Probabilidade

1. Presentación e xustificación:

Presentación:

Vou a describir a unidade didáctica nº 15 da miña programación para a área de matemáticas de 4º de ESO.

Como se especifica na programación, é unha unidade dirixida a rapaces e rapazas duns 15 anos, o que os sitúa no inicio do pensamento abstracto.

Xustificación:

A unidade titúlase Probabilidade. ¿Por qué se inclúe no programa?

Por unha parte, dende o punto de vista legal, o currículo autonómico indica como contidos a tratar en 4º ESO Experimetos aleatorios e sucesos. Probabilidade simple e composta.

Dende un punto de vista teórico, o cálculo de probabilidade é unha ferramenta vital con numerosas aplicacións prácticas en combinación coa estatística (predición meteorolóxica, controis de calidade, estratexias de xogo e decisión) e permiten a análise crítica de certas informacións ou situacións (timos, profecías, curiosidades e casualidades…).

Secuenciación:

(local) A secuenciación establecida na programación ubícanos a unidade no terceiro trimestre, sendo a última unidade do curso e rematándose con ela o bloque formado polas unidades 13, 14 e 15 que inclúe estatística, combinatoria e probabilidade.

Os contidos das unidades 13 e 14 son requisitos para o estudo da 15 fundamentalmente pola explicación do concepto probabilidade a través do concepto de frecuencia e pola importancia do emprego de técnicas de reconto para a resolución de problemas probabilísticos, de ahí a secuanciación da unidade dentro deste bloque.

(global) Por outra banda, o feito de que as funcións constitúan a base teórica do estudio das distribucións de probabilidade, aínda que ata o bachatrelato non se fai patente, é motivo polo cual é habitual atopar o bloque de estatística ó final de calquera programación de matemáticas para o ensino secundario (falo na pragramación da estructura similar da materia nos diferentes cursos do ensino).

2. Obxectivos didácticos:

Na programación indícanse os obxectivos didácticos da unidade. Nos obxectivos xerais da área de matemáticas do currículo aparece: Emprega-los métodos e procedementos estatísticos e probabilistas para obter conclusións a partir de datos recollidos no mundo da información.

Dun xeito máis ampliado, preténdese que ó final da unidade os alumnos logren:

3. Contidos:

Os contidos da unidade están tamén en relación cos contidos mínimos establecidos no currículo comentados na presentación: Experimentos aleatorios e sucesos. Probabilidade simple e composta; Utilización de distintas técnicas combinatorias na asignación de probabilidades simples e compostas.

Lístanse tódolos contidos na programación; de forma resumida trataránse: experimentos aleatorios e deterministas, sucesos e tipos, probabilidade como límite de frecuencias, probabilidade simple e composta, teoremas das probabilidades totais e de Bayes e procedementos de cálculo e identificación relacionados cons conceptos estudiades. Contidos actitudinais serían a actitude crítica ante as informacións referidas ó azar, valorar as aplicacións prácticas da probabilidade e o coidado á hora de realizar cálculos.

4. Metodoloxía:

Na programación insístese en que a metodoloxía será activa e participativa; debemos evitar que o alumno sexa un suxeito pasivo no proceso de EA.

Pedagóxicamente seguíamos os principios constructivistas: partir dos coñecementos previos do alumno para que constrúa os novos có profesor como guía.

Seguirase o esquema de actividades suxerido na programación, con actividades de intruducción, de desenvolvemento, de reforzo, ampliación e de síntese.

Antes de concretar as actividades previstas para o desenvolvemento da unidade, comentarei algunhas consideracións metodolóxicas de caracter xeral:

Con esta unidade complétase o estudio da probabildade na ESO. Os alumnos de 4º de ESO xa teñen a madurez suficiente para comprender os conceptos básicos (experiencias aleatorias/deterministas, regulares/irregulares, valorar a probabilidade de diferentes sucesos).

Nembargantes, é posible que persistan certos erros como o de crer que se ó lanzar unha moeda saen 5 caras seguidas, no sexto lanzamento é máis probable que saia cruz. Convén polo tanto intercalar simulacións ó longo da unidade que permitan aumentar a “fe” do alumnado no cálculo de probabilidades e nos resultados que obteñan de forma teórica; polo tanto neste curso aínda non é adecuado abordar a formulación axiomática da probabilidade; é algo máis propio de niveis máis avanzados.

As definicións de espacio mostral, sucesos e tipos de sucesos, acompañadas de exemplos teñen por obxecto que os alumnos traballen con eficacia conceptual e cun maior rigor que en cursos pasados, sen perder de vista os obxectivos da unidade neste curso (a este nivel ten máis peso a aprendizaxe significativa dos conceptos e dos procedimentos de cálculo que o formalismo).

Repasarase a lei de Laplace para sucesos equiprobables e procederase o estudo de diferentes experimentos e a reducción a sucesos equiprobables para poder aplicar a regra. O reconto de casos pode conectarse coas técnicas de combinatoria estudiadas na unidade 14. Os diagramas en árbore serán a ferramenta máis poderosa para o análise dos experimentos.

En función do nivel inicial da aula e do ritmo de aprendizaxe e de traballo, poderá abordarse con maior ou menor profundidade o estudo da probabilidade condicionada e a continuación dos teoremas das probabilidades totais e de bayes, con exemplos simples para que os alumnos comprendan a súa utilidade e o procedemento de cálculo.

As características do cálculo de probabilidades fan que con poucos coñecementos teóricos poidan enunciarse infinidade de problemas curiosos e interesantes que requiran de estratexias persoais. Ademais, é unha unidade na que poden existir grandes diferencias nos ritmos de aprendizaxe, puidendo darse que haia alumnos para os que conceptos como a probabilidade condicionada sexan un severo obstáculo e outros que consideren moi simples os exercicios propostos. Para os alumnos que amosen unha maior destreza, será positivo “retalos” á resolución de problemas de ampliación, problemas de olimpiada… Pode elaborarse unha lista deles no foro da asignatura.

Sobre os recursos que empregaremos, ademais do material común de aula, do foro da asignatura e o email, empregarase a calculadora científica para efectuar de xeito máis rápido simulacións, barallas, dados, aula de medios audiovisuais, serie Mas por menos programa 7 “as Leis do Azar” duns 20 min., links de internet como ampliación (agulla de Buffon, xogos de dados que aproximen gráficamente a binomial-normal). Aparello de Galtón.

Links de internet:

http://library.thinkquest.org/C0110195/history/buffon_sp.html

http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/bufjava.html

– Simulación da agulla de Buffon. Obsérvase como pode aproximarse o valor de pi ó aumentar o número de observacións. Con 100.000 observacións remata o experimento e consíguese o valor de pi cun erro pequeno. O segundo enlace simula o lanzamento simultaneo de 1, 10 100 e 1000 agullas de xeito acumulativo e permite facer mais rápido o experimento.

5. Temporalización:

Están previstas 7 sesións para o desenvolvemento da unidade, insistindo en que só se trata dunha estimación flexible, suxeita a cambios segundo o ritmo de aprendizaxe da clase ou imprevistos e necesidades que poidan xurdir.

Describimos a continuación como se planificará cada sesión, indicando a metodoloxía, os recursos empregados e as actividades seleccionadas.

Sesión 1-2:

A primeira sesión dedicarase ás actividades de introducción. Como xa se apuntou o obxectivo é avaliar e activar os coñecementos previos dos alumnos e motivar os contidos da unidade.

As actividades de introducción seleccionadas están pensadas para o traballo en grupos de 2 a 4 alumnos.

A primeira é unha actividade de avaliación inicial. Consta dunha serie de cuestións sobre conceptos que os alumnos deben coñecer de cursos pasados. Débese observar atentamente o traballo de cada un dos grupos para detectar posibles carencias individuais e colectivas. O final poranse en común as respostas.

Se o resultado da avaliación é positivo, a unidade poderase desenvolver a bo ritmo e cun nivel maior de profundidade conceptual e un maior peso de actividades de ampliación. En caso contrario, debe insistirse moito nos conceptos básicos para que os alumnos no arrastren erros conceptuais que con toda seguridade obstaculizarán a aprendizaxe de conceptos máis complexos como o estudo de experimentos máis elaborados, da probabilidade condicionada ou a Regra de Bayes.

A segunda actividade, contextualizada no famoso concurso de Carlos Sobera (co fin de facela máis atractiva que a lectura simple dun texto), serve como introducción histórica ó cálculo de probabilidades, con orixe no interese polos xogos de azar no século XVII.

Nela plantéaselle a cada grupo que debata cal das catro opcións que se dan a elixir no concurso é a correcta para a pregunta ¿Quén impulsou o desenvolvemento do cálculo de probabilidades?. Tras un instante de reflexión, establecerase un pequeno debate de todo o grupo sobre as diferentes teorías e hipóteses dos alumnos.

A continuación preséntase un texto sobre as orixes do cálculo de probabilidades, tras o cal rematarase o debate comentando o texto en grupo. O feito de que foran os xogos de azar os impulsores do cálculo de probabilidades serve tamén para motivar o feito de que moitos dos problemas e exemplos da unidade teñan relación con barallas, dados e “sorteos”.

As actividades 3 e 4 tratan sobre xogos de azar ben coñecidos, o Rasca e a Ruleta. Cos coñecementos que os alumnos xa teñen, trátase de facer un análise crítico do xogo da ONCE e dunha estratexia aparentemente infalible para gañar diñeiro na ruleta. A través do traballo e a reflexión dos grupos e a posterior posta en común, o profesor debe destacar a importancia de ser crítico e racional con sorteos e apostas e sinalar que o coñecemento matemático e científico permite enfrontarse con máis armas este tipo de cuestións, así como a certos timos (ninguén regala diñeiro). Deste xeito pode traballarse como contido transversal causas e consecuencias de un problema social tan grave como a ludopatía.

Sesión 2-3

Se o resultado da avaliación inicial é positivo, a unidade poderase desenvolver a bo ritmo e cun nivel maior de profundidade conceptual e un maior peso de actividades de ampliación.

En caso contrario, nas primeiras sesións deberá insistirse moito nos conceptos básicos para que os alumnos non arrastren erros ou lagunas conceptuais que con toda seguridade obstaculizarán a aprendizaxe de conceptos máis complexos como o estudo de experimentos máis elaborados, da probabilidade condicionada ou a Regra de Bayes.

Así, con maior ou menor ritmo, comézase traballando intercalando explicacións con exercicios e cuestións ó grupo os conceptos máis básicos: experimentos aleatorios e deterministas con exemplos, experiencias regulares ou irregulares, espazo mostral, sucesos, suceso seguro, imposible.

O concepto de frecuencia xa o deben coñecer da unidade 13. Cando os conceptos primarios estean claros, establecerase a relación entre probabilidade e frecuencia relativa cun número elevado de observacións.

A actividade proposta para este fin será en anotar en grupos de dous os resultados obtidos tras lanzar un dado 100 veces. Como o feito de que tódolos alumnos empregasen dados pode resultar caótico e tedioso, ensinaráselles o procedemento para simular un dado coa calculadora (coller a parte enteira de rnd#*6+1). Sumando os resultados obtidos por tódolos grupos deberíase de obter o resultado esperado: a frecuencia relativa de que saia cada un dos números dun dado aproxímase cada vez máis a 1/6, resaltando que a aproximación feita coas 1000 observacións de todo o grupo e mellor que a das 100 observacións de cada un deles e será mellor que a de 10 observacións. Deste xeito falarase da Lei dos Grandes números. Lembramos de xeito básico a regra de Laplace.

Sesión 4:

Repaso da regra de Laplace e realización de diferentes exercicios nos que se estudian experimentos para abordar os conceptos de dependencia e independencia de sucesos e o cálculo de diferentes probabilidades. O profesor terá unha urna transparentes con bolas de diferentes cores, unha baralla e algún dado. Proporanse diferentes xogos para analizar as probabilidades dos resultados. Tamén se tomará como referencia a clase para calcular probabilidades sinxelas ¿Probabilidade de que un alumno ó azar sexa home/muller?¿Probabilidades co cor de pelo? Poderemos a través destes xogos introducir dun xeito moi ilustrativo o concepto de probabilidade condicionada. Tódolos exemplos deben acompañarse do estudo sobre diagramas de árbore, que serán a ferramenta principal dos alumnos á hora de resolver problemas sobre o papel. Deben poñerse tamén exemplos que relacionen a probabilidade coñecendo porcentaxes.

Pediráselles a realización en casa de execicios con experimentos similares ós feitos na clase.

Sesión 5:

Resolución grupal dos exercicios propostos. É importante detectar os alumnos que non haxan entendido os conceptos para insistir neles. Hai exercicios de reforzo previstos para eles.

Continúanse estudiando experimentos máis complexos e introdúcese o teorema das probabilidades totales e a regla de Bayes con exemplos visuais (urna, baralla, cartas, aula) apoiados con diagramas de árbore. A complexidade dos exercicios que se propoñan dependerá do grao de aprendizaxe que o profesor observe. Insistirase ata o final da sesión para afianza-los conceptos e procedementos.

Sesión 6:

De levarse un progreso adecuado na unidade, a segunda metade da sesión dedicarase ó visionado do programa 7 “Las Leyes del Azar” da serie de televisión “Más por menos” de RTVE, duns 20 minutos de duración. Trata de xeito rápido e atractivo sobre as orixes da probabilidade e fai análisis probabilísticos de moitos feitos e curiosidades resaltando a importancia do estudo das probabilidades no mundo actual.

Servirá de ampliación para os alumnos con máis interese e permite facer un respiro para non perder a perspectiva da utilidade dos contidos da unidade e continuar a motivación ata o final. O feito de que os alumnos estean en plena actividade da unidade fai que o interese polo video poida resultar maior, amosándose a relación con moitos aspectos reais e tanxibles do que están a manexar.

Na primeira metade os alumnos deberán resolver exercicios segundo o seu ritmo de aprendizaxe. Aqueles con maior destreza que poidan ter dominados os conceptos previstos para a unidade farán exercicios do 3º nivel de complexidade comentado na programación, con experimentos complexos e aplicación de tódalas técnicas estudiadas, así como exercicios de ampliación e olimpiadas.

Sesión 7:

As dous últimas sesións adicaranse á corrección dos exercicios propostos e de exercicios de síntese, que incluirán varios apartados onde se pregunten cuestións que abarquen tódolos contidos traballados, acompañándose a resolución deles cunha breve explicación de cada un deles que sirva de repaso esquemático.

6. Interdisciplinaridade e Transversalidade:

Interdisciplinaridade:

Comentaba na programación que resulta interesante manter contacto con outros departamentos didácticos para tratar de dar unha visión global do coñecemento na medida do posible.

Relación con: climas e meteoroloxía, física cuántica, historia (idade moderna, séculos XVII e XVIII para contextualización), xenética (incluida no curículo de bioloxía)

Informática: páxinas de simulación, agulla de buffon, ver proxecto descartes.

Transversalidade:

Como se indica na programación, a transversalidade na área de matemáticas faise patente esencialmente nos contextos dos exemplos e dos problemas plantexados. Así, as actividades de introducción permiten traballar de xeito transversal a responsabilidade cos xogos de azar, a análise crítica dos xogos de azar e dos perigros das apostas e o xogo e causas e consecuencias da ludopatía.

Ademais, situacións que poidan xurdir na aula en calquera momento poden dar pe ó traballo de temas transversais.

7. Atención á diversidade:

Á hora de planificar a unidade debemos tiveronse en conta as diferencias individuais. Por unha parte os exercicios están secuenciados en niveis de dificultade crecente para que cada alumno poida traballar ó seu propio ritmo. Así haberá:

Ademais lembro que na aula tiñamos un alumno estranxeiro e unha alumna superdotada.

Para o alumno estranxeiro a estas alturas de curso xa coñerecemos a existencia ou non de dificultades co idioma, e probablemente, de existir, sexan menores a final de curso.

Para a alumna superdotada, se ten un ritmo de traballo adecuado, e para calquera outro alumno que poida amosar habilidades e capacidades, teranse previstas actividades de ampliación (exercicios que requiran de estratexias persoais, exercicios de ampliación e de olimpiada, actividades de internet (cálculo de pi a través da agulla de Buffon, construcción do aparato de galtón se amosa interese para ir motivando as distribucións binomial e normal).

Tamén haberá actividades de reforzo para alumnos con menor ritmo de aprendizaxe. Para esta unidade, básicamente, consisten en exercicios que insisten nos contidos máis básicos da unidade ou en aqueles que poidan resultar máis controvertidos (como probabilidade condicionada).

O libro de texto e cadernos de exercicios do departamento serán tamén unha fonte de exercicios e actividades de reforzo e ampliación se é necesario ou queremos atopar máis das previstas.

8. Avaliación:

Lembro que hai tres etapas de avaliación: a inicial, a continua e a final.

As actividades de introducción servirán como avaliación inicial (ACTIVIDADE 1). A observación do traballo e das dúbidas que xurdan os primeiros días permitirannos detectar posibles lagunas ou carencias que non se observaran inicialmente.

A avaliación continua supón a observación de o desenvolvemento de tódalas actividades, do traballo e do esforzo dos alumnos. Débense anotar os datos observados na folla de seguimento coas observacións pertinentes. Se a través da avaliación continua podemos detectar algunha necesidade imprevista, estableceranse as modificacións na planificación que se consideren oportunas. Asi mesmo, a avaliación continua dos alumnos permitiranos proporcionarlles ós alumnos os exercicios máis adecuados ó seu ritmo de aprendizaxe.

A avaliación final virá dada pola proba escrita con contidos das unidades 13, 14 e 15, na que o alumno resolverá exercicios relacionados cos criterios de avaliación e os obxectivos didácticos, similares (pero nunca iguais) ós traballados na clase.

Os exericicios que se inclúan no exame terán relación cos criterios de avaliación. Podemos considerar exercicios que consideren unha serie de suceso nunha experiencia independiente e pida a probabilidade de eses sucesos e de unións e interseccións entre eles en relación có primeiro.

Exercicios para o cálculo de probabildades en experiencias dependentes que requiran do estudio a través de diagramas de árbore (exercicios tipo extraccións sen reemplazamento dunha urna) en relación co 2º.
Algún exercicio ou apartado que requira do estudo dun xogo de azar para analizar se un xogador ten vantaxe sobre o outro. Se o ritmo de aprendizaxe foi suficiente pode incluirse un apartado para o cálculo dunha probabilidade a posteriori a través do Teorema de Bayes en relación có 3º).

Adxunto exemplos de exercicios relacionados con cada un dos criterios de avaliación:

9. Conclusión

Para finalizar insisto en que esta unidade didáctica constitúe unha planificación flexible que nos servirá de guía e orientación para o seu desenvolvemento na aula. As diferentes necisidades, posibles imprevistos, a avaliación do ritmo de aprendizaxe… permitirán incluir as modificacións que consideremos oportunas na metodoloxía e o deseño de actividades e na temporalización.