convertir el circuito en un sistema que puede resolverse con la transformación de resistencias serie o paralelo.
Formulas de conversión de triangulo a estrella:
Z~12 · Z~31
Z~1 =Z12 + Z31 + Z23 Z~12 · Z~23
Z~2 = ~ Z12 + Z31 + Z23
Z~3 = ~ Z~23 · Z~31 Z12 + Z31 + Z23
Formulas de conversión de estrella a triangulo:
Z~12 = Z~1 · Z~2 ·
Z~31 = Z~1 · Z~3 ·
Z~23 = Z~2 · Z~3 ·
Z~1 1Z~1 1+ Z~2 1 + Z~2 1+ Z~2 1 # +Z~31 #+ Z~31 #+ Z~3
3.3. Resonancia en los circuitos de corriente alterna.
Si escri imos la ley de Ohm en la forma:
I~ = V~ Z~
observamos que la intensidad (I~) será mayor cuanto menor sea la impedancia (Z~ ). Además sabemos que la impedancia depende de la frecuencia del sistema (f ). Pues bien, hay que encontrar el valor de la frecuencia para el cual la impedancia es mínima, en ese momento se dice que el circuito esta en resonancia.
Para calcular la frecuencia a la cual se produce la resonancia:
Z~ = R + j · (χL − χC ) [Ω]
Observando la ecuación anterior, el valor de Z~ será mınimo cuando, χL = χC . Sustituyendo estos por sus valores:
1 ω0 · L = 0 =⇒ ω0 = √· C L · C
donde ω0 es la pulsacion angular a la cual corresponde la frecuencia de resonancia
1 f0 = 2 · π · √ L · C