INDICE
1. INTRODUCCIÓN.
2. INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES.
2.1. OBJETO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES.
2.2. CONCEPTO DE ACCIONES EXTERIORES Y REACCIONES. TIPOS DE LIGADURAS.
2.3. TIPOS DE APOYOS EN UN PLANO.
2.4. DETERMINACIÓN DE LAS LIGADURAS. SISTEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS.
2.5. .LIGADURAS REALES.
2.6. INFLUENCIA DE LAS SIMETRÍAS EN EL GRADO DE HIPERESTATICIDAD.
2.7. PRINCIPIOS GENERALES DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES.
2.7.1. LEY DE HOOKE.
2.7.2. PRINCIPIO DE RIGIDEZ RELATICA DE LOS SISTEMAS ELÁSTICOS.
2.7.3. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.
2.7.4. PRINCIPIO DE SAINT VENANT.
2.7.5. PRINCIPIO DE BERNOUILLI.
2.8. COEFICIENTES DE SEGURIDAD.
3. TRACCIÓN-COMRESIÓN.
3.1. CARACTERÍSTICAS DE LA TRACCIÓN SIMPLE.
3.2. LEY DE HOOKE.
3.3. GRADO DE SEGURIDAD Y TENSIÓN ADMISIBLE.
3.4. PRISMA MECÁNICO RECTO. DIAGRAMA DE SOLICITACIONES O ESFUERZOS.
4. FLEXIÓN.
4.1. DEFINICIÓN. TIPOS DE FLEXIÓN.
4.2. FLEXIÓN SIMPLE.
4.2.1. CONVENIO DE SIGNOS.
4.2.2. ELEMENTOS QUE TRABAJAN A FLEXIÓN SIMPLE RECTA. VIGAS CON PLANO DE FLEXIÓN.
4.2.3. RELACIONES ENTRE EL MOMENTO FLECTOR, EL ESFUERZO CORTANTE Y LA DENSIDAD DE CARGA.
4.2.4. DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLECTORES Y ESFUERZOS CORTANTES.
5. PANDEO.
5.1. RESISTENCIA AL PANDEO.
5.2. FÓRMULAS DE EULER.
5.3. CARGA ADMISIBLE POR PANDEO.
6. CORTADURA.
6.1. INDICACIONES GENERALES.
6.2. ESFUERZO CORTANTE SIMPLE.
6.3. DEFORMACIÓN CORRESPONDIENTE AL ESFUERZO CORTANTE SIMPLE.
6.4. MÓDULO DE ELASTICIDAD TRANSVERSAL.
6.5. TENSIÓN ADMISIBLE.
6.6. DIAGRAMA TENSIÓN-DEFORMACIÓN.
7. TORSIÓN.
7.1. INDICACIONES FUNDAMENTALES.
7.2. CÁLCULO.
7.3. TORSIÓN DE EJES HUECOS.
7.4. CRITERIO DE SIGNOS.
7.5. DIAGRAMAS DE MOMENTOS TORSORES Y ÁNGULOS DE GIRO.
8. BIBLIOGRAFÍA.
1. INTRODUCCIÓN.
Vamos a iniciar el estudio del sólido deformable, es decir, aquél que cambia de forma al actuar sobre él acciones exteriores, o dicho de otro modo, varían las distancias entre las partículas del sólido.
El sólido rígido estudiado en Mecánica es el sólido que se podía mover más o menos libremente pero suponiendo siempre que mantenía su forma inicial, es decir, se le suponía indeformable.
Las dos disciplinas que se ocupan del sólido DEFORMABLE son la Elasticidad y la Resistencia de Materiales. La Elasticidad se ocupa a nivel de punto material, es decir, a nivel microscópico de la materia y el campo de la Resistencia de Materiales son los conjuntos de partículas más o menos numerosos (secciones de elementos resistentes, o elementos completos) es decir, a nivel macroscópico y donde las propiedades mecánicas de los materiales tienen un papel decisivo.
Trataremos por lo tanto el tema de la Resistencia de Materiales que aborda principalmente problemas a nivel del sólido elástico en su conjunto, analizando de forma global, los efectos de las acciones exteriores y de las ligaduras del elemento con el entorno, proporcionándonos información de cómo varían estos en las distintas secciones del elemento, estableciendo las hipótesis simplificativas para obtener una solución aproximada del problema, cuyo grado de exactitud debe comprobarse luego experimentalmente y decidir si es adecuado.
La Resistencia de Materiales analiza también las formas de obtener las acciones que sobre un determinado elemento ejerce su entorno a fin de que pueda ser aislado de éste y estudiado por separado.
MECÁNICA RACIONAL | Mec. del punto material | |
Mec. del sólido rígido | ||
Mec. de los Medios Continuos | Mec. de los sólidos | Elasticidad Plasticidad Resistencia de Materiales |
Mec. de los fluidos |
2. INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES.
2.1. OBJETO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES.
La Resistencia de Materiales, como ya hemos dicho anteriormente, trata de resolver el problema de calcular las tensiones y las deformaciones para conjuntos de puntos (secciones de elementos o elementos completos).
El problema básico que se pretende resolver con el cálculo de tensiones y de deformaciones es el de diseñar elementos mecánicos, de máquinas o de estructuras, que sean seguros, que cumplan su cometido, y que sean lo más económicos posible.
Para ello habrá que darle al elemento la forma y dimensiones adecuadas y habrá que construirlo con el material apropiado para que ni las tensiones ni las deformaciones sobrepasen ciertos valores previamente establecidos y que se consideren como suficientemente seguros.
El problema es doble, es decir, no es suficiente estudiar solamente las tensiones para asegurar que el elemento no se romperá, es necesario determinar también las deformaciones para comprobar que éstas no sean excesivas.
Resumiendo podemos decir que la Resistencia de Materiales tiene por objeto el diseño de elementos mecánicos adecuados, seguros y económicos.
2.2. CONCEPTO DE ACCIONES EXTERIORES Y REACCIONES. TIPOS DE LIGADURAS.
Un elemento mecánico de una estructura tendrá que soportar, en general, las acciones directas exteriores y las reacciones que el resto del sistema (su entorno) ejerce sobre él. A ambas se las denomina solicitaciones. En el siguiente cuadro se hace una clasificación de las mismas:
SOLICITACION | Cargas | Fuerzas de Volumen | |
Fuerzas de Superficie | Concentradas Repartidas | ||
Reacciones | Concentradas | ||
Repartidas |
Si imaginariamente separamos el elemento del sistema debemos considerar que sobre él actúan
tanto las cargas exteriores como las reacciones y ambas deben constituir un sistema en equilibrio para que el elemento siga estando en equilibrio.
Las reacciones son siempre fuerzas iguales y contrarias es decir la acción que el elemento ejerce sobre el sistema o sobre su entorno es la misma que el sistema o el entorno ejercen sobre él, de tal forma que al aislar el elemento, debemos considerar las acciones (reacciones) que el entorno aplica en él.
Un punto totalmente libre tiene seis grados de libertad, tres desplazamientos y tres giros. Por cada grado de libertad que queramos impedir hemos de aplicar una acción sobre el punto. Para impedir un desplazamiento es necesario efectuar una fuerza y para impedir un giro es necesario efectuar un momento, de forma que al considerar las tres direcciones del espacio se comprueba que las reacciones pueden ser en general seis (las mismas que los grados de libertad) tres fuerzas y tres momentos.
Habrá un gran número de ligaduras tales que puedan restringir uno, dos, tres, etc. grados de libertad y dependiendo de cuantos y de que tipo impidan tendrán distintas denominaciones.
Dos tipos de ligaduras muy corrientes en Resistencia de Materiales son el empotramiento y la articulación. El primero restringe todos los grados de libertad y por lo tanto es capaz de aplicar tres fuerzas y tres momentos. La articulación (rótula esférica) sólo restringe los desplazamientos y no los giros por lo que sólo puede aplicar tres fuerzas.
2.3. TIPOS DE APOYOS EN UN PLANO.
En muchos casos prácticos el estudio del comportamiento de los sistemas puede reducirse a lo que ocurre en un plano, simplificándose considerablemente los procedimientos analíticos. Cuando estemos en un plano los grados de libertad posibles son sólo tres, dos desplazamientos en la dirección de los ejes contenidos en el plano y un giro alrededor del eje perpendicular al plano. Por tanto las ligaduras de los sistemas en el plano sólo aplicarán como reacciones dos fuerzas (en la dirección de los ejes del plano) y un momento (respecto del eje perpendicular).
Apoyo fijo o articulación
Apoyo simple o móvil
Empotramiento
El apoyo fijo sólo permite el giro respecto a un eje perpendicular al plano, el móvil permite ese giro y el desplazamiento sólo en dirección horizontal, el empotramiento no permite ningún movimiento y el empotramiento móvil sólo permite el desplazamiento en dirección indicada por el conjunto de rodillos.
2.4. DETERMINACIÓN DE LAS LIGADURAS. SISTEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS.
Para poder estudiar un elemento resistente, es necesario determinar previamente las reacciones que ejerce su entorno, ya que al aislar el elemento las reacciones son cargas aplicadas a él, y que influyen por tanto en su estado tensional y de deformaciones.
Las condiciones de equilibrio que podemos plantear en el plano sólo son tres, mientras que el número de reacciones a determinar puede ser mayor.
∑Rx = 0
∑Ry = 0
∑Rz = 0
Dependiendo del caso, el número de reacciones a determinar, puede ser menor, igual o superior a
tres, por lo que pueden presentarse los siguientes sistemas:
a) Sistema Hipostático.
El número de reacciones es menor que tres, y por tanto las ecuaciones de equilibrio son superabundantes. En general se trata de sistemas que al aplicarles las cargas son inestables (mecanismos), y por tanto no son objeto de la Resistencia de Materiales.
b) Sistema Isostático.
El número de reacciones es exactamente tres con lo que las ecuaciones de equilibrio son las suficientes para determinar todas las reacciones. El sistema seguirá siendo isostático si el número de ecuaciones válidas es igual al de reacciones desconocidas.
c) Sistema Hiperestático.
El número de reacciones es mayor que el de ecuaciones. Aquí pueden representarse un sinfín de sistemas, desde lo s que tienen cuatro reacciones desconocidas hasta los que llegan a tener varios cientos.
Se denomina Grado de Hiperestaticidad (GH) para sistemas planos sin contornos cerrados, a la diferencia entre el número de reacciones desconocidas y el número de ecuaciones de la Estática válidas, que como hemos visto, en el plano son generalmente tres, pero no siempre.
Para calcular un número determinado de incógnitas se debe disponer del mismo número de ecuaciones. Como la Estática sólo nos da tres, en el mejor de los casos, el resto hay que plantearlas como condiciones de deformación del sistema en los apoyos o en puntos del mismo donde se conozcan las deformaciones (desplazamientos o giros).
2.5. LIGADURAS REALES.
Hasta ahora sólo hemos considerado ligaduras ideales que son o totalmente elásticas (permiten totalmente el giro o el desplazamiento) o totalmente rígidas (impiden totalmente el giro o el desplazamiento).
En la realidad las ligaduras no son ni totalmente rígidas ni totalmente elásticas sino que pueden tener diferentes grados de rigidez dependiendo de en que medida permitan el libre giro o el libre desplazamiento.
Rigidez y elasticidad son conceptos inversos de forma que si rigidez significa la capacidad de oponerse a las deformaciones, elasticidad significa la capacidad de permitir las deformaciones.
En la mayoría de los casos el considerar las ligaduras o totalmente rígidas o totalmente elásticas no introduce errores en el cálculo o son despreciables por lo que es práctica habitual tomar este tipo de ligaduras (empotramientos o apoyos ideales perfectos).
2.6. INFLUENCIA DE LAS SIMETRÍAS EN EL GRADO DE HIPERESTATICIDAD.
Cuando todo en una estructura o sistema es simétrico (geometría y cargas) las reacciones y el estado tensional también son simétricos.
La simetría rebaja el grado de hiperestaticidad de los sistemas pero no transforma sistemas hiperestáticos en isostáticos.
Un sistema se dice que es antisimétrico cuando geométricamente es simétrico pero las cargas son antisimétricas, es decir, iguales a cada lado del eje de simetría pero de sentidos contrarios. En este caso todo en la estructura ocurre de forma antisimétrica, y por tanto las reacciones y el estado tensional será iguales pero contrarios a cada lado del eje de simetría.
Las condiciones de simetría o antisimetría son útiles en ocasiones para simplificar la resolución de problemas.
2.7. PRINCIPIOS GENERALES DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES.
La Resistencia de Materiales se apoya en hipótesis simplificatorias que permiten llegar a la solución de problemas de forma aproximada de manera que los resultados experimentales difieran poco de los teóricos. Estas hipótesis se conocen como los Principios generales de Resistencia de Materiales y son los siguientes:
2.7.1. LEY DE HOOKE.Cuando se ensaya a tracción una probeta de un material elástico dúctil y se miden las tensiones en función de las deformaciones que se producen se obtiene un diagrama como el representado en la figura.
Se distinguen dos zonas, la zona elástica, donde las deformaciones y las tensiones son proporcionales siguiendo una ley lineal y la zona plástica en la que siguen una ley no lineal, y en la que se produce la plastificación del material (aumento de las deformaciones sin apenas aumento de la tensión) a partir de un valor de la tensión denominado tensión de fluencia σf .
Distinguimos también otros tres puntos representativos de las propiedades del material.
Punto “p”: es el punto donde el diagrama deja de ser una recta para empezar a curvarse. Se le denomina límite de proporcionalidad.
Punto “e”: si antes de llegar a este punto descargamos la probeta el diagrama “regresa” por la misma recta de carga, y cuando hemos suprimido toda la carga la deformación es cero.
Después de sobrepasado este punto, al descargar la probeta, el diagrama “regresa” por una recta paralela a la primera y se mantiene una deformación residual permanente que no desaparece aunque suprimamos la carga. A este punto se le denomina límite de lasticidad, y la tensión σe , tensión del límite elástico, o simplemente Límite elástico.
Punto “r”: es el punto donde se produce la rotura de la probeta y que corresponde a la máxima tensión que es capaz de soportar el material σr . Aunque parece haber una tensión mayor que esta es un efecto solo aparente motivado porque la probeta, antes de romperse, reduce su sección transversal y al dividir la carga por esta sección resulta una tensión mayor aunque la carga no haya aumentado.
La Elasticidad y la Resistencia de Materiales se formulan exclusivamente en la zona elástica de los materiales, siendo la Plasticidad la que se ocupa del campo plástico.
En la zona elástica la ley que liga las tensiones y las deformaciones puede expresarse por:
σ = E ⋅ ε
La expresión anterior particularizada para las direcciones x, y, z será:
σnx = E ⋅ εx
σny = E ⋅ εy
σnz = E ⋅ εz
Donde E es una constante para cada material, invariable con la forma de la probeta o con el método de ensayarla, y denominada “módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young”.
La expresión anterior constituye la llamada “LEY DE HOOKE”, y que expresa:
En la zona elástica, las tensiones son proporcionales a los alargamientos unitarios.
2.7.2. PRINCIPIO DE RIGIDEZ RELATICA DE LOS SISTEMAS ELÁSTICOS.
Las deformaciones provocadas en los sólidos por las cargas exteriores son lo suficientemente pequeñas para que no se modifiquen la forma de actuar de las cargas, y estas siguen produciendo los mismos efectos que antes de la deformación.
Esto implica admitir, por regla general, que las deformaciones producidas por las cargas son mucho más pequeñas que las dimensiones del sólido.
2.7.3. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.
El estado tensional de un sólido, debido a varias acciones exteriores que actúan sobre él, es igual a la suma lineal de los estados tensionales que producen cada una de las acciones actuando independientemente.
Así, si sobre el sólido actúan dos sistemas de fuerzas, pueden calcularse la matriz de tensiones y deformaciones sumando las matrices correspondientes a los dos sistemas cuando actúan independientemente.
2.7.4. PRINCIPIO DE SAINT VENANT.
Salvo en las zonas próximas al punto de aplicación de las cargas los estados tensionales de un sólido son iguales, para todos los sistemas de cargas que sean estáticamente equivalentes.
Como se aprecia a una cierta distancia (pequeña en general) del punto de aplicación de
2.7.5. PRINCIPIO DE BERNOUILLI.
En un sólido las secciones planas antes de la deformación siguen siendo planas después de la deformación.
O dicho de otra forma, todos los puntos de un sólido que inicialmente estén sobre un plano seguirán estando sobre un plano, aunque el plano no sea el mismo, y no sobre una superficie curva o alabeada.
Este principio no es válido siempre porque los resultados a los que conduce no responden a la realidad.
2.8. COEFICIENTES DE SEGURIDAD.
Uno de los fines que persigue la Resistencia de Materiales es el de permitir diseñar elementos seguros, es decir que soporten las cargas que actúen sobre ellos sin romperse o deformarse excesivamente.
Hay factores de incertidumbre totalmente aleatorios de los cuales se puede conocer el valor máximo y mínimo pero no el valor que tendrán en un momento dado. Algunos de estos factores son:
• El valor de las cargas que actúan puede variar en amplios márgenes.
• El punto de aplicación puede ser diferente del supuesto en el cálculo.
• Los cálculos no son totalmente exactos.
• Las dimensiones geométricas pueden diferir de las consideradas en el cálculo.
• Los ensayos de laboratorio no se hacen nunca en las mismas condiciones.
• Los materiales no son homogéneos, variando sus propiedades de un punto a otro.
• Las condiciones de funcionamiento resistentes pueden ser muy variables.
Para evitar estos inconvenientes y simplificar las comprobaciones las normas introducen los coeficientes de seguridad que cada país establece sus valores en base a estudios estadísticos. Los factores principales que influyen en los valores de estos coeficientes son:
• El grado de control de ejecución de la estructura.
• El grado de responsabilidad de la estructura.
3. TRACCIÓN-COMPRESIÓN.
3.1. CARACTERÍSTICAS DE LA TRACCIÓN SIMPLE.
Consideremos una barra prismática. Se produce tracción simple cuando la acción resultante de las fuerzas exteriores situadas a un lado de la sección transversal ideal S se reduce a una fuerza N dirigida según el eje longitudinal de la barra prismática, si ésta es recta, o según la tangente al eje geométrico en el centro de gravedad de S, si el eje es curvo (fig. 1 a y b). El sentido de N es el indicado en la figura y determina el alargamiento de la barra. En este caso N se considera un esfuerzo de tracción. Hablamos de compresión cuando el sentido del esfuerzo N es el contrario.
(1)
La deformación de la barra se traduce en que las secciones normales al eje se trasladan perpendicularmente a sí mismas, produciéndose un alargamiento igual para todas las fibras. Esta igualdad de alargamiento de todas las fibras se produce realmente si la acción exterior de resultante N es un conjunto de fuerzas exteriores repartidas uniformemente sobre las secciones extremas. (fig. 2).
(2)
Si el sistema de fuerzas exteriores es una fuerza concentrada en el centro de gravedad de las secciones extremas (fig. 3), la hipótesis de igual alargamiento no se verifica en los segmentos extremos de la barra y en una longitud aproximadamente igual a su mayor dimensión transversal.
Efectivamente, en el caso de fuerza N concentrada en el centro de gravedad de la sección extrema, la fibra correspondiente al eje y las próximas a ella experimentarán un alargamiento mayor que las restantes, con las que son solidarias, obligándolas también a alargarse. A partir del pequeño segmento se normaliza el alargamiento que pasa a ser igual en todas las fibras.
(3)
De acuerdo con el principio de Saint Venant y salvo la perturbación local que acabamos de señalar para los segmentos extremos, admitimos igualdad de alargamiento en todas las fibras y, por tanto, reparto uniforme de tensiones sobre la sección transversal.
Se verificará, pues:
N − σx
N⋅ S = 0 ⇒ σx = S
expresión en la que S representa la superficie de la sección transversal y normales a la misma, es decir, paralelas al eje x x. σx las tensiones
Designamos con ε
Δl el alargamiento unitario o específico, ε = , que es adimensional por ser una l relación de longitudes.
3.2. LEY DE HOOKE.
Los ensayos experimentales demuestran que si medimos el desplazamiento de un punto de un cuerpo originado por la actuación de una fuerza creciente gradualmente, este desplazamiento crece proporcionalmente a la fuerza.
Esta proporcionalidad se pierde a partir de un valor determinado de la fuerza creciente. La citada proporcionalidad fue establecida por el físico inglés Roberto Hooke, en 1676, y constituye la ley fundamental de Resistencia de Materiales.
Consideremos una barra prismática sometida a la tracción producida por la fuerza N creciente desde cero. (fig. 4).
(4)
La barra experimenta un alargamiento total Δl y un acortamiento transversal.
De acuerdo con la ley de Hooke, se verifica que los alargamientos unitarios crecen proporcionalmente con las tensiones unitarias:
Δl = ε = 1 ⋅ N ⇒ ε = 1 ⋅ σ ⇒ Δl = N ⋅ l l E S E x 1 E ⋅ S
La constante de proporcionalidad es . El valor E se llama módulo de elasticidad longitudinal y E tiene un valor distinto para cada material.
Para cálculos elásticos en acero de construcción se toma un valor de E=2.100.000 Kg/ cm2.
Se tiene, pues,
E = σx . Como ε es un número puro, las dimensiones de E son las mismas de Fσx , es decir, L2 .
3.3. GRADO DE SEGURIDAD Y TENSIÓN ADMISIBLE.
Conocidas las características mecánicas del material y la tensión interior máxima en el mismo, se ha de establecer la tensión admisible σadm , es decir, la tensión de servicio que ha de estar, naturalmente, muy alejada de la tensión de rotura.
La relación entre la tensión de rotura σR
Se tiene, por tanto: la tensión admisible σadm es el grado de seguridad υ . σadm = σR υ
Los materiales frágiles se comportan casi elásticamente hasta la rotura, que no viene precedida de fenómenos especiales. En estos materiales se toma efectivamente la tensión de rotura σR como base para determinar σadm .
En los materiales dúctiles se inician las deformaciones permanentes a partir del límite elástico σe y a continuación se presenta la fluencia con la que comienzan las grandes deformaciones, produciéndose, por último, la rotura.
Así pues, en estos materiales la tensión admisible ha de ser no sólo inferior a la fluencia que representa un fenómeno importante que altera profundamente las propiedades resistentes del material, sino también al límite elástico σe y al límite de proporcionalidad σP .
Es ello necesario para que el cuerpo no se deforme de modo permanente y para que además, pueda suponerse válida la ley de Hooke.
El grado de seguridad en estos materiales se establece por la relación entre la tensión de fluencia σF y la admisible σadm :
υ’ = σF ⇒ σ σadm adm = σF υ’
3.4. PRISMA MECÁNICO RECTO. DIAGRAMA DE SOLICITACIONES O ESFUERZOS.
Las piezas reales sometidas a tracción monoaxial son, en la mayoría de los casos, prismas mecánicos cuya línea media es una recta, es lo que se llama corrientemente “barra”.
En este caso el eje x en cualquier sección de la barra coincide con la línea media del prisma, por lo que para el estudio de estos elementos se toma como eje x el que coincide con el eje de la barra.
El esfuerzo normal N que actúa en las distintas secciones depende pues de la coordenada x de tal forma que será, en general, variable a lo largo del eje de la barra.
Si tomamos en abscisas el valor de x y en ordenadas el de N(x) el diagrama resultante se denomina diagrama de solicitaciones y nos da una idea de las acciones que actúan en las distintas secciones de la barra.
El cálculo de N(x) se efectuará obligando a que se verifique el equilibrio elástico en una de las partes que se produce al cortar la barra por la sección donde queremos calcular la solicitación.
El criterio de signos que se toma para el cálculo y representación del diagrama es: TRACCIÓN ————– Positivo (+)
COMPRESIÓN ——— Negativo (-)
En la figura se da un ejemplo simple de las acciones exteriores que actúan sobre una barra recta y el diagrama de solicitaciones que éstas producen.
4. FLEXIÓN.
4.1. DEFINICIÓN. TIPOS DE FLEXIÓN.
Cuando sobre una sección de un prisma mecánico las acciones exteriores producen momentos flectores My Mz o Mf se dice que la sección está sometida a flexión, si en todas las secciones del prisma mecánico se producen momentos flectores la pieza estará sometida a flexión, produciéndose en ella unas tensiones y deformaciones que son las que analizaremos.
En general las acciones exteriores no producen solamente momentos flectores en las distintas secciones de los prismas mecánicos si no que se producen combinaciones de distintos esfuerzos internos juntamente con la flexión. Pueden presentarse casos en los que el único esfuerzo sea el de flexión pero no es el caso más corriente.
Consideremos la barra prismática recta de la figura sometida a las cargas exteriores dadas, y que se supone no están contenidas en el plano del papel.
(1)
Al cortar por una sección cualquiera, como la “A”, el equilibrio elástico exige que se produzcan los esfuerzos internos que se indican en la misma figura y que son:
Esfuerzo normal ———————N Esfuerzo cortante ——————-C
Momento flector ———————My Mz o bien Mf
Dependiendo de que las acciones exteriores provoquen sólo momentos flectores o algún otro esfuerzo adicional se producen distintos tipos de flexión que son:
Flexión Pura. Sólo existe momento flector (Mf)
Flexión Simple. Se producen momento flector (Mf) y esfuerzo cortante (C) simultáneamente. Flexión Compuesta. Se producen momento flector (Mf) y esfuerzo normal (N) simultáneamente. Además, si el vector momento flector, en cualquier tipo de flexión, coincide con uno de los ejes
principales de inercia de la sección, se dice que la flexión es recta o desviada en caso contrario.
Así podremos hablar de flexión pura recta o desviada, de flexión simple recta o desviada y de flexión compuesta recta o desviada.
La flexión que más se presenta en la práctica es la flexión simple recta, pudiéndose considerar la flexión pura como un caso particular de ésta y la flexión compuesta como la superposición de esta con esfuerzo normal.
4.2. FLEXIÓN SIMPLE.4.2.1. CONVENIO DE SIGNOS.
Antes de comenzar con el estudio de la flexión simple hemos de establecer un convenio de signos para todos los esfuerzos que intervienen en la flexión, normal y cortante.
(2)
Para el esfuerzo normal se sigue manteniendo el de los casos ya estudiados, es decir, positivo si es de tracción y negativo si es de compresión. Para los otros esfuerzos se toma por definición el convenio de signos que se detalla en la figura 2 y en la que los momentos flectores se representan como tales y no por sus vectores asociados.
En la figura se representan los esfuerzos positivos y negativos y se ha considerado un tramo de barra, como la dibujada en la figura 1, comprendida entre dos secciones perpendiculares al eje de la misma. Este convenio de signos se mantendrá durante todo el estudio de la flexión.
Deben observarse las siguientes particularidades:
• Por ser esfuerzos internos aparecen siempre por pares ya que deben estar en equilibrio entre ellos si no hay fuerzas exteriores aplicadas en este trozo de barra, por tanto no tiene nada que ver con el signo la dirección del esfuerzo o el sentido de giro del momento.
• Los momentos flectores positivos producen tracción en la parte inferior de la rebanada de barra y compresión en la parte superior, y por tanto la barra se curvará presentando la concavidad en su parte superior.
4.2.2. ELEMENTOS QUE TRABAJAN A FLEXIÓN SIMPLE RECTA. VIGAS CON PLANO DE FLEXIÓN.
Cuando sobre las secciones de un prisma mecánico los únicos esfuerzos que se presentan son un momento flector cuyo vector representativo coincide con uno de los ejes principales de inercia de la sección y un esfuerzo cortante el prisma mecánico se dice que está sometido a flexión simple recta.
Existen muchos elementos resistentes de máquinas o estructuras cuya forma de trabajo es como la indicada. Uno de estos elementos son las VIGAS. En todas las estructuras de edificación existen unos elementos, colocados en posición horizontal o sensiblemente horizontal, que reciben las cargas verticales exteriores y las transmiten, a través de los pilares, al suelo o a otros elementos, su forma de trabajo es como la descrita y se las conoce con el nombre de vigas.
Las vigas son por tanto prismas mecánicos cuya longitud y radio de curvatura son mucho mayores que las dimensiones de su sección recta, la cual no presenta variaciones bruscas de forma o dimensiones, y que trabajan principalmente a flexión.La flexión está producida por cargas verticales o que tengan componente en dirección vertical. Para que la flexión sea recta las cargas deben estar contenidas en un plano que contenga al eje de la viga y a uno de los ejes principales de inercia de las distintas secciones. En este caso el vector momento flector es perpendicular a este plano y por tanto coincide con el otro eje principal de inercia de la sección. La flexión se produce entonces en este plano que recibe por ello el nombre de plano de sección. En la figura se esquematiza lo dicho.
Cuando un prisma mecánico tiene un plano de simetría y las cargas están contenidas en ese plano, ese es el plano de flexión.
4.2.3. RELACIONES ENTRE EL MOMENTO FLECTOR, EL ESFUERZO CORTANTE Y LA DENSIDAD DE CARGA.
Las distintas solicitaciones que se producen en una sección de un prisma mecánico son debidas todas ellas a las acciones exteriores. Puesto que tienen un origen común es lógico pensar que pueda existir alguna relación entre ellas. Veamos cuales son estas.
Consideramos una rebanada de una barra, cuyo eje tiene la dirección del eje coordenado “x”, comprendida entre dos secciones rectas de ella, separadas una distancia infinitesimal “dx”, como se esquematiza en la figura.
Supongamos que en ese tramo de barra está actuando una carga uniformemente distribuida de valor ‘q por unidad de longitud, ello hace que los momentos flectores y esfuerzos cortantes que aparecen en las dos secciones no sean iguales sino que experimentan una cierta variación al pasar de una sección a otra, es decir, si en una valen M y C en la otra valdrán M+dM y C+dC. Estableciendo la condición de equilibrio de fuerzas y de momentos para esta rebanada tendremos:
C + dC + q ⋅ dx − C = 0 ⇒ dC = −q ⋅ dx q = − dC dx
Tomando momentos respecto del centro de gravedad de la sección derecha y despreciando el último término por ser un infinitésimo de orden dos tenemos:
M + dM – M – C ⋅ dx + q ⋅ dx ⋅ dx = 0 ⇒ dM = C ⋅ dx
2C = dM dx
De las expresiones q = − dC dx dM y C = dx dC dM
q = − d2M dx 2 d2M
dM q = − dx
C = y dx
q = − dx 2
Las ecuaciones son las relaciones buscadas. La ecuación C = nos dice que el esfuerzo cortante en una sección es la derivada del dx momento flector que actúa en esa sección.
Debe tenerse en cuenta que el momento flector puede variar al movemos de una sección a otra, (intervienen mas o menos cargas en el equilibrio elástico), por lo que si, el eje “x” coincide con el eje de la barra, y la variable “x” nos determina en que sección estamos, el momento flector podrá expresarse en general, como una función de “x”, lo mismo que el esfuerzo cortante.
Es decir, se podrá escribir:
M = M(x)
C = C(x)
Las expresiones anteriores se denominan leyes de momentos fléctores y esfuerzos cortantes y para cada valor de “x” se obtendrá el flector o el cortante que existe en la sección cuyo centro de gravedad está en la posición “x”.
4.2.4. DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLECTORES Y ESFUERZOS CORTANTES.
Las expresionesnos permiten calcular en cada sección el momento flector y el esfuerzo cortante que actúan en ella. No obstante es muy útil representar gráficamente estas dos funciones pues ello nos da una idea muy precisa de la forma de trabajar la viga en conjunto además de, como veremos luego, indicamos manera de deformarse.
M = M(x) ,
C = C(x)
Si tomamos unos ejes coordenados de forma que el eje “x” sea horizontal y el eje “y” vertical, y representamos en el eje “y” los valores del momento flector y del esfuerzo cortante dados por las expresiones M = M(x) , C = C(x) para cada valor de “x” los gráficos que se obtienen se denominan diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes respectivamente, como se indica en la figura siguiente.
Para evitar ambigüedades que se pueden presentar a la hora de considerar el signo del momento flector utilizaremos el siguiente convenio para representar el momento flector.
El diagrama de momentos flectores se representará siempre hacía el lado del eje “x” en el que se produzcan las tracciones en la barra.
Es decir si las tracciones se producen en la parte inferior de la barra (momento positivo), el diagrama en esa zona se representará en la parte inferior del eje x, y por encima del eje x en caso contrario (momento negativo). Cuando la barra es horizontal es fácil asociar el signo que hemos definido para el momento con la forma de representarlo, sin embargo cuando la barra es vertical el signo depende de cual sea el punto de vista con el que vemos la barra, pues si la miramos desde la derecha tiene un signo y si la vemos desde la izquierda signo contrario.
En estos casos es imprescindible representar el momento flector del lado en el que se producen las tracciones en la barra, y si así se hace, es innecesario decir que signo tiene pues queda perfectamente definido de que lado se producen las tracciones. No obstante si se desea y para aclarar mejor la forma de actuar del momento en cada tramo de la barra puede dibujarse al lado del diagrama un pequeño esquema que indique la forma de trabajar de la barra. Todo lo dicho se indica esquemáticamente en la figura siguiente.
Respecto al esfuerzo cortante se representa hacia arriba si es positivo y en la parte inferior del eje si es negativo. Para evitar errores y ambigüedades es conveniente dibujar al lado del diagrama un pequeño esquema lo mismo que en el de momentos flectores.
dM
De acuerdo con la ecuación C = , al ser el esfuerzo cortante la pendiente del diagrama de momentos, el momento flector tendrá los máximos relativos (pendiente horizontal), si existen, en los puntos donde el cortante sea nulo, (recuérdese que el punto del máximo de una función se obtenía haciendo cero la primera derivada).
dx
Por último debe tenerse en cuenta que seguiremos pudiendo aplicar el principio de superposición a la determinación de leyes y diagramas de momentos y cortantes. Este principio permite descomponer un problema en otros mas sencillos y luego sumar los resultados.
5. PANDEO.
5.1. RESISTENCIA AL PANDEO.
En las piezas prismáticas de longitud excesiva con respecto a la dimensión transversal mínima, comprimidas por carga axial, se produce el fenómeno de rotura por pandeo a flexión lateral.
5.2. FÓRMULAS DE EULER.
El valor de la carga crítica PE, capaz de producir el pandeo, es, en los cuatro casos señalados en la figura 1, el siguiente:
• Barra empotrada por el extremo B y enteramente libre por el otro extremo (fig. 1, a):
2 = π ⋅ E ⋅Imin E 4 ⋅ l2
• “Caso fundamental”. Barra simplemente apoyada en los extremos, guiados en la dirección
del eje primitivo (fig. 1, b):
P = π ⋅ E ⋅Imin l
• Barra empotrada en B y apoyada por el extremo A, que sólo puede moverse en la dirección del eje primitivo (fig. 1, c):
P = 2 ⋅ π ⋅ E ⋅Imin l
• Barra empotrada por ambos extremos, que sólo pueden moverse en la dirección del eje primitivo (fig. 1, d):
P = 4 ⋅ π ⋅ E ⋅Imin l
El valor de PE es independiente de la resistencia a la rotura del material. Depende solamente del módulo de elasticidad longitudinal del mismo, es decir, de la clase de material, y de circunstancias geométricas de la barra considerada (l, Imin). En las fórmulas de Euler, l es la longitud de la barra en centímetros; E, el módulo de elasticidad longitudinal en Kg/cm2; Imin, el mínimo momento de inercia de la sección en cm4; PE es la carga crítica en kilogramos.
El “caso fundamental” es el de la barra articulada en sus extremos (fig. 1, b). La tensión crítica en este caso es
σ = π ⋅ E ⋅Imin = π ⋅ E ⋅ S ⋅ imin = π ⋅ E = π ⋅ El ⋅ S l ⋅ S ⎛ l ⎞ λ ⎜ ⎟ ⎝ imin ⎠
La relación entre la longitud lp (distancia entre extremos articulados) y el radio de giro mínimo de la sección imin, se llama esbeltez y la designamos por λ .
Para los demás casos se define la esbeltez introduciendo la noción de “longitud de pandeo”, que llamaremos
lp ⇒ λ = lp . imin
Se llama “longitud de pandeo” lp de una barra cualquiera de longitud l, a la longitud de una barra recta prismática, articulada en sus extremos y cuya carga crítica PE sea la misma que la correspondiente a la barra real considerada.
(1)
Para los cuatro casos clásicos de pandeo, cuyas cargas críticas de Euler hemos detallado lp anteriormente, las longitudes lp siguientes:
(Fig. 1, a) ⇒ lp = 2l
(Fig. 1, b) ⇒ lp = l
(Fig. 1, c) ⇒ lp = 0,707l
(Fig. 1, d) ⇒ lp = 0,5l
a tener en cuenta para definir la esbeltez λ = imin , son las Como complemento a los cuatro casos clásicos, indicamos a continuación otros dos que consideramos importantes.
La figura 2 representa el caso de la barra perfectamente empotrada en sus extremos, los cuales sufren un deslizamiento relativo Δ .
La barra funciona como empotrada por un extremo y libre por el otro, y con una longitud .
2
|
La carga crítica de Euler, correspondiente a este caso, valdrá:
π PE = ⋅ E ⋅Imin =2 π 2 ⋅ E ⋅I 2 4 ⎛ l ⎞ l ⎜ ⎟ que coincide con la del “caso fundamental”.
Es importante (por aparecer con frecuencia en las aplicaciones constructivas) considerar el caso de desplazamiento relativo de ambos extremos cuando uno de ellos está empotrado y el otro articulado (figura 3)
(3)
La barra se puede considerar que funciona como empotrada en B y libre en A, o bien, como una barra de longitud 2l con sus extremos articulados. La carga crítica de Euler es:
P = π ⋅ E ⋅Imin = π ⋅ E ⋅Imi E (2⋅l)24 ⋅ l
5.3. CARGA ADMISIBLE POR PANDEO.
La carga en kilogramos que admite una barra expuesta al pandeo, es solamente una fracción del valor PE , y la designaremos como PE adm .
Se obtiene dividiendo PE por el grado de seguridad υ adoptado:
PE adm = PE υ
6. CORTADURA.
6.1. INDICACIONES GENERALES.
El fenómeno de la cortadura se produce cuando una determinada sección de un cuerpo desliza respecto a la inmediata, y este deslizamiento es producido por fuerzas exteriores cuya actuación se localiza en la superficie S de la sección considerada.
A diferencia de los fenómenos de tracción y compresión, en los que las fuerzas aplicadas actúan en dirección axial, la cortadura o cizalladura (también llamada deslizamiento) se produce como consecuencia de una fuerza que actúa tangencial o paralelamente a la superficie.
Si designamos con Fτ la resultante de las fuerzas que actúan en la sección, se llama tensión cortante al valor τ = Fτ en la hipótesis de distribución uniforme de la fuerza F sobre la S τ superficie S.
Un ejemplo claro se indica en la siguiente figura, que representa dos chapas unidas entre sí por un remache. Las chapas están sometidas al esfuerzo F en el plano de la sección a b.
|
Si el área de la sección a b del remache tiene S cm2 y expresamos la fuerza en kilogramos, la τ tensión cortante en a b vale τ = Fτ S Kg/ cm2 en la hipótesis de reparto uniforme.
6.2. ESFUERZO CORTANTE SIMPLE.
Si consideramos un bloque rectangular A B C D sometido a una tensión cortante τ o se puede conseguir su equilibrio mediante esfuerzos iguales y opuestos ejercidos sobre los lados paralelos A B Y C D, ya que las fuerzas τ constituyen un par que determina un giro.
Se demuestra en Mecánica Elástica que existen otros esfuerzos cortantes con el mismo valor τ en los lados B C Y A D que determinan un par opuesto al primero.
6.3. DEFORMACIÓN CORRESPONDIENTE AL ESFUERZO CORTANTE SIMPLE.
Un elemento cuadrado A B C D, de lado l, sometido a esfuerzo cortante simple (fig. 1) experimenta una deformación como la indicada en la línea de trazos A’ B’ C’ D’. Al no existir tensiones normales a las caras del elemento, las longitudes A B, C D, B C, AD no varían durante la deformación. La diagonal A C alargará y la B D acortará, transformándose el cuadrado en el rombo A’ B’ C’ D’. Los ángulos rectos en A y C se convierten en los ángulos π − γ , y los ángulos 2 en B y D se transforman en los π + γ .
Para expresar claramente la deformación es práctico trasladar y girar el elemento deformado detal modo que A’ se sitúe sobre A y D’ sobre D.
Se obtiene así, teniendo en cuenta la pequeña de las deformaciones, la figura A B’’ C’’ D (fig. 2), en la que se tiene γ = BB’ ‘ = Δl .
AB lγ es la deformación unitaria por cortadura respecto al A D. Δl representa el deslizamiento relativo del lado B C se aprecia así muy claramente la analogía entre deformación unitaria por cortadura y deformación unitaria en el caso de esfuerzo longitudinal simple.
Δl En los esfuerzos longitudinales, ε = . l Δl
En la cortadura, γ = , siendo en este caso el deslizamiento l Δl perpendicular a la longitud l, con lo que la relación Δl representa un ángulo.
6.4. MÓDULO DE ELASTICIDAD TRANSVERSAL.
Dentro del campo elástico de un material existe proporcionalidad entre la deformación unitaria γ y 
τ la tensión cortante τ que la produce: γ = G
La constante de proporcionalidad se llama módulo de elasticidad transversal.
En el acero de construcción G=810.000 Kg/ cm2.
6.5. TENSIÓN ADMISIBLE.
En el acero de construcción tracción.
Así, para:
τadm = 0,8 σadm , siendo σtadm el coeficiente de trabajo admisible en σtadm = 1400 Kg/ cm2⇒ τadm = 1120 Kg/ cm2
6.6. DIAGRAMA TENSIÓN-DEFORMACIÓN.
La solicitación cortante es consecuencia del equilibrio que debe producirse en una sección frente a la acción de una fuerza paralela al plano de la sección, pero esta fuerza puede provocar también otras solicitaciones que no debemos tener en cuenta ahora, como por ejemplo momento flector.
Para que tengamos solamente esfuerzo cortante, supongamos que este se produce en una zona limitada, del prisma mecánico que estamos estudiando, por efecto de la acción de dos fuerzas iguales y contrarias y cuya línea de acción está muy próxima de forma que el momento que se pueda originar es despreciable, como sería por ejemplo el caso que se presenta cuando consideramos el efecto de dos cuchillas sobre una placa, como se indica en la figura.
En este caso la pequeña zona comprendida entre ambas está solicitada por fuerzas cortantes exclusivamente.
La deformación producida en esta zona por el cortante es una deformación angular γ como se indica en la misma figura, debido al desplazamiento, en la dirección de la fuerza aplicada de una sección respecto de la otra.
Admitiendo en principio que la fuerza se distribuye uniformemente en la sección S donde actúa. Si medimos en cada momento la tensión cortante τ que estamos aplicando y la deformación angular producida y llevamos ambas magnitudes a un gráfico se obtiene una representación, en el caso de un acero, similar a la dibujada en la figura anterior y en la que puede verse que hay una primera parte que es lineal y en la que por lo tanto las deformaciones y las tensiones son directamente proporcionales.
En esta zona la ley que liga las tensiones con las deformaciones se expresa como vimos anteriormente por:
τ = γ ⋅ G
A partir de aquí la curva sigue una ley no lineal y el material sufre la planificación primero y la rotura después.
7. TORSIÓN.
7.1. INDICACIONES FUNDAMENTALES.
Consideremos (fig. 1) un eje de sección circular empotrado en su extremo B. En su extremo libre A está sometido a la acción de un par barra aplicado en el plano de la sección transversal de la F ⋅ a
Esta clase de acción determina en la barra el tipo de trabajo llamado torsión.
|
Como consecuencia de la torsión, la sección A gira un ángulo , ángulo total de torsión, t respecto a la sección en B. (fig. 2).
Si dibujamos sobre la superficie de la barra una generatriz a b, pasa, después de la deformación producida por la torsión a la posición a’ b’.
El ángulo γ es la distorsión que acompaña a la tensión cortante originada en la torsión.
Si damos una sección transversal ideal cualquiera, aparecen en ella tensiones cortantes de torsión que equilibran al momento torsión MT exterior. Se designa con el nombre de momento torsor para una sección ideal, la suma algebráica de los pares de fuerzas que haya a uno u otro lado la sección considerada.
7.2. CÁLCULO.
Las hipótesis en que se basa el cálculo de las barras de sección circular sometidas a torsión, son las siguientes:
Las secciones circulares del eje permanecen circulares durante la torsión y sus diámetros y distancias entre ellos no varían, para ángulos de torsión pequeños.
Las secciones permanecen planas y giran como si fuesen absolutamente rígidas. Todo diámetro en la sección recta permanece recto y gira el mismo ángulo.
Las tensiones cortantes de torsión están ligadas con las variaciones angulares γ por la relación γ = τ G
Bajo estas hipótesis se obtienen las siguientes conclusiones:
El ángulo de torsión θ entre dos secciones distanciadas la unidad de longitud vale. θ = MT G ⋅Ip
En esta expresión MT es el momento torsor, G el módulo de elasticidad transversal e Ip el omento de inercia polar de la sección. El ángulo total de torsión es:
ϕ = MT ⋅ l Ip t G
La tensión cortante máxima de torsión vale:
τmax = MT ⋅ R Ip
R es el radio de la sección circular. La tensión en un punto situado a una distancia r del centro vale:
τ = MT ⋅ r Ip
La distribución de las tensiones cortantes de torsión en la sección transversal se indica en la figura:
7.3. TORSIÓN DE EJES HUECOS.
En el cálculo a torsión de árboles huecos, se aceptan las mismas hipótesis hechas para el cálculo de ejes de sección maciza y son válidas las mismas expresiones generales para le cálculo de tensiones y deformaciones.
π(D4 − D4 )
En este caso Ip = e i , expresión en la que D32 e y Di representan los diámetros exterior e interior respectivamente.
7.4. CRITERIO DE SIGNOS.
Es conveniente definir un criterio de signos para los momentos torsores que pueden actuar en una barra, pues estos pueden ser variables y producir giros hacia un lado o hacia el contrario.
En la figura se define un posible criterio de signos.
Se considera momento positivo cuando al aislar un tramo de barra los vectores momento “salen” de las secciones extremas y será negativo en caso contrario cuando “entran” en las secciones extremas del elemento.
Lógicamente estos vectores momento deben estar en equilibrio, para que el elemento esté en equilibrio, y ello exige que los momentos torsores que actúan en las secciones extremas sean iguales y contrarios. En cada caso ambos momentos, aunque sean contrarios, tienen ambos signo mas o signo menos (lo mismo que en flexión) y la distinción por tanto se establece en función del giro producido en una sección respecto de la otra, que en un caso es a derechas y en el otro a izquierdas.
Debe tenerse en cuenta que, para determinar el giro producido por cada momento en la sección en la que actúa, se procede siguiendo la “regla del sacacorchos”, es decir el giro se produce en el mismo sentido en el que debe girar el sacacorchos para que avance en el sentido indicado por el vector momento.
Este criterio de signos no es único pero si se elige otro deberá procederse siempre congruentemente con el signo elegido, para definir el resto de los parámetros que intervienen.
7.5. DIAGRAMAS DE MOMENTOS TORSORES Y ÁNGULOS DE GIRO.
El momento torsor puede ser variable a lo largo del eje de la barra, bien porque haya momentos puntuales aplicados en distintos puntos, bien porque exista una distribución uniforme de momentos torsores a lo largo de su eje.
En cualquier caso siempre se podrá establecer una ley que nos diga cómo varia e momento torsor a lo largo del eje de la barra.
Pues bien, a la representación gráfica de esta ley se le denomina diagrama de momentos torsores y representa gráficamente, incluido el signo, como varía el momento torsor a lo largo del eje de la barra.
De la misma forma a la representación gráfica de los ángulos absolutos girados por las distintas secciones de la barra se le denomina diagrama de ángulos de giro o diagrama de ángulos de torsión.
A título de ejemplo consideramos la barra biempotrada de la figura 1sometida a un par torsor en una sección intermedia. Se supone que los parámetros G e Ip “a” y “b” son datos así como las distancias
Suprimiendo el empotramiento derecho y sustituyéndolo por el par MB la condición que hemos de imponer es que la sección B no gire para que se mantengan las mismas condiciones iniciales.Como ambos empotramientos se oponen al torsor aplicado los pares de reacción en A y B serán como se indican en la misma figura con lo que el diagrama de momentos torsores es el indicado en la figura siguiente.
La ecuación de la estática es:
Y la condición en deformaciones es:
M = MA + MB (1) = B
Teniendo en cuenta que el giro absoluto del extremo B puede expresarse como el giro de B respecto a C más el giro de C respecto a A podemos escribir:
ϕ = ϕ + ϕ = MB ⋅ b + − MA ⋅ a = 0 ⇒ ⋅ b = ⋅ a B BC G ⋅Ip (2) MB MA
Las ecuaciones (1) y (2) permiten obtener el valor de los momentos torsores de MA y MB que son
M = M ⋅ b A a + b = M ⋅ aB a + b
La ecuación ϕ = MT ⋅ l permite calcular ahora el ángulo girado por la sección C que es:
Ip t G ⋅ ϕ = ϕ = M ⋅ a ⋅ b CA G ⋅Ip a + b
El diagrama de ángulos de giro es el que se representa en la figura teniendo en cuenta que los empotramientos no giran y la variación de los ángulos girados es lineal.
8. BIBLIOGRAFÍA.
• Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales.
Universidad de Oviedo, Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Gijón.
Miguel Ángel Castrillo Cabello, octubre de 1995.
• Mecánica de Estructuras. Libro 1 Resistencia de Materiales.
Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona.
Miguel Cervera Ruiz y Elena Blanco Díaz. Ediciones UPC, 2001.
• Libro Resistencia de Materiales.