Tema 23 – Representación en perspectiva isométrica y caballera

INDICE

1. INTRODUCCIÓN

2. SISTEMA DE EJES COORDENADOS ORTOGONALES

3. SISTEMA AXONOMÉTRICO

3.1. Fundamentos y notaciones.

3.2. Clases de perspectiva axonométrica.

3.3. Triángulo fundamental.

3.4. Coeficientes de reducción y escalas.

3.5. Determinación del coeficiente de reducción

3.6. Graduación de los ejes.

3.7. Practica de la perspectiva isométrica.

3.7.1. Piezas formadas por caras planas sin curvas.

3.7.2. Circunferencias y curvas en perspectiva isométrica.

4. PERSPECTIVA CABALLERA

4.1. Coeficientes de reducción.

5. CONCLUSIÓNES

6.- BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA.

LOPEZ GONZALEZ, R: Apuntes sistema axonométrico. D.L. MU- 575 – 1982

IZQUIERDO ASENSI, F: Geometría Descriptiva. Ed. Dossat. Madrid (1968)

FRENCH Y SVENSEN : Dibujo Técnico. Ed. Gustavo Gili, S.A. Barcelona (1971)

FERREL MUÑOZ, J.L : Sistema Axonométrico. Servicio de Publicaciones U. Politécnica

Valencia. (1977).

RODRÍGUEZ DE ABAJO, F.J. y ARTERO PUJOL, F: Técnicas Gráficas. Ed. Donostiarra. San Sebastián. (1973)

1. INTRODUCCIÓN.

La representación de las formas, geométricas o no, se hace normalmente por medio de diferentes vistas, esto es, proyecciones ortogonales. Sin embargo, por la ayuda que representa en la interpretación de planos, es conveniente que todo proyectista sea capaz de dibujar una perspectiva de la forma que ha representado, ya sea a mano alzada, ya sea con la ayuda del compás y la regla.

Existen varios sistemas de representación de un cuerpo en el espacio: sistema diédrico, sistema de planos acotados, sistema axonométrico, sistema cónico y caballera.

La perspectiva caballera es considerada por algunos autores como un caso particular del sistema axonométrico, mientras que por otros autores es un sistema independiente.

Los sistemas perspectivos tienen una gran ventaja respecto de los sistemas de medidas: que la interpretación de los planos la puede hacer cualquiera, mientras que en diédrico o en planos acotados se requieren unos conocimientos del sistema en el receptor o interprete del plano. También presentan inconvenientes, de entre los que destacaríamos:

§ Mayor dificultades de ejecución de planos

§ Mayor tiempo invertido.

Pero, ¿qué es el sistema axonométrico?, ¿cómo se realiza la perspectiva

caballera?,¿qué es el triángulo órtico?… Estas y otras preguntas las desarrollaremos a lo largo de este tema.

2. SISTEMA DE EJES COORDENADOS ORTOGONALES.

Se llama sistema de ejes coordenados ortogonales, al formado por tres rectas X. Y y Z, perpendiculares entre si dos a dos, siendo cada una de ellas perpendiculares al plano determinado por las otras dos. (Fig. 2.1)

Las rectas se llaman ejes coordenados y los planos que determinan, planos coordenados, los cuales, al cortarse, dividen al espacio en ocho triedros trirrectángulos, tales como el OXYZ.

Si un punto cualquiera A del espacio, lo proyectamos ortogonalmente sobre cada uno de los planos coordenados, obtendremos las proyecciones A₁, A₂ y A₃. Cada dos de estas proyectantes como la AA₂ y AA₃ determinan un plano que corta al eje Z en P, obteniéndose análogamente los puntos M y N sobre los ejes X e Y, respectivamente. Se ha formado de este modo un paralelepípedo rectángulo, en el que tres de sus aristas coimciden con los ejes coordenados, siendo A el vértice opuesto al punto O, llamado origen de coordenadas.

Las longitudes OM=x , ON=y, y OP=z reciben el nombre de coordenadas del punto A y son las que determinan la posición del punto en el espacio.

En efecto, conocidas las tres coordenadas x y , z del punto, podemos determinar éste construyendo el paralelepípedo de aristas OM, ON y OP, iguales respectivamente, a las coordenadas dadas, cuyo vértice A nos dará el punto que buscamos. También puede construirse el rectángulo OMA₁N de lados OM y ON, y por el vértice A₁, trazar un segmento A₁A, igual y paralelo a OP, siendo su extremo A el punto buscado.

Las proyecciones A₁, A₂ y A₃, se denominan proyección horizontal, vertical primera y vertical segunda, respectivamente.

3. SISTEMA AXONOMÉTRICO.

3.1. Fundamentos y notaciones.

El fundamento de representación de un punto en este sistema, consiste en proyectar ortogonalmente el punto sobre las tres caras de un triedro trirrectángulo y proyectar todo este conjunto ortogonal u oblicuamente sobre el plano del dibujo también llamado plano del cuadro.

Si la proyección es ortogonal, la perspectiva se llama axonométrica ortogonal, si es oblicua, axonométrica oblicua. En lo sucesivo nos limitaremos a la perspectiva axonométrica ortogonal.

A las tres aristas del diedro le llamaremos ( X ), ( Y ), y ( Z ). Al punto en el espacio (P) y a sus proyecciones sobre el triedro ( P₁ ), ( P₂ ) y ( P₃ ), proyección horizontal, vertical primera y vertical segunda respectivamente. (Fig. 3.1.)

Después de proyectado todo el conjunto sobre el plano del cuadro, todo conserva la misma denominación pero sin paréntesis.

3.2. Clases de perspectiva axonométrica.

Teniendo en cuenta las combinaciones de ángulos entre ejes a que pueden dar lugar los tres ejes coordenados con respecto al plano del cuadro nos aparecen tres tipos de sistemas.

1.- Sistema Axonométrico Isométrico.

2.- Sistema Axonométrico Dimétrico.

3.- Sistema Axonométrico Trimétrico.

1.- El sistema Axonométrico Isométrico se da en el caso de que los tres planos coordenados que constituyen los tiedros forman el mismo ángulo con el plano del cuadro, con lo que sus intersecciones o ejes axonométricos se proyectan sobre dicho plano formando el mismo ángulo entre sí, es decir 120º.

2.- El sistema Axonométrico Dimétrico tiene dos de sus planos coordenados formando el mismo ángulo con el plano del cuadro, esto se refleja en que en la proyección de sus ejes axonométricos sobre dicho plano dos de ellos formarán el mismo ángulo, siendo el tercero desigual a los otros dos .

3.- El sistema Axonométrico Trimétrico se da cuando los planos coordenados forman ángulo distinto con el plano del cuadro, por lo que la proyección de sus ejes se manifestará formando distintos ángulos entre sí.

Los ángulos que forman los tres ejes coordenados X, Y y Z con el plano del cuadro los vamos a llamar a, b, y g. Según que estos ángulos sean distintos, dos iguales o los tres iguales, darán lugar, cada uno de estos casos a un tipo de axonometría:

· Si a=b=g Perspectiva axonométrica trimétrica.

· Si a=b=g Perspectiva axonométrica dimétrica.

· Si a=b=g Perspectiva axonométrica isométrica.

Si el plano del cuadro coincide con el XZ del triedro trirrectángulo de referencia, tenemos la perspectiva caballera, objeto de estudio posterior.

De estas clases de axonometría no cabe duda que la isométrica es la más importante.

3.3. Triángulo fundamental..

El plano del cuadro receptor de las cuatro proyecciones de un elemento, es considerado horizontal, por lo que únicamente se proyectará en verdadera magnitud aquello que esté contenido en un plano paralelo a él, de lo que se deduce que ninguna de las proyecciones hechas sobre los planos coordenados podrá verse en verdadera magnitud ni aún así en los propios ejes, estos problemas de tipo métrico serán estudiados más adelante.

En cuanto a la situación del plano del cuadro, supondremos en un principio que pasa por el punto O, intersección de los tres planos coordenados y origen de los ejes axonométricos. En algunas ocasiones y por diversas causas tendremos la necesidad de trabajar no ya sobre el plano del cuadro sino sobre uno paralelo a él, por lo que nos vemos precisados a obtener la intersección de un plano horizontal con los planos coordenados, en la obtención de dicha intersección deberemos tener presente en primer lugar que se trata de triedros trirrectángulos, facultad que conlleva las siguientes propiedades:

a.- ángulos diedros de 90º

b.- amplitud de las caras del triedro de 90º

c.- las aristas son perpendiculares a la cara opuesta.

La intersección producida será, en cualesquiera de los tres sistemas enumerados, un triángulo al que llamaremos “triángulo fundamental” o “triángulo de trazas”. (Fig. 3.3.)

En el sistema Isométrico la sección producida será un triángulo equilátero, dada la igualdad del ángulo entre los ejes axonométricos.

En el sistema Dimétrico y por la igualdad de dos de los ángulos, siendo distinto el tercero, nos aparecerá como intersección un triángulo isósceles.

En el sistema Trimétrico, los ángulos entre ejes axonométricos son distintos, por lo que el triángulo sección tendrá ángulos diferentes.

3.4. Coeficientes de reducción y escalas.

Si sobre el eje X tenemos un punto A, distante del origen O la longitud unidad OA= u, y lo proyectamos sobre p, en X’, la proyección OA’= u _x es la correspondiente a X’ y se llama escala axonométrica de X.

La relación u_x /u entre ambas unidades se llama coeficiente de reducción del eje X, y se designa por c_x,. Esta proyección es la que existe entre la proyección B’C’ de un segmento y la longitud BC de éste, en el espacio. Por tanto, c_x=B’C’/BC.

Como lo mismo sucederá para los otros dos ejes, podremos enunciar:

Si sobre cada eje X, Y y Z se lleva una longitud unidad u, sus proyecciones u_x, u_y y u_z sobre p se denominan escalas axonométricas de los ejes. Los cocientes:

se llaman coeficiente de reducción de los ejes.

Los valores de estas relaciones dependen únicamente de la magnitud del ángulo que cada eje forma con p (por ser los cosenos de estos ángulos). Si los ángulos son iguales, como ocurre en el sistema isométrico, se verificará:

, luego o sea, c_x = c_y = c_z

Conocida pues, la escala axonométríca u_x = u_y = u_z y las coordenadas x = 3,

y = 6 y z = 5 de un punto A, basta tomar sobre los ejes las longitudes OM’ = 3u_x,

ON’ = 6u_y y OP’ = 5u_z y trazando por estos puntos paralelas a los otros ejes, se obtiene el paralelepípedo de la figura y las cuatro proyecciones A’ , A’₁ , A’₂ , A’₃ del punto. (Fig. 3.4.)

3.5. Determinación del coeficiente de reducción.

Cortemos los tres ejes del sistema isométrico por un plano a paralelo al de proyección. El tetraedro ABCO así formado, es regular por tener los tres ejes la misma inclinación respecto a a y ser iguales los ángulos de las caras que concurren en O. La proyección O’ del vértice O es el centro del triángulo equilátero ABC y las proyecciones O’A, O’B y O’C de los ejes serán normales a cada lado del triángulo.

Haciendo OA = OB = OC = a, en el triángulo rectángulo AOB se verifica:

luego AB = AC = CB =

En el triángulo rectángulo CBD:

y siendo O’C

y el coeficiente de reducción valdrá:

3.6. Graduación de los ejes.

Para determinar gráficamente las escalas sobre cada uno de los ejes (escalas de reducción, como hemos visto) razonaremos apoyándonos en la figura 3.6.1.

Consideremos el triedro trirrectángulo VABC. Su intersección con el plano del cuadro es el triángulo de trazas ABC.

Supongamos el segmento e situado sobre el eje (Y). Para determinarlo sobre el eje en proyección Y, abatimos la cara del triedro B(V)C sobre el plano del cuadro, tomando como charnela BC.(Fig.3.6.2)

Como el ángulo que forman (y) y (z) es de 90º, trazamos una semicircunferencia (lugar geométrico del ángulo recto) que tenga por diámetro BC. El vértice (V) abatido estará sobre la semicircunferencia y es la prolongación del eje X, puesto que el plano proyectante que pasa por (V)A, corta perpendicularmente a BC y el eje X es perpendicular a BC.

3.7. Práctica de la perspectiva isométrica.

Para construir una perspectiva isométrica tenemos que partir de las “vistas” en proyección diédrica. Es, por tanto, un proceso inverso a la obtención de éstas dada la perspectiva.

3.7.1. Piezas formadas por caras planas sin curvas.

La fases a seguir por orden cronológico hasta la completa realización de la pieza, e independientemente de su dificultad son:

1º.- Dibujar los ejes, formando un ángulo de 120º.

2º.- Asignar la dirección de un eje cualquiera al largo de la pieza, idem al ancho y al alto. Al variar la dirección que demos a estas medidas, variará la dirección de la pieza, pero no su forma.

3º.- Consideramos el vértice marcado como origen de medidas y lo situamos en O.

4º.- A partir de O y sobre la escala 0, 816/1, llevamos las correspondientes medidas, sobre los ejes cuyas direcciones fijamos en la fase 2ª.

5º.- Unimos por paralelas a los ejes formando así un paralelepípedo que “envuelve” a la pieza.

6º.- Siguiendo siempre la dirección de los ejes fijada y tomando las medidas en la escala 0,816/1, vamos “quitando” al paralelepípedo anterior cajeados, ranuras, etc.

7º.- Acotar. Debe hacerse respetando en lo posible todas las normas aplicables a la acotación de vistas. Las flechas deben hacerse con la línea de cierre paralela a la línea de referencia. Estas y las líneas de cota serán paralelas a alas direcciones de los ejes de perspectiva. Los números se hacen inscritos en un cuadrilátero formado por líneas paralelas a las de cota y a las de referencia.(Fig. 3.7.1.).

3.7.2. Circunferencias y curvas en perspectiva isométrica.

Las circunferencias situadas en cualquier cara de la pieza, se transformarán en elipses como consecuencia de la oblicuidad de la perspectiva. No obstante, por la

comodidad que supone y la analogía, se dibujan óvalos en lugar de elipses.

El problema radica en averiguar cuales deben ser las direcciones de los ejes mayor

y menor en la perspectiva, ya que todas las fases seguidas en el punto 3.7.1., tienen validez en este caso.

El problema no existe sabiendo que:

PLANO SITUACIÓN DIRECCIÓN EJE

CIRCUNFERENCIA MENOR ÓVALO

XY ………………………………………….Z

XZ ………………………………………….Y

YZ ………………………………………….X

Y teniendo en cuenta la dirección de los ejes del óvalo, nos falta para su trazado conocer sus dimensiones.

Estas dimensiones las encontramos en un ábaco (última página del tema).Del ábaco también podemos extraer los valores de los radios del óvalo para su trazado.

Existe otro procedimiento más sencillo que el expuesto para la realización de los óvalos. Consiste en inscribir la circunferencia en un cuadrado, dibujarlo en perspectiva (será un rombo) y dibujar un óvalo inscrito en él.

4.-PERSPECTIVA CABALLERA.

En esta perspectiva, el plano XOZ (primer vertical) del triedro coordenado se hace coincidir con el plano de proyección o cuadro  (plano del dibujo), y se coloca en posición vertical.

Los planos coordenados quedan así en la posición que indican sus nombres. El XOY, horizontal y los otros dos, verticales. En cuanto a los ejes, el Y es normal al cuadro y los X y Z, en dirección horizontal y vertical, respectivamente.

Como los ejes X y Z coinciden con sus proyecciones, representaremos éstas con las letras X y Z y la proyección del eje Y, por Y’.

La posición de Y’ viene dada por el ángulo  que forma con X. Si  = 225º (prolongación de la bisectriz XOZ), la perspectiva se llama “regular”. No es frecuente emplear ángulos de 0º, 90º, 180º o 270º ni próximos a éstos, por resultar la perspectiva bastante deformada. Los más utilizados en la practica son los que forman 30º , 15º, o 60º con los ejes, por ser los que pueden trazarse con el juego de escuadras.

4.1. Coeficiente de reducción.

El coeficiente de reducción, que designaremos por R, se toma menor que la unidad. En caso contrario, las figuras aparecen alargadas en el sentido Y’, deformando la perspectiva. De aquí los nombres de “usual” y “deforme” según que R, sea menor o mayor que la unidad. Los valores corrientes son: R = 1/2, 2/3 y 3/4.

El coeficiente de reducción suele expresarse gráficamente, señalando sobre Y’ la longitud OA’ = u , (abatimiento del segmento OA = u). Si la unidad se toma sobre la perpendicular O (A) a OY’, la recta (A) A’ es el abatimiento de la dirección de proyección, con lo que también se obtienen los ángulos yque esta forma con Y y con el cuadro, respectivamente. (Fig. 4.1.).

En cuanto a las notaciones de las diversas proyecciones y trazas son idénticas a las de perspectiva axonométrica..

5. CONCLUSIÓN.

Las representaciones en perspectiva tienen frecuente aplicación para el dibujo de detalle, complementario de los planos constructivos, así como para aclarar la forma de las máquinas, aparatos y equipos.

Entre los sistemas perspectivos más importantes encontramos el sistema axonométrico y la perspectiva caballera.

Dentro de la perspectiva axonométrica encontramos diversos tipos dependiendo del ángulo que formen los tres ejes coordenados con el plano del cuadro: Isométrico, Dimétrico y Trimétrico. El más importante es el sistema Isométrico, donde los tres ángulos son iguales.

En la perspectiva caballera encontramos dos ejes formando 90º, X y Z, mientras que el eje Y puede formar diversos ángulos con los dos anteriores, dando lugar a distintos tipos de perspectiva caballera.