Tema 6 – El cálculo de proposiciones y de predicados.

6.0. INTRODUCCIÓN

6.0.1. La lógica simbólica

También llamada lógica matemática, o logística. A veces se denomina, sencillamente, lógica moderna, o formal o cálculo lógico[1]. Se llama “lógica simbólica” o “lógica formal” a la lógica moderna que, mediante el simbolismo lógico, o mediante un lenguaje formal, se ocupa de la forma lógica de los enunciados y sus relaciones, es decir, los razonamientos. La lógica simbólica recibe también el nombre de lógica matemática. Con este nombre se denomina a la lógica moderna, que se basa en el desarrollo de lenguajes simbólicos y lenguajes formales y un grado elevado de matematización. Sus orígenes se remontan a G.W. Leibniz, a quien se atribuye haber usado por vez primera la expresión de “lógica matemática”, pero su formulación propiamente matemática inicial se debe a G. Boole y G. Frege; ha mantenido un desarrollo incesante durante los siglos XIX y XX, sobre todo por obras de autores como G. Cantor, G. Peano, B. Russell, E. Zermelo, A. Church, R. Carnap y A. Tarski.

La lógica matemática o simbólica no es sustancialmente diferente de la lógica formal, por ejemplo, de Aristóteles. En efecto, éste, para resaltar las relaciones y prescindir de los contenidos concretos, materiales, usaba variables; en vez de emplear una proposición del tipo “todo conejo es herbívoro”, utilizaba fórmulas como “todo A es B”; describía las relaciones formales del silogismo con expresiones como “si B pertenece a A y C pertenece a B, entonces C pertenece a A”. De este modo, la lógica matemática o formal pretende llevar más adelante el método simbólico de Aristóteles. Así, no sólo simboliza sujetos y predicados, sino también las cópulas o conectivas. Además, se dedica primordialmente a la lógica proposicional, parte de la lógica prácticamente ausente en los manuales de lógica tradicionales, exceptuando la presentación de los llamados “silogismos hipotéticos”.

La lógica matemática es, por tanto, la lógica simbólica o formal llevada a su último refinamiento, teniendo por objeto la pretensión -entre otras cosas- de hacer resaltar lo puramente formal y de presentar en un solo golpe de vista grupos enteros de frases. Su culminación es el establecimiento de los sistemas lógicos o sistemas deductivos.

6.0.2. División de la lógica simbólica

La lógica elemental, o de lógica de primer orden, se divide en lógica de enunciados y lógica de predicados, o lógica cuantificacional, en la que sólo se cuantifican los predicados referidos a variables de individuo u objeto. Por encima de ella hay la lógica de orden superior o lógica de predicados de segundo orden, que se caracterizan por introducir en la argumentación predicados de predicados y por cuantificar también las variables de predicado. Por ejemplo:

“El libro es verde

El verde es un color

El libro tiene color”

Aquí el término “verde” es predicado en la primera premisa, y es predicado del predicado en la segunda premisa.

La lógica de clases (predicados monádicos) y la lógica de relaciones (predicados poliádicos) son partes de la lógica de predicados.

Lógica de enunciados (Lógica proposicional)

Lógica de clases

(de predicados monádicos

Lógica elemental

(de primer orden)

Lógica de predicados

Lógica cuantificacional)

Lógica

simbólica

Lógica de relaciones (de predicados poliádicos)

Lógica de predicados de segundo orden

6.0.3. Un esquema completo

LÓGICA

– LÓGICA ORIENTAL

– LÓGICA OCCIDENTAL

– LÓGICA MATERIAL (Inductiva, Mayor)

– Metalógica

– Lógica filosófica (Lógica metafísica)

Lógica Dialéctica

Lógica Histórica

Lógica Concreta

Lógica Vital

Lógica Existencial

Lógica Fenomenológica

Lógica Arquitectónica

Lógica Realista

…/…

– LÓGICA FORMAL (Deductiva, Menor, Nueva, Moderna)

– Lógica Clásica (Ortodoxa, Normal, Estándar, Bivalente)

– Lógica Tradicional (Vieja, Clásica)

Por su desarrollo histórico:

Lógica Antigua

Lógica Griega

Lógica Aristotélica

Lógica Estoico-megárica

Lógica Medieval

Lógica Escolástica

Lógica Moderna

Lógica Neoescolástica

Lógica Contemporánea

Por su objeto de estudio:

Lógica de las nociones o conceptos

Lógica del juicio

Lógica del raciocinio

Lógica de la ciencia

– Lógica formal formalizada (Simbólica, matemática, “logística”, “álgebra lógica”, moderna, contemporánea)

Lógica de Primer Orden (Elemental)

Lógica de enunciados (sentencial, proposicional, “cálculo de conectores”)

Lógica de Predicados (cuantificacional, “cálculo cuantificacional”, “cálculo de cuantificadores”)

Lógica de predicados monádicos (Lógica de Clases)

Lógica de predicados poliádicos (Lógica de Relaciones)

Lógica de Segundo Orden (Orden Superior, de Predicados de Segundo Orden)

Lógica de predicados monádicos de 2º orden

Lógica de predicados poliádicos de 2º orden

– Lógica No Clásica (heterodoxa, no estándar, desviada, polivalente, divergente)

– Suplementarias de la estándar

Lógica Modal

Lógica Temporal (cronológica)

Lógica Deóntica

Lógica Epistémica

Lógica de lo Borroso o Inexacto

– Alternativas de la estándar

Lógica Intuicionista

Lógica Polivalente (multivalente)

Lógica de la Creencia

Lógica de las Ficciones

Lógica de los Mandatos

Lógica Presuposicional

Lógicas Libres

Lógica de las Preguntas (Erotética)

Lógica con hiatos veritativos-funcionales

Lógica de la Mecánica Cuántica

Lógica de la Inteligencia Artificial

Lógica de la Relevancia

Lógica Paraconsciente

6.1. LA LÓGICA SIMBÓLICA DE FREGE

La gran aportación de Frege a la lógica fue inventar un sistema de símbolos mediante el cual los lógicos pudieron formular tanto los tipos de inferencia estudiados por la lógica proposicional de Aristóteles como aquellos a los que los métodos aristotélicos no pueden ser aplicados.

Por ejemplo, si decimos:

“Si nieva esta tarde, la función teatral será suspendida.

Nevará esta tarde.

Por tanto, la función teatral será suspendida”

Esta es una inferencia válida, pero no fue un modo de inferencia que fuera tratado por Aristóteles. Esto se debe a que el análisis de Aristóteles dependía de que se dividieran las proposiciones contenidas en la inferencia en sujeto (S) y predicado (P). Por ejemplo:

“Todos los españoles son europeos (todo S es P)

Todos los europeos son guapos (todo P es G)

Por tanto, todos los españoles son guapos (todo S es G)”

Ahora bien, la validez de la inferencia que estamos considerando no depende de la constitución interna de las proposiciones indicadas, sino que depende más bien de las relaciones entre las proposiciones tomando cada una de éstas como un todo. Así pues, puede ser simbolizada como:

Si p, entonces q;

y p,

Por tanto, q

El modo en que la proposición que se sustituye por “p” se divida, por ejemplo, en sujeto y predicado, o si se divide o no en absoluto, es irrelevante. En la lógica simbólica de Frege se da un lugar central a esta clase de inferencias, que son tratadas mediante el uso de dos clases de símbolos: una clase designa las proposiciones (a través de las “letras proposicionales”: p, q, r, s, etc.), y la otra designa a las conectivas que unen dichas letras, o, como también se las denomina, son constantes, tales como “si…. entonces”, etc., que son las que relacionan unas proposiciones con otras.

Hemos visto que la inferencia válida: “Si nieva esta tarde, la función teatral será suspendida; nevará esta tarde; por tanto, la función teatral será suspendida”, puede exponerse simbólicamente como “si p, entonces q; p; por tanto, q”. Ahora bien, algunos han expresado esto diciendo que “si p, entonces q; y p; por tanto, q” expresa una verdad lógica que garantiza la validez de la inferencia ‘si nieva esta tarde, la función teatral será suspendida; nevará esta tarde; por tanto, la función teatral será suspendida”, y de cualquier otra inferencia que tenga la misma forma (de ahí lo de “lógica formal”). Es decir, “si nieva esta tarde, la función teatral será suspendida; nevará esta tarde; por tanto, la función teatral será suspendida” es válida porque es una expresión de la verdad lógica “si p, entonces q; y p; por tanto, q”, y cualquier otra inferencia que sea una expresión de esa verdad, que puede ser escrita en forma simbólica, es también necesariamente válida.

Pues bien, Frege desarrolló su cálculo lógico centrándose en las llamadas verdades lógicas de este género y exponiéndolas de forma parecida a la de un sistema aritmético. Frege muestra todo un número pequeño de tales verdades corno axiomas, esto es, como un principio intuitivo y evidente -y, por tanto, que no necesita ser demostrado y, adoptando la regla de inferencia “dado A”, y “si A entonces B”, “inferir B”, muestra cómo se pueden derivar de ellas un número ilimitado de otras verdades lógicas.

De este modo, Frege trata ciertos tipos de inferencias que no habían sido formalizados por Aristóteles. Pero su aportación más destacable a la lógica se basa en su tratamiento de los tipos de inferencia que Aristóteles había formalizado. Y Frege lo hizo introduciendo un artificio matemático denominado función.

En álgebra, la expresión “x² + 1” representa una función de la variable “x”. Es una función[2] de x porque su valor depende de aquello por lo que sustituyamos la variable x. Así, sustitúyase x por 2, y el valor de la expresión antes dicha será de “5”; y si la sustituirnos por 3, el valor de la expresión será “10”, y así sucesivamente. El número por el que sustituimos la variable x recibe el nombre de “argumento”.

Frege tomó todo este artificio matemático y lo aplicó a las proposiciones. Por ejemplo, sea la proposición “Sócrates es un filósofo griego”. En lugar de hablar de “Sócrates” como sujeto y de “es un filósofo griego” como el predicado, podemos hablar de “x es un filósofo griego” corno la función a la que Sócrates proporciona el argumento. En otros términos, tratamos al predicado por analogía con “x² + 1” y tratamos a “Sócrates” por analogía con el número (por ejemplo, el 2), porque sustituimos a x.

De hecho aquí existe otra opción, porque también podríamos tratar a “Sócrates es x” como la función a la que “es un filósofo griego” proporciona el argumento. O también a “x es y” como la función a la que le son suministrados los argumentos “Sócrates” y “es un filósofo griego”.

Pero, ¿qué es aquí el equivalente del valor de una función? El valor de “x² + 1” para el argumento “2” es un número particular “5”. ¿Cuál es el valor de la función “x es un filósofo griego” para el argumento “Sócrates”. Frege dijo que el valor era o lo verdadero o lo falso. O, dicho de otra forma, si se suministra un argumento para “x es un filósofo griego”, se obtiene una proposición que es verdadera o falsa, o, como se dice en lenguaje más técnico, tiene un “valor de verdad”. Así pues, si la función “x es un filósofo griego” tiene por argumento a “Sócrates”, es verdadera; y si tiene por argumento a “el señor Aznar”, es radicalmente falsa.

I. LÓGICA ELEMENTAL O DE PRIMER ORDEN

6.2. LA LÓGICA DE ENUNCIADOS O LÓGICA PROPOSICIONAL

6.2.1. La lógica proposicional: introducción

Uno de los rasgos que distinguen al hombre de sus antepasados antropoides es el uso del lenguaje. Y un rasgo típico del lenguaje humano es el uso de argumentos. Un argumento es un segmento lingüístico de cierta complejidad en el cual, de la posición de trozos o subsegmentos iniciales, se sigue necesariamente la posición de un trozo o subsegmento final.

Las principales partes o unidades lingüísticas que integran un argumento son los enunciados. Un enunciado es un segmento lingüístico que tiene un sentido completo y que puede ser afirmado con verdad o falsedad. Los enunciados iniciales de un argumento reciben el nombre de premisas, y el enunciado final el de conclusión.

El empleo de argumentos tiene lugar tanto en la vida cotidiana como en el ejercicio de las tareas científicas. La utilidad de este instrumento lingüístico es la siguiente: su empleo permite pasar, por la sola reflexión, de la aceptación de unos enunciados a la aceptación de otros. Con ello queda rebasado el ámbito del conocimiento inmediato y de algún modo ampliada nuestra información sobre el mundo.

La lógica es la ciencia que se dedica al cálculo de argumentos; es, como se afirma desde Aristóteles, la teoría del razonamiento. El ideal del que parte es que, si partimos de premisas que son verdaderas, y utilizamos reglas adecuadas para pasar de unos argumentos a otros, la conclusión que extraigamos será indudablemente verdadera. Una forma más sencilla de expresar esto es decir que de la verdad siempre se sigue la verdad. No ocurre lo mismo con la falsedad; en efecto, si nosotros partimos de unas premisas falsas, puede ocurrir que, independientemente de que el paso de unos argumentos a otros lo hagamos de modo correcto o incorrecto, arribemos a conclusiones que pueden ser bien verdaderas, bien falsas. Una manera más corta de expresar esto es decir que de la falsedad se sigue cualquier cosa.

La lógica de enunciados o proposiciones se refiere a un cálculo que implica una determinada interpretación. La lógica de enunciados así concebida estudiará las proposiciones sin analizar. En suma, a la lógica de este tipo le va a preocupar, fundamentalmente, la forma, es decir, va a prescindir de los contenidos inmersos en los razonamientos. La lógica va a tratar de las relaciones que se produzcan entre proposiciones: en ningún caso, entrará a preocuparse por la organización interna de aquéllas. En resumen, la lógica de juntores se manifiesta como una lógica de enunciados sin analizar.

La lógica que estamos estudiando es la parte esencial de la lógica general, pues las otras lógicas (de predicados, de orden superior, etc.) la han de presuponer. Esto quiere decir que la lógica cuantificacional existirá a partir de la lógica de enunciados, lo que observaremos a lo largo de este tema.

Pero, ¿qué es una proposición? Digamos que es una oración de la que se niega o afirma algo, por tanto tal oración puede ser verdadera o falsa. Con ello estamos aclarando que la lógica de este orden no va a hacer mención ni va a prestar atención a otro tipo de frases tales como las que indican un deseo, una interrogante, un mandato, etc., pues de éstas últimas nada podemos argüir o manifestar sobre su verdad o su falsedad. Así, sólo pueden darse dos valores de verdad acerca de una oración, y tales valores son verdadero o falso ya que los dos no pueden aparecer a la vez. Por tanto, la lógica proposicional se encargará de dictaminar sobre la verdad o falsedad de una proposición tomada en su totalidad. A diferencia de ésta y para que se entienda mejor lo reseñado, veremos como en lógica de predicados la oración susceptible de trato sí va a ser objeto de un análisis más concreto.

Veamos un ejemplo: “todos los gatos son animales”. En lógica proposicional tal oración la simbolizaremos así: p; mientras que en lógica de predicados la oración enunciada cobraría la siguiente forma: x (Px → Ax ), es decir, para todo x, si x es un perro, entonces x es un animal.

6.2.2. Las tablas de verdad en el cálculo proposicional

Ludwig Wittgenstein introdujo, ya en su Tractatus Logico-Philosophicus el esbozo del análisis de proposiciones mediante las tablas veritativas. Wittgenstein pretendía determinar de forma mecánica la verdad o falsedad de una sentencia o una fórmula, una vez establecidos los valores de verdad de las fórmulas o las letras proposicionales unidas por las conectivas. Las tablas de verdad se basan en la significación precisa de cada uno de los elementos. Este método veritativo ha sido muy utilizado para demostrar que las fórmulas del cálculo de Russell-Whitehead son decidibles.

Se dan dos valores veritativos: “V” (verdad), “F” (falsedad); también se suelen usar los símbolos “O” (falso) y “1’ (verdadero); y también “C” (correcto), “F” (falso).

La lógica clásica es una lógica bivalente (verdadero-falso); pero se han desarrollado otras lógicas, “trivalentes” sobre todo por parte de J. Lukasiewicz, yA. Tarski. En esta lógica se acepta, además, el valor de “indeterminado”. Obviamente, no admite el principio de tertio excluso.

Pues bien, en la lógica bivalente necesitamos una tabla de verdad para cada conectiva, que muestre el valor que adopta una fórmula a partir del valor de verdad de sus partes.

Imaginemos que queremos averiguar los valores de verdad de una fórmula. Debemos asignar un valor de verdad, atendiendo a las conectivas, a cada una de las conectivas que aparezca, y atendiendo también a las tablas de verdad de cada conectiva. El valor de verdad de una fórmula bien formada (fbf) nos viene dado por el valor de su conectiva principal. Y la jerarquización entre las conectivas las indican (sin olvidar el uso de los paréntesis) la jerarquización entre ellas tal y como veremos más adelante. Hay, pues, que saber si la fbf es una conjunción, un bicondicional, etc. Por eso, primero se resuelven los valores de verdad de las conectivas menos “importantes”, las de menor alcance, y finalmente se resuelven los valores de verdad o falsedad de la conectiva principal de la fbf.

6.2.3. Simbología básica del cálculo proposicional

Los símbolos de un lenguaje formal, realizado con vistas al cálculo lógico, se dividen en lógicos y no lógicos. Los primeros son las constantes lógicas. Los segundos son las letras referentes a enunciados, a predicados, y a individuos, divididas estas en variables y constantes.

Nuestro lenguaje lógico constará de los siguientes símbolos formales:

a) Símbolos lógicos: conectivas o juntores

1. “→” (si … entonces) Se denomina “condicional” y no exactamente “implicador”

2. “┐” (no) Se denomina “negación”.

3. “Λ” (y) Se denomina “conjunción”

4. “V” (o) Se denomina “disyunción”

5. “↔” (si y sólo si… entonces) Se denomina “bicondicional” o “implicador estricto”

b) Símbolos no lógicos: Letras proposicionales:

‘‘p’’, “q”, “r”, “s”…., p₁…

c) Paréntesis y corchetes

d) Fórmulas bien formadas (fbf)

1. Cualquier letra proposicional es una fbf.

2. Si A es una fbf, entonces ┐A es una fbf.

3. Si A y B son fbfs, entonces (A → B) es una fbf.

4. Si A y B son fbfs, entonces (A Λ B) es una fbf.

5. Si A y B son fbfs, entonces (A V B) es una fbf

6. Si A y B son fbfs, entonces (A ↔ B) es una fbf.

7. Si una fórmula no es una fbf en virtud de las anteriores cláusulas (1-6), entonces no es una fbf.

6.2.4. La formalización en la lógica de enunciados

A continuación ofrecemos algunas reglas y “consejos” para formalizar la lógica de enunciados. Pues bien, la primera regla es que no existen reglas fijas y precisas al respecto. El lenguaje ordinario es mucho más rico y, por ende, mucho más complejo y confuso que el lengua de la lógica formal. Una norma, sin embargo, sí podemos ofrecer de inmediato: es necesario entender lo que se dice en el lenguaje ordinario y circunscribirse lo más exactamente posible a su sentido.

Pese a que no hay normas, vamos a dar unos cuantos “consejos” para utilizar a la hora de traducir al lenguaje de la lógica el lenguaje ordinario.

1. Entendemos por proposición aquella frase que posee un significado completo. Es decir, que posea (aunque sea de forma elíptica y no expresa) un sujeto, un verbo y, en su caso, un predicado.

2. Lo más importante es preguntarse cuántos verbos existen en una proposición. Y a cada verbo le adjudicaremos una letra proposicional o variable enunciativa (p, q, r, etc.).

3. Aunque las proposiciones sean muy extensas, sólo utilizaremos una de esas variables, pues aquí lo que “manda” es el verbo. Por ejemplo, equivaldrá a una sola letra proposicional la oración siguiente: “Frecuentemente, casi semanalmente, leo muy pausadamente la Crítica de la Razón Pura de Kant”. Como existe un solo verbo, le adjudico una sola variable enunciativa.

4. Debemos estar precavidos con el uso del negador, pues a veces está explícito y o otras no. Está expreso en la proposición: “No llueve” (┐p), pero no está explícito en la oración: “Antonio es incorregible” (┐p). Asimismo, hemos de tener en cuenta que a veces la negación se aplica a más de un enunciado; es muy diferente afirmar “ni soy científico ni albañil” ( ┐p Λ ┐q), que afirmar: “no es cierto que sea científico y no albañil” (┐(p Λ ┐q)), pues aquí se está diciendo que no soy científico, pero sí soy albañil, con lo que el valor de “no albañil”, en este contexto es una proposición afirmativa.

5. La conjunción (Λ) simboliza usualmente la conjunción copulativa “y”, pero también la usaremos en “pero”, “e”, así como las comas. Por ejemplo: “Pedro es filósofo y Andrés es biólogo” (p Λ q); “Enrique vino e insistió en que le acompañara” (p Λ q); “Me levanté, cogí un libro, me senté y estudié” (p Λ q Λ r Λ s); “al mirarla supe que era la mujer de mis sueños” (p Λ q), etc.

6. Tengamos en cuenta que existen disyunciones incluyentes y también excluyentes. Para simbolizar la incluyente utilizarnos el símbolo “V”, mientras que reservamos el símbolo “V” . para la excluyente. Por ejemplo, si decimos: “necesito un profesor de matemáticas o fisica”, estamos diciendo que necesitamos un profesor que sepa matemáticas, que sepa física o que sepa ambas cosas. Y cuando la exclusión es excluyente (como en “habla o calla”, o “está muerto o vivo”), estamos diciendo que no es posible ambas cosas simultáneamente. Además de con el símbolo “V”, podemos realizar el atajo siguiente “habla o calla”: (p V q) Λ ┐(p Λ q). Con esto afirmamos “habla o calla, pues no es posible que hables y calles a la vez”.

7. Los verbos es muy frecuente que estén elípticos, por ejemplo, cuando hay varios sujetos: “Antonio, Pedro y Ramiro adoran la filosofía de Lévinas”: Aquí el verbo “adoran” debe aplicarse a cada uno por separado; hay tres oraciones.

8. Con el símbolo del condicional (“→”) no sólo se simboliza la expresión “si… entonces”, sino también únicamente “entonces”. E incluso puede estar también esta expresión elíptica: “Cuando lees El Ser y la Nada siempre te entra la depre” (p → q).

6.2.5. Las conectivas

a) El negador

El símbolo “Ø” recibe el nombre de negador, y puede ser considerado como la traducción al lenguaje formal de la partícula “no” del lenguaje ordinario. Al adosar el negador a una expresión enunciativa cualquiera, el resultado es la negación de esta: si un enunciado es verdadero, su negación es falsa; y si un enunciado es falso, su negación es verdadera. Sus condiciones de verdad se pueden resumir en una tabla del siguiente modo:

	p	Øp
	V	F
	F	V

b) El conjuntor: suma lógica

El símbolo Ù recibe el nombre de conjuntor, y puede ser considerado como la versión formal de la partícula del lenguaje ordinario “y”.

La combinación de dos expresiones mediante el conjuntor es la conjunción de ellas, y se lee “p y q”. Una conjunción afirma la verdad de sus componentes. Es verdadera, pues, cuando sus dos componentes son verdaderos; cuando uno de ellos es falso, y por tanto, cuando los dos son falsos, la conjunción es falsa. Esto se representa, en una tabla, así:

	p	q	p Ùq
	V	V	V
	V	F	F
	F	V	F
	F	F	F

c) El disyuntor: producto lógico

El símbolo Ú recibe el nombre de producto lógico, y se le puede considerar como la traducción al lenguaje formal, aunque sólo parcial e incompleta, de la partícula del lenguaje ordinario “o”. Su significado es el siguiente: la disyunción de dos proposiciones es verdadera cuando al menos una de esas dos proposiciones es verdadera; es falsa, en cambio, sólo cuando ambas son falsas. Su tabla de verdad es la siguiente:

	p	q	p Ú q
	V	V	V
	V	F	V
	F	V	V
	F	F	F

El significado del disyuntor coincide sólo parcialmente con el significado de la partícula “o” del lenguaje ordinario.

La partícula “o” en el lenguaje ordinario tiene dos sentidos: a) uno de ellos, llamado exclusivo, según el cual la disyunción establece que unos de sus miembros es verdadero y el otro falso, con lo que se excluye, por tanto, la posibilidad de una simultánea verdad de ambos. b) Otras veces, “o” no excluye la verdad simultánea de los miembros de una disyunción. Es decir, al combinar dos proposiciones mediante la referida partícula, se indica que una al menos de esas dos proposiciones es verdadera, pero no se dice nada con respecto de la otra, con lo cual no se excluye la posibilidad de que esa otra sea también verdadera. Este segundo uso se denomina inclusivo. Es este uso el que se utiliza en lógica. El uso exclusivo puede simbolizarse como “Ú”.

d) El implicador o condicional

El símbolo ® recibe el nombre de implicador, y puede ser considerado como una formalización, aunque sólo parcial e incompleta, de la partícula del lenguaje ordinario “si…, entonces…”. La expresión que precede al implicador se denomina antecedente, y la que le sucede, consecuente. Su sentido es el siguiente: una implicación es verdadera siempre que no se dé el caso de que el antecedente es verdadero y el consecuente falso; y falsa cuando ese sea el caso. Su tabla de verdad es la siguiente:

	p	q	p ® q
	V	V	V
	V	F	F
	F	V	V
	F	F	V

Un condicional es una afirmación tal que eso y eso -el consecuente– está condicionado a esto y esto -el antecedente– o, dicho de un modo más común,

eso y eso, si esto y esto

si esto y esto, eso y eso

si esto y esto entonces eso y eso

eso y eso, dado que esto y esto

Etc.

Por ejemplo:

El suelo está mojado si llueve.

Si llueve, el suelo está mojado.

Si llueve entonces el suelo está mojado.

El suelo está mojado, dado que llueve.

Es importante reconocer de un modo correcto la diferencia radical entre la afirmación condicional misma y la afirmación aislada del consecuente, la diferencia en nuestro ejemplo entre decir que el suelo está mojado si llueve y afirmar directamente que el suelo está mojado. Es fácil confundir estas dos afirmaciones, pero no reconocer la diferencia entre ellas es un error que puede conducirnos a un mal razonamiento.

La diferencia entre el antecedente de un condicional y su consecuente es también importante. Es cuestión de orden lógico – no es, como en las anteriores oraciones, una cuestión de orden lingüístico. La palabra “si” (o cualquier de sus sinónimos) introduce el antecedente, independientemente de que esté al principio o al final de la frase. El símbolo de la implicación, ‘®’, está colocado entre el antecedente, que va a la izquierda, y el consecuente, que va a la derecha. Usando las abreviaturas ‘r’ para “está lloviendo” y ‘w’ para “el suelo está mojado”, las cuatro oraciones anteriores se escriben simbólicamente como:

r ® w

Lo importante en una afirmación condicional es el uso que queramos darle. Si tenemos razones para creer que tal y tal (el antecedente, aquí “está lloviendo”), entonces tenemos razones para creer que cual y cual (el consecuente, aquí: “el suelo está mojado”); si suponemos que tal y tal, estamos autorizados a suponer que cual y cual. (Téngase en cuenta que estas afirmaciones son condicionales.) Hemos justificado el paso de tal y tal a cual y cual, del antecedente al consecuente.

Esta es la forma de hablar de la calle. Aunque el condicional de que estamos hablando no diga:

tal y tal, condicional de cual y cual

o

si cual y cual entonces tal y tal (si el suelo está mojado, está lloviendo)

esto no justifica el razonamiento en la dirección contraria, de tal y tal a cual y cual. Tomadas juntas, el par de afirmaciones:

Si tal y tal entonces cual y cual. (Si llueve el suelo está mojado)

Cual y cual. (El suelo está mojado)

no autoriza cualquier conclusión (distinta de la mera repetición de las afirmaciones ya hechas); no dice nada sobre si tal y tal (si está lloviendo). Esta asimetría del condicional es algo que tendremos que tener presente a lo largo de nuestro trabajo.

e) El bicondicional o coimplicador o implicador estricto

El símbolo « recibe el nombre de coimplicador, y puede ser considerado como una formalización de las partículas “si y sólo si”, “cuando y solamente cuando” o “equivale”. Su sentido es el siguiente: una coimplicación es verdadera cuando sus dos componentes tienen el mismo valor de verdad; y falsa en caso contrario. Su tabla de verdad es la siguiente:

	p	q	p « q
	V	V	V
	V	F	F
	F	V	F
	F	F	V

6.2.6. Corchetes y paréntesis. Reglas del uso de los símbolos

La función encomendada a los corchetes y paréntesis consiste en cuidar que estén bien dispuestos los elementos de las distintas fórmulas, así como nos destacan cuál es el operador que domina en un con junto de fórmulas o en una única fórmula. Con ello se consigue orden, claridad perceptiva y efectividad operativa.

En cuanto a las reglas del uso de los símbolos vamos a dar algunas importantes indicaciones:

a) Cualquier símbolo conector es susceptible de ser dominado por la negación.

b) Si tenemos una fórmula y existe un bicondicional, éste será siempre dominante.

c) La conjunción y la disyunción tienen un poder de dominancia entre ellas indistinto: ambas son dominadas por el condicional.

Es decir, el orden de preferencia es el siguiente:

1º) “↔”; 2º) “→”; 3º) “Ú” y “Ù”; 4º) “Ø”

6.2.7. Reglas de inferencia o deducción

Reglas primitivas

a) Introducción de supuestos (S)

Cualquier fbf puede introducirse en cualquier línea de una prueba. Como número de su puesto se toma el de esa misma línea.

b) Modus ponendo ponens (MP) o Eliminación del Condicional (EC) o Implicador (EI)

Si en una prueba tenemos A®B y tenemos A, podemos introducir B, en dependencia de todos los supuestos que dependan de A→B y A.

Modus ponendo ponens significa “modo que poniendo -afirmando-, pone -afirma-”. Es una forma o modo del silogismo hipotético o condicional, también llamada regla de eliminación del condicional, que sostiene que si tenemos un condicional como premisa y también tenemos su antecedente, nos permite inferir corno conclusión el consecuente. Su forma es: “si ‘p’, entonces ‘q’; y tenemos ‘p’, por tanto concluimos ‘q’. Y también es [(p→q) Ù p] → q; y su formalización es:

p→q

q

├q

La regla Modus Ponens ha sido expuesta aquí en castellano. La representación simbólica no es la regla o parte de ella; es un ejemplo, una ayuda que nos permite ver la estructura de la regla. La regla misma es dada por la representación en lengua castellana que precede a los símbolos.

Usaremos símbolos de dos clases: símbolos lógicos (llamados a veces “constantes lógicas”) para las diferentes conectivas, necesarios para eliminar la ambigüedad (la flecha en nuestro caso), y “variables”, letras que abrevian sentencias, o frases nominales o frases predicativas. Cuando construyamos afirmaciones (condicionales, por ejemplo), esto es, afirmaciones extraídas de otras afirmaciones por medio de conectivas lógicas, expresadas en símbolos”, las afirmaciones resultantes serán denominadas “fórmulas”.

El uso de estos símbolos nos permite brevedad y claridad de pensamiento, ayudándonos a dejar a un lado los detalles irrelevantes y a centrarnos en la estructura del razonamiento.

El uso de la regla Modus Ponens no tiene restricciones; es legítimo en cualquier caso, esto es, cualquier afirmación en cualquier contexto puede ponerse en lugar de ‘p‘ y ‘q‘. El uso correcto del Modus Ponens depende de la lectura correcta del condicional; ‘p ® q’ no debe confundirse con ‘q ® p’. La segunda premisa en este esquema de argumento debe ser exactamente el antecedente del condicional que estamos usando, y la conclusión debe ser exactamente el consecuente de tal condicional.

Veamos un ejemplo. Supongamos que estamos convencidos que si Jorge está en Madrid (h) Jorge está en Barcelona (c). Sabemos que Jorge está en Madrid, visitando a su hermana. Podemos concluir que Jorge está en Barcelona. El argumento que hemos usado es algo parecido a esto:

h ® c

h

——-

c

que es válido, de acuerdo con el principio de modus ponens.

Debe ser obvio, por otro lado, que es absurdo argüir del siguiente modo:

h ® c

c

———-

h

Esto es, si estamos convencidos de que si Jorge está en Madrid entonces está en Barcelona y sabemos que Jorge está en Barcelona, no tenemos razones para afirmar que Jorge está en Madrid. El segundo “argumento” es una instancia de la falacia de la afirmación del consecuente, que es la “falacia correspondiente” al modus ponens. (En el modus ponens afirmamos el antecedente como nuestra segunda premisa.) Hay ocasiones en que nos sentimos tentados a usar el segundo patrón de argumentación por el primero.

Otro aspecto sobre el significado del condicional. Tal y como usamos el condicional, ‘p ® q’, o ‘q, si p’, o ‘eso y eso, si esto y esto’ no nos dice por qué esto es así, lo único que nos dice es que ocurre. En el “mundo real”, cuando tenemos razones para creer un condicional, (ordinariamente al menos) tenemos razones para creer que hay una conexión de alguna clase entre el antecedente y el consecuente, como en los siguientes ejemplos:

Si María cruza la calle con el semáforo en rojo, María está en peligro (c ® d)

Si Luis está en la habituación, Luis está en la casa (k ® h)

Alicia se mojará si llueve (r ® h)

etc.

No obstante, el condicional no informa sobre estas conexiones; el condicional omite -en su forma abstracta- las razones que nos llevan a él. De este modo tenemos más seguridad en nuestro razonamiento. Podemos hacer diferentes consideraciones que aumenten nuestra confianza en que la conclusión se cumpla, pero esto no es necesario.

Al usar el modus ponens no estamos estableciendo una conexión causal entre el antecedente y el consecuente; dependemos solo del hecho (o suposición) de que, de un modo u otro, el consecuente viene dado por el antecedente. Y todo esto a pesar de que, tanto en filosofía como en la vida social, las razones que fundamentan una afirmación son más importantes o más interesantes que la afirmación misma. En el razonamiento deductivamente ordenado, los condicionales con los que trabajamos están desprovistos de un significado causal, o propositivo, o cualquier otro, limitándose simplemente a extraer afirmaciones.

c) Modus tollendo tollens (MT)

Si tenemos A ® B y también tenemos ØB, podemos introducir ØA, en dependencia de todos los supuestos de que dependan A ® B y B.

Modus tollendo tollens, significa “modo que negando, niega”. Es un modo del silogismo hipotético o condicional que sostiene que si tenernos un condicional como premisa y también la negación de su consecuente, podemos inferir como conclusión la negación del antecedente. Su forma es [(p®q) Ù Øq] ® Øp. Su formalización es:

p®q

Øq

├Øp

d) Modus tollendo ponens (TP) o Silogismo Disyuntivo (SD)

“Modo que, negando, pone”. Llamada regla del silogismo disyuntivo, que sostiene que si disponemos de una disyunción como premisa y también disponemos de uno de los miembros de la misma negado, nos permite inferir como conclusión la afirmación del otro miembro de la disyunción. Sus posibles formas son: [(pÚq) ÙØp]→ q, y [(pÚq) ÙØq]→ p. Sus dos formalizaciones son:

pÚq pÚq

Øp Øq

├q ├p

e) Modus ponendo tollens (PT) o Silogismo Conjuntivo (SC)

“Modo que afirmando, niega”. Silogismo conjuntivo que afirma que si tenemos como premisa la imposibilidad simultánea de la conjunción de los dos miembros de una conjunción, y si también disponemos del otro miembro de la misma, nos permite inferir el otro miembro como conclusión. Su forma es [Ø(pÙq) Ù q]→ Øp, y también [Ø(pÙq) Ù p]→ Øq. Su formalización es:

Ø(pÙq) Ø(pÙq)

p q

├ Øq ├ Øp

f) Doble negación (DN)

Si tenemos A, podemos introducir ØØA, y viceversa, si tenemos ØØA podemos introducir A, en dependencia de los mismos supuestos que la premisa. ØØp ↔ p

ØØ p p

├ p ├ ØØ p

g) Prueba condicional (PC)

Si tenemos una prueba de B en dependencia de un supuesto A, entonces podemos introducir A → B en dependencia de los restantes supuestos (si los hay). Es decir, dado que una determinada proposición “q” depende de un determinado supuesto “p”, junto con otros supuestos posiblemente, entonces, la PC nos permite derivar p → q en dependencia de los restantes supuestos, si los hay. Esta regla nos permite introducir como conclusión un condicional Esta regla nos permite disminuir el número de supuestos.

1. p

… ….

n. q

n+1. ├ p→ q

Los números de supuestos de la conclusión serán los mismos de la línea en que aparece “q”, a excepción del correspondiente en el que aparece la línea antecedente, esto es, el supuesto. Este principio se conoce también como “ley de contraposición”.

h) Introducción de la conjunción o del conjuntor o producto (IC o IÙ)

Si tenemos A y también tenemos B, podemos introducir A Ù B, en dependencia de todos los supuestos de que dependan A y/o B. Es decir, si tenemos dos proposiciones como premisas, la regla IC nos permite derivar su conjunción como conclusión. Como número de supuestos de la línea introducida por la conclusión tomamos todos los de las líneas tomadas como premisas. Ejemplo: (p Ù q) ® r ├ p ® (q ® r)

1 (1) (p Ùq) → r P

2 (2) p S

3 (3) q S

2,3 (4) p Ù q IC 2,3

1,2,3 (5) r MP 1,4

1,2 (6) q → r PC 3,5

1 (7) p → (q → r) PC 2,6

La primera advertencia que hay que hacer es que las afirmaciones unidas en una disyunción deben estar “disponibles” cuando son conjuntadas; esto es, si son premisas, deben estar siendo usadas, y, si no son premisas, sus premisas deben estar siendo usadas.

En segundo lugar, la conjunción debe construirse correctamente. “O María y Luis están interesados en la música o la soportan” no es la conjunción de “María está interesada en la música o la soporta” y “Luis está interesado en la música o la soporta”, ni es la conjunción de “María está interesada en la música” y “Luis está interesado en la música o la soporta”; no es la conjunción de ninguna de ellas. Hay muchas sentencias que contienen “y” que no son conjunciones.

Una afirmación está disponible, para su repetición o para cualquier otro uso (en este caso, producto) si el paso en que va y el paso citado, o no son suposiciones, o la suposición no ha sido cerrada.

i) Eliminación de la conjunción[3] o del conjuntor o simplificación (EC o EÙ)

Si tenemos A Ù B, podemos introducir tanto A como B, en dependencia de los mismos supuestos que la premisa. Es decir, podernos derivar como conclusión cualquiera de sus miembros, y también los dos por separado. Como número de supuestos: los de la conclusión serán los mismos que los de la premisa. Ejemplo: p → (q → r) ├ (p Ù q) → r

1 (1) p → (q → r) P

2 (2) p Ù q S

2 (3) p EC 2

2 (4) q EC 2

1,2 (5) q → r MP 1,3

1,2 (6) r MP 5,4

1 (7) (p Ù q) → r PC 2,6

Si yo se que a María le gustan las zanahorias y que a Luis le gustan los guisantes, puede asegurar que a Luis le gustan los guisantes; del mismo modo, puedo asegurar que a María le gustan las zanahorias.

Cualquier componente conjuntivo de una conjunción se sigue de la conjunción misma. Esto es, creo, intuitivamente claro. Pero el lenguaje se desarrolla secuencialmente, bien en el tiempo, o bien en una página escrita (de izquierda a derecha, de arriba abajo, etc.) y esto no está de acuerdo con la radical simetría (o direccionalidad) de la conectiva “y”, que simbolizamos por ‘Ù’. Sabemos, por supuesto, que si pronuncio cualquiera de las siguientes frases

A María le gustan las zanahorias, y a Luis los guisantes.

Emilio es pobre, pero honesto.

La nieve es blanca, y la hierba verde.

no importa cuál de las sentencias de cada uno de los pares menciono primero. Pero debo mencionar una primero; no puedo decirlas simultáneamente o escribirlas unas encima de otras y hacerme entender.

Así, nosotros entenderemos que la ley de simplificación nos permite derivar de una conjunción cualquiera de sus componentes conyuntivos, independientemente del orden en que sean presentados, sobre la base de que el orden de presentación no es importante.

Pero, se podría objetar, hay muchas sentencias en donde el orden de presentación es importante. “María ve a Luis y sale de casa” parece que dice algo bastante distinto a “María sale de casa y ve a Luis”. Ambas sentencias pueden, por supuesto, interpretarse a nuestra conveniencia, en vez de como una simple conjunción, y seguramente así serían interpretadas si apareciesen en una novela. (Quizás María tiene miedo de Luis o, por otra parte, está ansiosa de estar con él; quizás Luis está escondido detrás del granero, etc.) Para nuestros propósitos, no obstante, tales diferencias no son importantes. La conectiva lógica ‘y’, o ‘Ù’, igual que ‘Ú’, hace abstracción de las conexiones, causales o de otro tipo, entre las afirmaciones que une. De cualquiera de nuestras dos sentencias podemos derivas “María ve a Luis” por simplificación; también, “María sale de la casa”. Y cualquiera de ellas será verdadera si María hace ambas cosas, independientemente del orden, por cualesquiera razones.

j) Introducción de la disyunción[4] o del disyuntor o adición (ID o IÚ o Ad)

Si tenemos A o B, podemos introducir A y B, en dependencia de los mismos supuestos que la premisa. Es decir, a partir de una proposición cualquiera como premisa, podemos derivar como conclusión la disyunción de la premisa con cualquier otra proposición que queramos. La conclusión descansará en los mismos supuestos de la premisa utilizada. Recordemos que una disyunción es verdadera cuando uno de sus supuestos es verdadero Pero esta regla no es válida para la disyunción exclusiva.

Ejemplo:

p

p Ú q

q Ú p

p Ú (q → (r Ù s))

Dada una fórmula cualquiera, A, es lícito en el cálculo pasar a una fórmula nueva por el procedimiento de adicionarle mediante disyuntor el miembro que nos plazca, B (el cual puede ser cualquiera, incluso otra vez A, o también la negación de A).

El fundamento intuitivo de esta regla es el siguiente: supóngase que A es verdadera; entonces nada se pierde con añadirle mediante disyuntor otra fórmula B, cualquiera que ésta sea, porque la disyunción obtenida será también una fórmula verdadera. Y si A fuera falsa, entonces tampoco se perdería nada con la adición de B, cualquiera que fuese su valor de verdad. A esta regla la denominaremos Ad o adición.

k) Eliminación del disyuntor o de la disyunción (ED o EÚ)

Si tenemos A Ú B, junto con una prueba de C en dependencia del supuesto A, y una prueba de C en dependencia del supuesto B, podernos introducir C en dependencia de los supuestos de que dependa A Ú B, y de los que dependa C en su derivación a partir de A (excepto el mismo A), y de los que dependa C en su derivación a partir de B (excepto el propio B).

Veamos esto más detenidamente.

Sean A, B y C tres proposiciones cualesquiera. Y supongamos:

1. Partimos de “A Ú B” como premisa.

2. Tomamos “A” como supuesto y obtenemos como conclusión “C”

3. Tomamos “B” como supuesto y obtenemos como conclusión “C”.

En esta situación, la regla ED nos permite establecer como conclusión “C”, en dependencia de los supuestos en que descansa:

1. La premisa A Ú B, más los supuestos en que descansaba.

2. Los supuestos en que descansa “C” cuando fue derivada de “A”, excepto el propio su puesto de “A”.

3. Además, los supuestos en que descansaba “C” al ser derivada de “B”, excepto el propio supuesto “B”.

En resumen, se parte de una disyunción, más la prueba a partir de un disyunto, más la prueba a partir del otro disyunto. Y la conclusión se sigue con independencia de cual fuera el disyunto verdadero. Formalmente, en “raspa”, quedaría así:

A Ú B

A

.

.

C (prueba a partir de A)

B

.

.

C (prueba a partir de B)

├ C

¿Cuáles números hemos de poner en la conclusión última?

– El número de línea donde está la conclusión.

– El número de la línea donde está la premisa A.

– El número de la línea donde se ha introducido C a partir de A (primera conclusión parcial).

– El número de la línea donde se supone B.

– El número de la línea donde se ha vuelto a concluir C a partir de B (segunda conclusión parcial).

Su sentido es el siguiente: supuesta inicialmente una disyunción, entonces no se está en principio autorizado a pasar a la afirmación de alguno de sus extremos en particular. Lo que en principio se infiere de la noticia de la verdad de una disyunción es, que uno al menos de sus componentes, no se sabe cuál, es verdadero. Para determinar cuál sea el que efectivamente cumple tal condición o si ambos la cumplen se requiere nueva información.

Sin embargo, aun cuando no se pueda pasar lógicamente de la verdad de una disyunción a la verdad de ninguno de sus extremos en particular, cabe apelar a un recurso que consiste en suponer cada uno de esos extremos con carácter provisional o subsidiario y por separado. Si del análisis de cada una de esas dos suposiciones se obtuviese un mismo resultado, ello querría decir que tal resultado se sigue lógicamente de la disyunción inicial, aunque continuemos careciendo de información precisa acerca de cuál sea el componente de ésta que cumpla la condición de ser verdadero. Y como la conclusión así obtenida es independiente de esa información, los supuestos subsidiarios al efecto pueden ser cancelados.

Este razonamiento se apoya en un conocido método de prueba informal: la prueba por casos, cuya marcha puede resumirse así:

Dada una disyunción: A Ú B

Supóngase A: entonces se sigue C

Supóngase B: entonces se sigue c.

Por consiguiente, se sigue C

Los supuestos son subsidiarios y deben ser cancelados, por consiguiente, antes del establecimiento de la conclusión. A esta prueba se la denominará Caso o prueba por casos.

Ejemplo:

1 Hoy llueve o hace un sol bochornoso. (Disyunción A Ú B)

2 Hoy llueve. (A)

3 No podré salir a montar en bicicleta. (C)

4 Hace un sol bochornoso. (B)

5 No podré salir a montar en bicicleta. (C)

Ejemplo n° 1: p Ú q ├ q Ú p

1 (l) p Ú q P Supuesto (disyunción)

2 (2) p S Supuesto o premisa “p”

2 (3) q Ú p ID 2 Primera conclusión

4 (4) q S Supuesto o premisa “q”

4 (5) q Ú p ID 4 Segunda conclusión

1 (6) q Ú p ED 1-5 Conclusión final

Ejemplo n° 2: p Ú (q Ú r) ├ q Ú (p Ú r) (propiedad asociativa de la disyunción)

1 (1) p Ú (q Ú r) P

2 (2) p S

2 (3) p Ú r ID 2

2 (4) q Ú (p Ú r) ID 3

5 (5) q Ú r S

6 (6) q S

6 (7) q Ú (p Ú r) ID 6

8 (8) r S

8 (9) p Ú r ID 8

8 (10)q Ú (p Ú r) ID 9

5 (l1) q Ú (p Ú r) ED 5-10

1 (12)q Ú (p Ú r) ED 1-11

l) Reductio ab absurdum o introducción del negador (RA) o (IN) o (Abs)

Si tenemos una prueba de B Ù ØB en dependencia de un supuesto A, entonces podemos introducir ØA en dependencia de los restantes supuestos (si los hay). Es decir, si “A” nos conduce a una contradicción (A Ù ØA), entonces la proposición es falsa[5]. Se basa en la idea central del cálculo de que una contradicción es inadmisible; toda proposición que dé lugar a ella debe ser negada. La denominaremos Abs o absurdo.

Esta regla es muy potente, y es capaz de probar más cosas, pero a costa de más pasos. Tiene más potencia demostrativa, pero es más laboriosa. Recordemos que una contradicción es una conjunción, uno de cuyos miembros es la negación exacta del otro.

Es decir, una contradicción es afirmar: “p Ù Øp”, o también (p Ú q) Ù Ø(p Ú q). Pero no es una contradicción (p Ú q) Ù Ø(q Ú p), pues hay que afirmar y negar lo mismo en el mismo sentido y en la misma forma. A la hora de ponernos a realizar esta prueba no pretendemos directamente resolver la conclusión propuesta, sino que hemos de buscar una contradicción. Cuando algo no lo podemos resolver, hay que recurrir a esta regla RA. Pero también sirve para llegar a conclusiones afirmativas, gracias a la regla DN. En general, hay que plantear una RA cuando no se consigue obtener una conclusión. En realidad, cualquier prueba se puede resolver por RA, pero es un camino frecuentemente mucho más laborioso.

Ejemplo: p → Øp ├ Øp

1 (l) p → Øp P

2 (2) p S

1,2 (3) Øp MP 1,2

1,2 (4) p Ù Øp IC 2,3

1 (5) Øp RA 2-4

m) Definición del bicondicional (DB) o (Df↔)

La conectiva ↔ se introduce mediante la siguiente definición: Df ↔: A↔B = (A→ B) Ù (B → A). La cual nos permite sustituir cualquier aparición de A ↔ B por (A → B) Ù (B → A) y viceversa, cualquier aparición de (A → B) Ù (B → A) por A ↔ B. No se trata de una regla, sino de la fuerza que aparece en su propia definición.

En lógica el bicondicional es la conectiva o conector binario que opera entre dos proposiciones o dos letras proposicionales. También es llamado “coimplicador”, “bicondicionador” o “equivaledor”. Su sentido es: una proposición bicondicional es verdadera sólo cuando sus dos componentes tienen el mismo valor de verdad, es decir, cuando ambos son verdaderos o ambos son falsos; en caso contrario, cuando uno de los dos componente, el que sea, es verdadero y el otro es falso, entonces es falsa. En los Principia Mathematica de B. Russell y A. N. Whitehead lo enunciaba “≡”. Hoy se utiliza más la conectiva “↔” y se lee “si y sólo si”, o también “cuando y solamente cuando”. Así, “p ↔ q”, se lee “si y sólo si p, entonces q”.

El bicondicional no es muy utilizado en el lenguaje ordinario, pero sí lo es mucho es el científico y en el lógico. Recordemos que el condicional expresa una “condición suficiente” para que aparezca el consecuente, mientras que en el bicondicional se trata de una “condición necesaria”. La necesariedad se consigue, con el condicional siempre que se altere condicionalmente el orden de los antecedentes y los consecuentes.

Ejemplo: p ↔ q ├ q ↔ p (propiedad conmutativa del bicondicional)

1 (1) p ↔ q P

1 (2) (p → q) Ù (q → p) Df ↔ 1

1 (3) p → q EC 2

1 (4) q → p EC 2

1 (5) (q → p) Ù (p → q) IC 3,4

1 (6) q ↔ p Df ↔ 5

n) Regla de Introducción de teorema (IT)

Al probar un teorema estamos probando todos los teoremas que posean la misma forma. Llamamos instancia de sustitución de una fórmula a una fórmula que resulta al reemplazar una o más letras proposiciones en todas sus apariciones por otras fbf.

Además, probado un teorema tenemos probadas implícitamente sus infinitas instancias de sustitución. Toda instancia de sustitución de un teorema es un teorema. Y esto podemos aplicar lo también a los secuentes, por lo que toda instancia de sustitución de un secuente es un secuente (igual que la instancia de sustitución de una fbf, pero con el requisito de que hay que sustituir a la vez en todas las fbf que componen el secuente).

Esto se realiza mediante la regla de introducción de teorema. Cada vez que queramos utilizar un teorema, podemos introducirlo no dependiendo de ningún supuesto. Pero lo indicaremos en la derivación con la sigla “IT”, e indicando el número de teorema que estamos introduciendo, indicando, además, si está involucrada alguna instancia de sustitución, también debe ser anotada.

Ejemplo, donde hay que realizar la “prueba de casos”: ├ p → (p Ù q) Ú (p Ù Øq)

1 (1) p S

(2) q Ú Øq IT (84) (p/q)[6]

3 (3) q S

1,3 (4) p Ù q IC 1,3

1,3 (5) (p Ù q) Ú (p Ù Øq) ID 4

6 (6) Øq S

1,6 (7) p Ù Øq IC 1,6

1,6 (8) (p Ù q) Ú (p Ù Øq) IC 7

1 (9) (p Ù q) Ú (p Ù Øq) ED 2,3,5,6,8

(10)p → (pÙ q) Ú (p Ù Øq) PC 1,9

6.2.8. Distintos tipos de presentación de las reglas

Sistema clásico

Tipo	Nº	Nombre	Abrev.	Esquema
Reglas Primitivas	1	Introducción Supuestos	S	p S
2	Modus Ponendo Ponens	MP	p → q; p; ├q
3	Modus tollendo tollens	MT	p → q; Øq; ├Øp
4	Modus tollendo ponens	TP	p Ú q; Øp; q
5	Modus ponendo tollens	PT	Ø(p Ù q); q; ├Øp
6	Doble negación	DN	p; ├ØØp
7	Prueba condicional	PC	p S; …; q; ├p→q
8	Introducción conjunción	IC	p; q; ├p Ù q
9	Eliminación conjunción	EC	p Ù q; ├p
10	Introducción disyunción	ID	p; ├pÚ q
11	Eliminación disyunción	ED	p Ù q; p → r;q → r;├r
12	Reductio ab absurdum	RA	p S;…; q Ù Øq; ├Øp
13	Definición bicondicional	DfB	p ↔ q; ├(p → q) Ù (q → p)
14	Introducción teorema	IT
Reglas derivadas negación	15	Eliminación negación	EN	p;…; Øp; ├q
16	Ley de Morgan 1	DM1	Ø(p Ù q); ├ Øp Ú Øq
17	Ley de Morgan 2	DM2	Ø (p Ú q); ├ Øp Ù Øq
Reglas derivadas conjunción	18	Conmutativa conjunción	Conm.C	p Ù q; ├ q Ù p
19	Def. conjunción por Ø y →	Def.C1	p Ù q; ├ Ø (p → Øq)
20	Def. conjunción por Ø y Ú	Def.C2	p Ù q; ├ Ø (Øp Ú Øq)
Reglas derivadas disyunción	21	Conmutativa disyunción	Conm.D	p Ú q; ├ qÚ p
22	Silogismo disyuntivo	SD	p Ú q; Øp¸├ q
23	Dilema constructivo simple	Dil.C1	p Ú q; p→r; q→r; ├ r
24	Dilema constructivo compuesto	Dil.C2	p Ú q; p→r; q→s; ├ r Ú s
25	Dilema destructivo simple	Dil.D1	Øp Ú Øq; r→p; r→q; ├ Ør
26	Dilema destructivo compuesto	Dil.D2	Øp Ú Øq; r→p; s→q; ├ Ør Ú Øs
27	Def. disyunción por Ø y →	Def.D1	p Ú q; ├ Øp → q
28	Def. disyunción por Ø y Ù	Def.D2	p Ú q; ├ Ø(Øp Ù Øq)
Reglas derivadas condicional	29	Transitiva o silogismo del C	Sil.	p→q; q→r; ├ p→r
30	Def. condicional por Ø y Ù	Def.→1	p→q; ├ Ø(p Ù Øq)
31	Def. condicional por Ø y Ú	Def.→2	p→q; ├ Øp Ú q
Reglas derivadas bicondicional	32	Conmutativa bicondicional	Conm.B	p↔q; ├ q↔p
33	Transitiva bicondicional	Trans.B	p↔q; q↔r; ├ p↔r

6.2.8. Una ordenación más racional[7]

TABLA I REGLAS BÁSICAS DEL CÁLCULO DE JUNTORES
REGLAS DE INTRODUCCIÓN	REGLAS DE ELIMINACIÓN
IMPLICADOR
Regla 7 II Introducción implicador IC Introducción Condicional TD Teorema deductivo PC Prueba condicional A . . B —————– A → B	Regla 2 EI Eliminación implicador EC Eliminación Condicional MP Modus Ponendo Ponens A → B A ————– B
CONJUNTOR
Regla 8 IC Introducción conjuntor IC Introducción conjunción Prod Producto A B —————- A Ù B	Regla 9 EC Eliminación conjuntor EC Eliminación conjunción Simp Simplificación EC1 EC2 Simp1 Simp2 A Ù B A Ù B ————– ————— A B
DISYUNTOR
Regla 10 ID Introducción disyuntor ID Introducción disyunción Ad Adición ID1 ID2 Ad1 Ad2 A B ————- —————- A Ú B A Ú B	Regla 11 ED Eliminación disyuntor ED Eliminación disyunción Cas Prueba por casos A Ú B A . C B . C ——————— C
NEGADOR
Regla 12 IN Introducción negador IN Introducción negación Abs Reductio ab absurdum RA Reducción al absurdo A . B Ù ØB ————————— ØA	Regla 6 EN Eliminación negador EN Eliminación negación DN Doble negación ØØA ————————– A
TABLA II REGLAS DERIVADAS DEL CÁLCULO DE CONECTORES
REGLAS DERIVADAS DE IMPLICACIÓN
Regla 29 Trans Transitiva Sil Silogismo del implicador Sil Silogismo del condicional Sil Silogismo hipotético A → B B → C ————— A → C	Regla 34 Mut Mutación de premisas A → (B → C) ————————– B → (A → C)
Regla 35 Id Identidad A ———- A	Regla 36 CPr Carga de Premisa A ———— B → A
REGLAS DERIVADAS DE CONJUNCIÓN Y DISYUNCIÓN
Regla 18 ConmC Conmutativa de la conjunción CC Conmutativa de la conjunción A Ù B =========== B Ù A	Regla 21 ConmD Conmutativa de la disyunción CD Conmutativa de la disyunción A Ú B =========== B Ú A
Regla 37 AC Asociativa de la conjunción AsocC Asociativa de la conjunción (A Ù B) Ù C ================ A Ù (B Ù C)	Regla 38 AD Asociativa de la disyunción ASocD Asociativa de la disyunción (A Ú B) Ú C ================= A Ú (B Ú C)
Regla 39 DC Distributiva de la conjunción DistC Distributiva de la conjunción A Ù (B Ú C) ================= (A Ù B) Ú (A Ù C)	Regla 40 DD Distributiva de la disyunción DistD Distributiva de la disyunción A Ú (B Ù C) ================ (A Ú B) Ù (A Ú C)
Regla 41 IdC Idempotencia de la conjunción A Ù A ========== A	Regla 42 IdD Idempotencia de la disyunción A Ú A =========== A
Regla 43 AbsC Absorción de la conjunción A Ù (A Ú B) ============ A	Regla 44 AbsD Absorción de la disyunción A Ú (A Ù B) ============= A
REGLAS DERIVADAS DE NEGACIÓN
Regla 45 Cp Contraposición A → B ——————– ØB → ØA	Regla 3 MT Modus (tollendo) tollens A → B ØB —————— ØA
Regla 6 DN Doble negación IDN Introducción doble negador A —————- ØØA	Regla 15 ECQ Ex contradictione quodlibet (EN Eliminación negador) A Ù ØA ————- B
Regla 46 PNC Principio de no contradicción Ø(A Ù ØA)	Regla 47 PTE Principio de tercero excluido A Ú ØA
REGLAS ADICIONALES DE CONJUNCIÓN Y DISYUNCIÓN
Regla 48 Imp Importación A → (B → C) ————————– (A Ù B) → C	Regla 49 Exp Exportación (A Ù B) → C ———————– A → (B → C)	Regla 5 PTModusPonendoTollens Ø(A Ù B) B —————- ØA
Regla 22 SD1 Silogismo disyuntivo SD Silogismo disyuntivo A Ú B ØB ————– A	Regla 22 Regla 4 SD2 Silogismo disyuntivo SD Silogismo disyuntivo TP Modus Tollendo Ponens A Ú B ØA ————– B
Regla 23 DilC1 Dilema constructivo simple Dil1 Dilema 1 Dil Dilema A Ú B A → C B → C —————- C	Regla 25 DilD1 Dilema destructivo simple Dil2 Dilema 2 Dil Dilema ØA Ú ØB C → A C → B —————- ØC
Regla 24 DilC2 Dilema constructivo compuesto Dil3 Dilema 3 Dil Dilema A Ú B A → C B → D ————— C Ú D	Regla 26 DilD2 Dilema destructivo compuesto Dil4 Dilema 4 Dil Dilema ØA Ú ØB C → A D → B —————– ØC Ú ØD
REGLAS DE COIMPLICACIÓN
Regla 13 DfB Def. Bicondicional ICO Intr. Coimplicador A → B B → A —————– A ↔ B	Regla 13 DfB Def. Bicondicional ECO1 Elim.Coimplicad. A ↔ B ————— A → B	Regla 13 DfB Def. Bicondicional ECO2 Elim. Coimplicad. A ↔ B ————— B → A
Consecuencias inmediatas de la definición del coimplicador
Regla 50 A ↔ B A —————— B	Regla 51 A ↔ B B —————— A
Propiedades del coimplicador
Regla 52 Reflexividad A ↔ A	Regla 32 Simetría ConmB Conm.Bicondic. A ↔ B —————- B ↔ A	Regla 33 Transitividad TransB Transit.Bicond. A ↔ B B ↔ C —————- A ↔ C
Regla 53 I Intercambio o reemplazo A ↔ B CA Se trata de una subfórmula en una fórmula ———————- CB Se trata de una subfórmula en una fórmula
LEYES DE INTERDEFINICIÓN
Regla 30 Def→1 Defin. Condicional por Ø y Ù DI1 Defin. Implicador 1 A → B ========== Ø (A Ù ØB)	Regla 31 Def→2 Defin. Condicional por Ø y Ú DI2 Defin. Implicador 2 A → B =========== ØA Ú B
Regla 19 DefÙ1 Defin. Conjunción por Ø y → DfC1 Defin. Conjuntor 1 A Ù B ============ Ø(A → ØB)	Regla 20 DefÙ2 Defin. Conjunción por Ø y Ú DfC2 Defin. Conjuntor 2 A Ù B ============ Ø(ØA Ú ØB)
Regla 27 DefÚ1 Defin. Disyunción por Ø y → DfD1 Defin. Disyuntor 1 A Ú B ============= ØA → B	Regla 28 DefÚ2 Defin. Disyunción por Ø y Ù DfD2 Defin. Disyuntor 2 A Ú B =========== Ø(ØA Ù ØB)
LEYES DE MORGAN
Regla 16 DM1 De Morgan 1 Ø(A Ù B) ============ ØA Ú ØB	Regla 17 DM2 De Morgan 2 Ø(A Ú B) ============= ØA Ù ØB

6.2.8. El cálculo en la lógica proposicional

TABLAS DE VERDAD (Cf. supra)

EL MÉTODO RESOLUTIVO VERITATIVO-FUNCIONAL

A la hora de realizar este método hay que tener en cuenta lo dicho para las tablas de verdad, en cuanto al valor veritativo de las conectivas. Además, si en un condicional su consecuente es falso, su valor de verdad será el mismo que la negación de su antecedente. Y si un bicondicional tiene como componente “F” su valor se reduce a la negación del otro componente.

Sea la fbf siguiente: (p → q) Ú Øq ↔ Ø(ØØp Ù q).

Asignamos, previamente, el valor de “V” para “p” y el valor de “F” para q.

Y entonces, en lugar de citar las letras proposicionales, las sustituimos, en la fbf por sus valores, y tendríamos lo siguiente:

(p → q) Ú Øq ↔ Ø(ØØp Ù q)

(V → F) Ú ØF ↔ Ø(ØØV Ù F)

F Ú V ↔ Ø(V Ù F)

F Ú V ↔ ØF

V ↔ V

V

De aquí resulta que la fbf propuesta es verdadera cuando asignamos los valores dichos.

¿Qué sucede si invertirnos la asignación de estos valores, p = F; q = y?

(p → q) Ú Øq ↔ Ø(ØØp Ù q)

(F → V) Ú ØV ↔ Ø(ØØF Ù V)

ØF Ú F ↔ Ø(F Ù V)

V Ú F ↔ ØF Ú ØV

V Ú F ↔ V Ú F

V ↔ V

V

EL MÉTODO GENERAL RESOLUTIVO VERITATIVO-FUNCIONAL

Para realizar este método haremos lo siguiente:

1. Subdividir en dos los casos a considerar, eligiendo una letra proposicional cualquiera, poniendo en su lugar en el primer caso “V” y en el segundo caso “F”.

2. Empezamos a aplicar las tablas hasta llegar a “V” o “F” o un esquema que no contenga ya la letra proposicional que hemos elegido.

Sea la fbf siguiente: p → q

p → q

V → q F → q

V

q

V F

De este modo, el valor de la fbf (como dice la propia definición del condicional), se reduce al valor de verdad que posea “q”.

LOS ÁRBOLES LÓGICOS DE CONSISTENCIA EN LA LÓGICA PROPOSICIONAL VERITATIVO-FUNCIONAL

a) Los árboles de consistencia

Este método posee el carácter intuitivo-mecánico del método de tablas y, además, la potencia inferencial del método deductivo natural. ¿Para qué sirve? Teóricamente, para comprobar la consistencia o inconsistencia de una fórmula o conjunto de fbfs. No nos responde si una fórmula es tautológica, pero si es inconsistente, entonces no es tautológica; aunque no sabemos si es consistente.

Si una fórmula es tautológica, entonces su negación tiene que ser inconsistente. Por esta vía indirecta, este método nos contesta si una fbf es o no tautológica. Por ejemplo, si tres fbfs implican una conclusión lo que hacemos es saber si es consistente el conjunto de todas las premisas y la negación de la conclusión.

En el caso de la equivalencia (bicondicional) se toma su condicional correspondiente y se ve si es válido. Funciona, por tanto, como la RA. Suponer todo el conjunto de fbfs iniciales como verdadero; si no nos contradecimos, no son verdaderas; si nos contradecimos, sí pueden serlo.

b) Instrucciones sobre los árboles de consistencia

1) Introdúzcase en una misma rama todas las proposiciones del conjunto cuya consistencia o inconsistencia se quiere probar.

2) Una rama está cerrada si y sólo si contiene como líneas una letra proposicíonal y su negación.

3) Una rama está abierta si y sólo si no contiene como líneas una letra proposicional y su negación.

4) Al aplicar una regla a una línea, márquese esa línea con el signo /, e introdúzcanse sus conclusiones al final de toda rama abierta que contenga esa línea (y únicamente en esas ramas).

5) No puede aplicarse una regla a una línea ya marcada con el signo /.

6) Si, tras la aplicación de una regla, en un rama apareciera una contradicción (entendiendo por contradicción únicamente una letra proposicional y su negación), ciérrese esa rama marcándola al final con el signo “X”.

7) Es preferible (aunque no necesario) aplicar primero las reglas que no bifurquen la rama. Y, entre las que bifurcan, es preferible (aunque tampoco necesario) aplicar primero las del bicondicional.

8) Una rama está terminada si y sólo si está cerrada o han sido marcadas con / todas sus líneas que no consistan en una letra proposicional o la negación de una letra proposicional.

9) Un árbol está terminado si y sólo si todas sus ramas están terminadas.

10) Un árbol está cerrado si y sólo si todas sus ramas están cerradas.

11) Un árbol está abierto si y sólo si al menos una de sus ramas está abierta.

PROCESO A SEGUIR PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS DE LÓGICA DE ENUNCIADOS: EL MÉTODO AXIOMÁTICO

1. Si la proposición se presenta en lenguaje natural lo primero que tenemos que hacer es traducirla o lenguaje formal.

2. Colocaremos las premisas iniciales por orden de arriba hacia abajo (numerándolas). A continuación, cuando sea el caso, a partir de aquellas y utilizando las reglas convenientes trataremos de alcanzar la conclusión. No obstante, es posible como alternativa utilizar premisas auxiliares que nos pueden un algún momento allanar el camino de acceso a la conclusión. Veamos algunos casos.

Primer caso: Pongamos que la fórmula objeto de nuestro interés es una implicación, pondremos como premisa auxiliar el antecedente de la implicación. Sólo nos resta hallar el consecuente para, una vez descargados los supuestos, emplear el Teorema de la Deducción (TD) y dar con la fórmula buscada. Puede darse la circunstancia que el consecuente fuera una implicación; se procedería de igual modo que en el caso anterior y así procederíamos si se repitiera el caso en lo sucesivo hasta alcanzar la conclusión.

Segundo caso: Imaginemos que en las premisas de nuestra proposición tenemos una disyunción; entonces, provisionalmente, supondremos cada parte separadamente de la disyunción y deduciremos de cada parte la fórmula adecuada a nuestros fines lógicos. Estamos ante lo que denominamos Prueba por Casos (Cas).

En último caso podemos dejar de lado la vía de la deducción directa y acogernos a la utilización del método de reducción al absurdo o deducción indirecta, que consiste en suponer provisionalmente la negación de la fórmula que nos interese establecer, intentándose extraer de esa negación una contradicción; el rechazo de esta contradicción nos proporcionará la fórmula deseada.

Ejercicio.

1. Øq

2. t → q

3. Øp → t

├ p

Solución:

1. Øq P1

2. t → q P2

3. Øp → t P3

4. Øp S

5. Øt MT 1,2

6. t MP 3,4

7. t Ù Øt IC 6,5

8. ØØp Abs 4-7

9. ├ p DN 8

Nota: Se alcanza la conclusión pedida a partir de las reglas adecuadas de modo que el razonamiento es válido lógica y formalmente.

6.3. LA LÓGICA DE PREDICADOS O LÓGICA CUANTIFICACIONAL

6.3.1. La función lógica y el cálculo de predicados

Hay proposiciones o inferencias que no pueden ser simbolizadas considerándolas a cada uno como un todo, es decir, no pueden ser simbolizadas sin tener en cuenta la estructura interna (formal) de las proposiciones de que depende la validez de las inferencias.

Así, sea la proposición.

“todos los licenciados en filosofía hacen oposiciones”;

Mari Pili es licenciada en filosofía;

por tanto, Mari Pili hace oposiciones.

Esto se simbolizará corno “p, q; por tanto r”. Pero “p, q; por tanto r” se amoldará tanto a una inferencia válida como a una inválida. Por ejemplo:

“Todas las españolas son guapas;

Dino es un perro,

por tanto, Induráin es el mejor ciclista”

¿Cómo hemos de proceder entonces? El primer paso es darse cuenta de que un enunciado; “todas las españolas son guapas” es equivalente al enunciado “si una mujer es española, entonces es guapa”. Proposiciones simples como la primera de las anteriores citadas se pueden escribir como si constasen de dos proposiciones conectadas por “si … entonces”. Escribamos ahora cada una de las dos proposiciones así conectadas en forma de función: “Si x es española, x guapa”. Cuando se dé este modo, la proposición “todas las españolas son guapas” cae dentro del sistema de Frege.

O, mejor, casi lo hace, pues queda una ambigüedad por resolver. “Si x es española, x es guapa” puede dar lugar a confusión, porque es ambigua entre algún “x” particular y cualquier “x” o todo “x”. Lo que querernos expresar es el “cualquier x”; lo que queremos es capturar la generalidad de “todas las españolas son guapas”. Por tanto, tenemos que tomar medidas para expresar esta generalidad. Así, en lugar de “x es española, entonces x es guapa”, escribiremos: “para todo x, si x es española, entonces x es guapa”. Y esto equivale a un enunciado más o menos como el siguiente: “Sea lo que sea lo que pase, o se esté donde se esté, si x es española, entonces x es guapa”. Si reflexionamos sobre lo que decimos cuando decimos que “todas las españolas son guapas”, veremos que esa equivalencia aproximada se mantiene.

De igual manera, si queremos expresar que “algunas españolas son guapas”, entonces escribiremos “para algún x, x es española, y x es guapa”, que es más o menos equivalente a “existe algún x que es a la vez española y guapa”.

Las dos expresiones completamente formalizadas resultarían así:

1. (x) (Ex → Gx)

2. (E x) (Ex Ù Gx)

Aquí tenemos, en un breve esbozo, los elementos básicos del sistema formal axiomático de Frege.

Recordemos que esto lo comenzó a realizar Frege a partir de 1884. Dos decenios después Russell y Whitehead desarrollaron un sistema parecido, basado en un conjunto diferente de axiomas. Fueron D. Hilbert y W. Ackerman los que analizaron de forma rigurosa la lógica de predicados de primer orden. Ahora bien, alguien que haya reflexionado sobre qué es lo que ocurre en el desarrollo de esos sistemas los habrá encontrado problemáticos en ciertos aspectos. Sobre todo plantean problemas, por ejemplo, en lo que concierne a la naturaleza de la verdad lógica. Con respecto a dicha verdad parece haber cierta necesidad que la distingue de la verdad de los enunciados, por ejemplo, de los de la ciencia física. Pero, ¿cómo se puede elucidar esta necesidad?

Es decir, consideremos las relaciones entre las verdades lógicas y los axiomas en que se basan. ¿Dependen éstas en su verdad de los axiomas? Si es así, ¿de qué depende a su vez la verdad de esos axiomas? Y si no es así, ¿en qué sentido se derivan de ellos las verdades lógicas?

Analicemos de nuevo la inferencia “si nieva esta tarde, la función teatral será suspendida; nevará esta tarde; por tanto, la función teatral será suspendida”. Decimos que es válida porque es una expresión de la verdad lógica “si p, entonces q; y p; por tanto, q”. Pero, ¿cuál es la naturaleza del “porque”? ¿Cómo, precisamente, depende de la verdad lógica la validez de la inferencia? Lo que está claro es que esto expresa un problema acerca de la naturaleza misma de la lógica. Son cuestiones que surgen no tanto cuando se está desarrollando un sistema lógico como cuando se reflexiona sobre lo que se está haciendo al desarrollarse así. En este sentido, estas cuestiones no son ya competencia tanto de la lógico como de la filosofía de la lógica o de la metalógica.

La lógica clásica consideraba como fundamentales 4 tipos de proposiciones, a las que distinguía por medio de letras A, E, I, 0. Los criterios de distinción eran la cantidad (si el término sujeto estaba tomado universalmente, es decir, en toda su denotación) o particularmente; y el juicio (si la proposición afirmaba algo o negaba algo). Las combinaciones resultantes eran éstas:

A (Universal afirmativa: Todos los F son G (Ej. “Todos los españoles son europeos”).

E (Universal negativa): Ningún F es G. (Ej. “Ningún hombre vuela usando sus orejas”).

I (Particular afirmativa): Algún F es G. (Ej. “Algunos alimentos son de color rojo”).

O (Particular negativa): Algún F no es G. (Ej. “Algunos filósofos no son nada claros”).

Esto viene a ser lo mismo que:

A Todo F es G (x) (Fx → Gx)

E Ningún F es G (x) (Fx → ØGx)

I Algún F es G (E x) (Fx Ù Gx)

O Algún F no es G (Ex) (Fx Ù ØGx)

6.3.2. La lógica cuantificacional o de predicados

En la lógica de Aristóteles éste distinguía entre elementos o partículas “categoremáticas” y entre las “sincategoremáticas”.Todas las lenguas posee elementos que no denotan nada y cuya función consiste en relacionar entre sí los elementos denotativos. Es decir, toda lengua tiene elementos sincategoremáticos, además de los categoremáticos o denotativos. “Categoremático” es término de origen griego generalizado en la lógica y en la gramática medieval, aunque deriva la lógica del estoicismo. Lo categoremático está asociado a las categorías y tienen un contenido plenamente significativo. Los estoicos distinguían entre una oración con sentido completo (categoremática), que afirma de un sujeto lo que expresa, y otras con sentido incompleto en sí mismas (sincategoremáticas). Un ejemplo de una proposición que tiene un significado completo puede ser: “Todos los hombres son seres corpóreos”. Tiene una significación completa en sí misma, pues consta de un sujeto (una substancia, por tanto, una categoría), un verbo y un predicado (también categorial, como la extensión). Las proposiciones sincategoremáticas, por el contrario, no poseen esta estructura acabada y completa; por ejemplo: “Todas”. Aquí podemos preguntar; ¿quiénes? De este modo, las oraciones sincategorernáticas sólo adquieren plena significación cuando van unidas a una categoremática.

Por su parte “sintegoremético” es un término proveniente del latín medieval (syncategorematicus), derivado del griego syn “con” y catégoreó, que significa “afirmar”. Se refiere a los términos o las palabras que en una oración determinan, modifican o relacionan al sujeto, al verbo y al predicado, pero que no tienen al margen de ellos significación completa en sí mismos (cosa que sí poseen los términos categoremáticos). Aunque el concepto se remonta a los estoicos, fue muy utilizado en la lógica medieval. Estos términos sincategoremáticos eran, en la lógica de Aristóteles, los cuantificadores. Son vocablos como: “sin embargo”, “entonces”, “todos”, “ningún”, “algún”,”y”, “o”, “por tanto”, etc Estos términos sincategoremáticos precisan ser unidos a un sujeto y a un predicado unidos a su vez por el verbo copulativo: “es”. Sólo de esta forma un término sincategoremático se convierte en categoremático. Pues, de forma similar, en la actual lógica de predicados de primer orden estos cuantificadores, una vez unidos con una función proposicional, se convierten en un “enunciado”.

Pues bien, visto esto, podemos decir que la lógica de predicados es la parte de la lógica que se dedica a estudiar la “consecuencia” lógica entre las proposiciones o enunciados, pero con la particularidad de que frecuentemente no es suficiente con analizar la estructura de la totalidad de los enunciados, sino que se hace necesario adentrarse en su estructura interna. Esto es lo que de nomina lógica de predicados de primer orden.

1. Todas las personas a las que les gusta la poesía son melancólicas

2. A Rocío le gusta la poesía

3. Por consiguiente, Rocío es una persona melancólica. Esta inferencia formalmente es correcta, siendo su forma lógica:

p → q

p

├ q

Pues bien, consideremos ahora este ejemplo:

1. A todas las personas melancólicas les gusta la poesía

2. A Rocío le gusta la poesía

3. Por consiguiente, Rocío es una persona melancólica. Observamos que su estructura lógica es idéntica a la anterior, es decir:

p → q

p

├ q

Pero nos encontramos con un problema: el primer argumento es correcto, mientras que no lo es el segundo, pese a poseer la misma estructura formal superficial, con lo que no podemos decidir cuál de los dos argumentos es válido atendiendo únicamente a su estructura formal. Y por esto se hace necesario recurrir a analizar la estructura interna de la argumentación, incorporando operadores internos, diferenciando entre relaciones y propiedades, así como entre objetos e individuos. Veamos un ejemplo:

“Todos los árboles son vegetales”. En esta proposición podemos diferenciar entre el objeto o individuo (el árbol) y la propiedad que se atribuye al mismo (ser vegetal). Pues bien, a los términos que mientan a los objetos o individuos los denominamos “designadores”, mientras que a los términos que se refieren a los predicados los llamamos “relatores”. El referente u objeto puede constar de un espacio vacío (se puede predicar algo de un objeto cualquiera), y entonces lo denominamos “argumento”. Pero a éste se le atribuye algo, es decir, un “predicado”, y este puede ser, bien de propiedades (los denominamos “predicados absolutos”, válidos para todos) o bien de relaciones (que son “predicados relativos”, pues se refieren sólo a ellos). Y a las propiedades corresponden tanto nombres como pronombres u objetos, y a las relaciones corresponden agrupaciones de dos o más nombres, dependiendo de que los predicados tengan dos o más lugares vacíos.

6.3.3. Simbología de la lógica de predicados

La lógica de predicados, también denominada lógica cuantificacional, se ocupa de la organización interna de las proposiciones. Ésta es la idea principal como punto de partida, a diferencia de lo que se afirmó para la lógica de enunciados. Así, la lógica de predicados se va a dedicar a tratar de los términos que conforman las proposiciones. Tales términos se refieren a individuos o a propiedades de individuos, así como a las relaciones entre individuos, es decir, un predicado puede relacionar más de un objeto.

Algunas breves definiciones antes de seguir:

– Individuo: Todo aquello que en lenguaje común se denomina con un nombre propio. Cualquier ser único en algún sentido (personas, montañas, estrellas, números, obras de arte, etc.).

– Nombre: Toda aquella expresión que se refiera a un individuo.

– Predicado: Toda expresión que haga referencia a propiedades o a relaciones entre individuos.

¿Cómo vamos a traducir esto en lenguaje simbólico?:

– En primer lugar, hablaremos de variables individuales cuando nos refiramos a un individuo indeterminado; para ello utilizaremos las minúsculas: x, y, z.

– En segundo lugar, hablaremos de nombres que simbolizaremos por las letras minúsculas a,b,c a las cuales vamos a llamar letras constantes individuales.

– En tercer lugar, hablaremos de predicados; se simbolizarán con letras mayúsculas (letras predicativas) tales como: P, O, E, S, T, etc.

Distingamos en este apartado y en este preciso instante lo que ya anunciábamos en apartados anteriores, el objetivo de trabajo de la lógica proposicional respecto de la lógica cuantificacional, de tal forma que una expresión que esté formada por una letra predicativa seguida de una o varias letras individuales no se puede tomar como si de un enunciado se tratase ya que no podemos concluir de una expresión que sea verdadera o falsa. Abundando en ello pondremos un ejemplo que clarifique esta cuestión. Tomemos la expresión siguiente: “x es un librero”; esta oración no supone un enunciado, ahora bien, podrá llegar a ser un enunciado siempre que determinemos la variable pertinente. En otros términos, la expresión del ejemplo Lx constituye un enunciado abierto o por determinar. Tarea nuestra será cambiar la variable existente por un nombre de individuo: “Don José Maldonado es un librero”, por tanto, La. Lo que hemos hecho ha consistido en cambiar por una letra constante individual una letra variable individual. En todo caso, este enunciado será falso o verdadero dependiendo de la constante que usemos. Además, esto dependerá de que el predicado se pueda o no predicar del individuo al que la constante se refiere.

Aparte de esto podemos determinar la variable empleando los cuantificadores:

– Cuantificador universal L, Ù, ” = “todos”

– Cuantificador particular V,Ú, $ = “algunos”.

Observemos un pequeño ejemplo como aportación didáctica:

Vx (x es un librero).

Hemos de fijarnos en el hecho de que el cuantificador y la muestra de la variable suponen un prefijo que ayuda a cerrar el enunciado abierto en el que esa variable tiene lugar. Nos quedará la siguiente expresión determinada Vx (Lx).

A continuación recordemos que la lógica de predicados la podemos dividir en:

a) Lógica de predicados de primer orden donde sólo se cuantifican variables individuales.

b) Lógica de predicados de segundo orden u orden superior, donde se trata de analizar la validez de los razonamientos que requieren la cuantificación de predicados de individuos o predicados de predicados de individuos.

Nos toca exponer la simbología apropiada a la lógica de predica dos: veremos que muchos símbolos han sido ya utilizados anterior mente de modo que la comprensión nos será más fácil.

Símbolos primitivos:

– Letras enunciativas:

p, q, r, p1, q1, r1, … pn, qn, rn.

– Letras predicativas:

P, O, R, S, … Pn, Qn, Rn, Sn.

– Letras individuales:

Variables: x, y, z, … xn, yn, zn.

Constantes: a, b, .. an, bn, cn.

– Símbolos lógicos:

Juntores: Ø, ↔, →, Ú, Ù

Cuantificadores: “, V y $, L

Todo lo anterior significa un condicionante a la hora de formar expresiones dentro de este apartado de la lógica. Por ello, lo que vamos a pedir a tales expresiones es que respeten las reglas a las que se tienen que someter para poder engrosar el espacio de las fórmulas bien formuladas.

A renglón seguido mostramos un cuadro que da fe de los tipos de enunciados de la lógica da predicados monádicos de primer orden, con y sin especificación del universo del discurso.

UNIVERSAL AFIRMATIVO Lx (Px → Qx)	UNIVERSAL AFIRMATIVO Lx Px
Particular afirmativo Vx (Px Ù Qx)	Particular afirmativo Vx Px
Universal negativo Lx (Px → ØQx)	Universal negativo Lx ØPx
Particular negativo Vx (Px Ù ØQx)	Particular negativo Vx ØPx

6.3.4. Los cuantificadores de la lógica de predicados

En la lógica formal contemporánea los cuantificadores son dos:

1. El cuantificador universal, que es simbolizado como “”x (Px)” y que se lee: “para todo x, P de x” (para todo x, se predica P), o también se simboliza como “Úx Px”, leyéndose igual que la anterior forma. También suele formalizarse simplemente como “(x)”.

2. El cuantificador existencial o particular, que es simbolizado como “$x (Px)”, que se lee como “existe o hay un x tal que x es P”, o “existe un x tal que P de x”. También se simboliza como “AÚx Px”, que se lee igual que la anterior forma. También puede simbolizarse como “Ex”.

Utilizando las diferentes posibilidades que nos proporcionan las conectivas, daría como resultado la siguiente tabla, que puede ampliarse en sus combinaciones:

FORMALIZACIÓN	TRADUCCIÓN	LENGUAJE ORDINARIO
“x (Fx)	Para todo x, x es filósofo	Todos son filósofos
“x (Fx → Px)	Para todo x, si x es filóso-fo, x es profesor	Todos los filósofos son profesores
“x (Fx ↔ Px)	Para todo x, x es filósofo si y sólo si x es profesor	Todos son filósofos y pro-fesores, o ni filósofos ni profesores
Ø”x (Fx)	No es el caso que para todo x, x sea filósofo	No todos son filósofos
“x (ØFx)	Para todo x, x no es filóso-fo	Nadie es filósofo
Ø”x (Fx → Px)	No es el caso que, para todo x, si x es filósofo, entonces x es profesor	No todos los que son filósofos son profesores
“x (Fx → ØPx)	Para todo x, si x es filóso-fo, entonces x no es profe-sor	Ningún filósofo es profesor
$x (Fx)	Existe algún x tal, que x es filósofo	Alguno es filósofo
Ø$x (Fx)	No es el caso que exista un x tal que sea filósofo	Nadie es filósofo
$x (Fx Ù Px)	Existe algún x tal, que x es x filósofo y profesor	Alguno es filósofo y profe-sor

6.3.5. Reglas específicas de la lógica de predicados

a) Regla de la eliminación del cuantificador universal o generalizador:

Formulación: EG

Lx Px

—————————

Pa

Traducción: Si “X” es un enunciado universal, podemos inferir otro enunciado “Y” que resulte de sustituir por una constante individual alguna de las variables que en “X” están bajo el alcance del cuantificador universal. Es decir, lo que afirmamos de todos los elementos del dominio de una variable es verdadero para uno de ellos.

b) Regla de introducción del cuantificador universal o generalizador:

Formulación: IG

Pa

———————————

Lx Px

Traducción: Lo que afirmamos de un individuo cualquiera de un universo determinado, no siendo ese individuo un individuo concreto, sino en cuanto que lo afirmamos de cualquier individuo, puede ser afirmado del total del universo de la variable.

c) Regla de introducción del cuantificador particular o particularizador:

Formulación: IP

Pa

———————————

Vx Px

Traducción: De una determinada afirmación sobre un individuo podemos pasar a la afirmación de que hay algún individuo del que se puede hacer tal afirmación.

d) Regla de eliminación del cuantificador particular o particularizador:

Formulación: EP

Vx Px

Pa S

A

———————————

A

Traducción: En la regla de introducción del cuantificador universal se hablaba de la necesidad de un individuo cualquiera; en esta regla se exige que se trate de un individuo concreto cualquiera.

6.3.6. Reglas derivadas en lógica de predicados

Definición del generalizador

DG Lx Px

ØVx ØPx

Definición del particularizador

DP Vx Px

ØLx ØPx

Negación del genarlizador

NG ØLx Px

Vx ØPx

Negación del particularizador

NP ØVx Px

Lx Px

6.4. LÓGICA DE CLASES O DE PREDICADOS MONÁDICOS

6.4.1. Introducción

La lógica de clases es la lógica de predicados monádicos. En la historia de la lógica moderna, la lógica de clases fue la primera en alcanzar su desarrollo, por obra de G. Boole (1815-1864) y A. de Morgan (1806-1871). Estos autores pensaban que la lógica clásica, hasta entonces en vigor (sobre todo, la aristotélica), podía interpretarse en términos de clases y de relaciones entres las clases. La lógica de clases ofrecía la posibilidad de formalizar en cierto grado la lógica aristotélica, que estaba escasamente formalizada.

Hoy la lógica de clases es posterior a la lógica de enunciados o lógica proposicional. La razón es que decir de dos clases que se encuentran relacionadas en cierta manera es ya enunciar una proposición: como consecuencia, un cálculo desarrollado de clases supone nociones del cálculo de proposiciones.

La lógica de clases supone, por consiguiente, nociones de la lógica proposicional, pero, a la vez, es una extensión de la lógica a campos que la lógica proposicional no podía abarcar. La razón de esta limitación de la lógica proposicional es clara: por principio, la lógica proposicional considera no analizables las proposiciones simples o monádicas. Se limita, en consecuencia, a estudiar la estructura lógica de las proposiciones compuestas o moleculares; es decir, a estudiar el modo cómo las proposiciones simples son encuadradas en proposiciones complejas por medio de las conectivas fundamentales, y las consecuencias que este encuadramiento de las proposiciones puede traer consigo con vistas a la argumentación y a la deducción. Esta limitación de principio tiene como consecuencia que argumentos que son evidentemente válidos desde el punto de vista lógico-formal son, sin embargo, inexplicables por los métodos de la lógica proposicional. Entre estos argumentos se encuentran todos los silogismos de la lógica tradicional.

Veamos, como ejemplo, el siguiente argumento:

— Todos los mamíferos carnívoros tienen pelo

— Los perros son mamíferos carnívoros.

— Luego, los perros son mamíferos carnívoros.

Este argumento es claramente válido. Pero es imposible dar razón de su validez dentro de la lógica proposicional. Desde el punto de vista de esta lógica, no tenemos aquí más que tres proposiciones simples distintas, entre las que no es posible establecer ninguna relación. Y es que en este tipo de argumento desempeña un papel fundamental la estructura interna de la proposición, estructura a la que la lógica proposicional renuncia, por principio, a estudiar.

La lógica de clases evita hasta cierto punto esta limitación, entrando ya en el análisis de la estructura interna de la proposición. Por ello supone una cierta ampliación del campo de la lógica proposicional. No es, sin embargo, una ampliación sistemática, como la que se encuentra en la lógica de predicados; es más bien una ampliación especializada, pues la lógica de clases dirige su atención a aquellas proposiciones que afirman la existencia de relaciones entre clases. Si estudiamos la lógica de clases en este punto, no es sólo en cuanto ampliación de la lógica proposicional, sino en cuanto enlace con la lógica tradicional y su doctrina central: el silogismo.

6.4.2. La noción de “clase”

Se entiende por “clase” una agrupación de individuos de cualquier tipo (personas, animales. letras, números…) que tienen en común una propiedad, por la cual se les identifica como miembros de ella. La clase “letras de esta página” es el conjunto de los signos escritos en este folio y que tienen la propiedad de ser letras. Así, los términos “clase” y “propiedad” están estrechamente relacionados: a toda propiedad le corresponde una clase, y a toda clase le corresponde, al menos, una propiedad; una propiedad delimita o define una clase.

Las propiedades, en sí mismas, son una parte de la realidad. El ser rojo es una característica física de la lámpara que ilumina mi ordenador, donde escribo. Bajo esta perspectiva real, no es objeto de la lógica, pues ésta no investiga lo que es el color. Pero esa propiedad de la lámpara es simbolizada en nuestro pensamiento, en predicados de las cosas. Y en cuanto predicados las propiedades de la lámpara sí interesan a la lógica.

En cuanto a la relación de la noción de predicado con la de proposición aquel es una parte de ésta (desde el punto de vista lógico). Gramaticalmente suele tomar la forma de un nombre común, o de un adjetivo (la distinción no tiene relevancia lógica). Pero también podemos tratar como predicados a los verbos; así, en “todos los buenos opositores estudian a fondo los temas de la oposición” podemos considerar el “estudian a fondo los temas de la oposición” como un predicado. Normalmente, es posible reformular estas proposiciones de modo que el predicado aparezca bajo la forma de un sustantivo o adjetivo.

En todo caso, el predicado no es una proposición; carece, por ejemplo, de la característica esencial de las proposiciones: la de ser verdaderas o falsas. Pero el predicado no es verdadero o falso; pero se predica de unos objetos con verdad y de otros con falsedad. El predicado “español” se predica con verdad de Laín Entralgo, pero se predica con falsedad de Emmanuel Lévinas.

Visto lo cual, consideramos una clase como el conjunto de aquellos objetos a los que se atribuye con verdad un predicado. Pero al margen de nuestro pensamiento los objetos no forman clases. Sólo existe clase cuando previamente existe una clasificación, una operación mental por la que, atendiendo a determinadas semejanzas entre objetos, los designamos con un mismo símbolo. Los objetos, por sí mismos, no constituyen clases.

6.4.3. El uso de las clases en la lógica

Como fácilmente puede verse, la noción de clase se corresponde con la de denotación de un término (o predicado). Lo que interesa a la lógica no es lo que un predicado connota, es decir, su significado, sino lo que un predicado denota, es decir, el conjunto de objetos de los que puede predicarse con verdad. Del predicado “perro”, por ejemplo, a la lógica no le interesan las características de mamífero de la familia de los cánidos, etcétera, sino simplemente que la atribución correcta de ese predicado delimita un conjunto de objetos que guarda determinadas relaciones de inclusión con otros conjuntos, como el de los mamíferos, los animales, etcétera.

Ello equivale a decir que en la lógica de clases se emplean los predicados extensionalmente (“extensión” de un término es lo mismo que “denotación”). Si decimos, por ejemplo, que los lobos se incluyen entre los mamíferos, es obvio que no queremos decir que el predicado “lobo” forme parte de la connotación de “mamífero”, sino que la denotación de “lobo” es una parte de la denotación de “mamífero”. Ambos aspectos se hallan generalmente en relación inversa: cuando la denotación de A incluye a la de B, es generalmente porque la connotación de B incluye a la de A.

Puesto que tomamos los términos extensionalmente, consideraremos que dos clases son idénticas cuando contengan los mismos objetos, aunque los predicados que las designan tengan diferente connotación. Así, consideraremos idénticas las clases denotadas por los predicados “hombre” y “animal capaz de religión”, aunque las connotaciones de ambos predicados sean obviamente distintas.

6.4.4. El cálculo de clases

a) Las variables de clase

Del mismo modo que en la lógica proposicional, la mejor manera de formalizar la lógica de clases consiste en la construcción de un cálculo adecuado. Para ello comenzaremos por introducir los elementos básicos del cálculo, es decir, los símbolos primitivos.

La primera clase de símbolos primitivos la constituyen las variables de clase, que juegan dentro de la lógica de clases el mismo papel que en la lógica proposicional jugaban las variables de enunciado. Para las variables de clase usaremos las letras: “A “, “B”, “C”, etcétera. Como variables, estas letras representan una clase cualquiera, pero en todo caso una sola clase.

Aunque no sean propiamente variables, introduciremos también dos signos que en ciertos aspectos funcionan corno las variables de clase; son los signos “V” para designar la clase vacía, y “Ù” para designar la clase universal. Por “clase vacía” entendemos toda aquella clase que carece de elementos, es decir, toda aquella clase a la que nada pertenece. Son clases vacías (dentro del universo del discurso de las cosas reales) la clase de los centauros, o la clase de los pájaros que resuelven ecuaciones algebraicas. Por “clase universal” entendemos toda aquella clase a la que pertenecen todos los objetos del universo del discurso de que se trate; por ejemplo, y dentro del universo del discurso de las cosas reales, la clase de los objetos que tienen existencia.

Como se ve, hemos introducido una nueva noción, la de “universo del discurso” que conviene aclarar. Cuando hablamos de relaciones entre clases, y en especial cuando nos refiramos más adelante al complemento de una clase, estamos siempre pensando como trasfondo en un campo determinado de objetos, con respecto al cual tiene sentido hablar de clases y de sus relaciones mutuas. Así, si decimos, por ejemplo, que la clase de los gatos está incluida en la de los félidos, es claro que nos estamos refiriendo a un campo determinado de objetos (en este caso concreto, el de los animales), del que están excluidos los astros, las nubes, los números, etcétera. A veces, ese campo de objetos del que hablamos (el “universo del discurso”) puede extenderse a todos los objetos, existentes o posibles, como en el caso de la metafisica clásica; pero generalmente se limita a un conjunto determinado de objetos: el de los animales, o los seres vivos, o los números, o las formaciones geológicas, etcétera.

Así, pues, tanto la clase vacía como la clase universal deben siempre entenderse referidas al universo del discurso de que se trate. La clase de los leones se alimentan de forraje es vacía en el universo del discurso de los animales actualmente existentes, pero no l_o es en­_ el universo de la zoología fantástica.

b) Complemento de una clase

El complemento de una clase A es la clase de todos los elementos del universo de discurso de que se trate que no pertenecen a A. El símbolo que emplearemos para designar el complemento de una clase es “-“, sobrepuesto a la correspondiente variable de clase, así, Â ­. Por ejemplo, si A representa a la clase de las personas que son padres (es decir, padre o madre), Â representa a la clase de las personas que no han tenido descendencia

c) Conexiones de clases

Podemos poner en conexión o combinar las clases de dos modos, que llamaremos intersección (o producto) y reunión (o suma). Por “intersección” de las clases A y B entendemos una nueva clase C que contiene todos los elementos (y solos los elementos) que pertenecen a la vez a A y a B. Representamos la intersección de clases con el símbolo “Ç”, escrito del modo siguiente: A Ç B. Por ejemplo: si A es la clase de los presidentes de República y B la clase de las personas de sexo femenino, A Ç B será la clase de las mujeres que son presidentes de República.

Por “reunión” de las clases A y B entendemos una nueva clase C que contiene todos los lementos (y solos los elementos) que pertenecen a A o a B (o a ambas a la vez). Representamos la reunión de clases por el símbolo “È”, escrito del modo siguiente:

A È B. Por ejemplo: si A representa a la clase de los obreros y B a la clase de las personas afiliadas a un sindicato, A È B representa a la clase de todas las personas que son obreros o están afliadas a un sindicato (o ambas cosas a la vez).

d) Relaciones entre clases

Las relaciones fundamentales entre clases son la inclusión y la identidad. Todas las demás relaciones, como la de mutua exclusión, etcétera, pueden expresarse gracias a aquellas dos. Decimos de una clase A que está incluida en otra B cuando todos los elementos de A son elementos e B. Se representa por el símbolo “Ì”, colocado del modo siguiente: A Ì B, que se lee: “La clase A está incluida en la clase B”.

De por sí, la inclusión no es incompatible con la identidad. Es decir, “A está incluida en B” no quiere decir que todos los elementos de A son elementos de B y que además hay elementos de B que no son elementos de A. Simplemente, la inclusión afirma la pertenencia de todos los elementos de A a la clase B, y prescinde de toda información ulterior. Por ello, “A está incluida en B” es compatible con “A es idéntica con B “.

Decimos de una clase A que es idéntica con otra B cuando cada elemento de A es elemento de B, y cada elemento de B es elemento de A. El símbolo de la identidad entre clases es “=“, colocado del modo siguiente: A=B, que se lee: “La clase A es idéntica a la clase B”.

Cuando no hay identidad entre clases e interesa subrayar este hecho, empleamos el signo “≠“, colocado así: A ≠ B, que se lee: “La clase A no es idéntica con la clase B”. Por lo tanto, si queremos dar a entender que la clase A está incluida en la B, pero que no es idéntica con ella, podemos hacerlo del modo siguiente:(A Ì B) . (A ≠ B,), donde el símbolo “.“ es el mismo símbolo de conjunción de la lógica proposicional (Ù).

Es importante subrayar que sólo cuando se dan estas relaciones entre clases hay verdaderas proposiciones. Así, “A Ì B” representa la afirmación (o proposición) de que la clase A está incluida en la clase B. Por el contrario, las conexiones de clases no producen aún proposiciones, sino elementos de las proposiciones. Lo veremos inmediatamente, al hablar de las reglas de formación.

e) Conectivas

Para representar las conexiones entre las proposiciones así formadas se emplean los mismos signos conectivos que se utilizaban en la lógica proposicional (Ù= ., Ú, Ø, →, ↔).

f) Reglas de formación

En la lógica de clases encontramos dos niveles de composición, gobernados por dos clases de reglas de formación. La primera clase rige el uso de los símbolos de conexión entre clases, y su cumplimiento lleva a la formación de los términos de clase; mientras que la segunda clase rige el uso de los símbolos de relación entre clases, y su cumplimiento lleva a la formación de expresiones de clase.

He aquí las reglas de formación correspondientes al primer nivel:

1. Las variables de clase son términos de clase.

2. Son igualmente términos de clase el complemento, la reunión y la intersección de las variables de clase. Por lo tanto, son términos de clase: Ā, A È B, A Ç B.

3. Son igualmente términos de clase el complemento, la reunión y la intersección de términos de clase. Por lo tanto, son igualmente términos de clase: Ā Ç (B È C), ((A È B) Ç (A È C))

Las reglas correspondientes al segundo nivel son las siguientes:

1. Si “a” y ‘b “ son términos de clase, “a Ì b” y “a = b” son expresiones de clase.

2. Son igualmente expresiones de clase la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional de expresiones de clase. He aquí en consecuencia algunos ejemplos de expresiones:

A Ì B,(A Ç B) Ì C, (A Ì B) Ú (B Ì C), ((A Ì (B Ì C)) → ((A Ì B) . (A Ì C))

g) Las expresiones universalmente válidas

El papel que en la lógica proposicional desempeñaban las tautologías, lo juegan en la lógica de clases las expresiones universalmente válidas, a las que, como hacemos en la lógica proposicional, denominaremos leyes en el caso de ser particularmente importantes.

Una expresión universalmente válida es aquella que es válida en cualquier universo del discurso que no sea vacío, es decir, en cualquier universo del discurso que contenga algún elemento (incluimos la restricción “en cualquier universo del discurso que no sea vacío” porque en un universo vacío no puede existir sino una clase, a saber, la clase vacía; y, por lo tanto, la misma noción de “expresión de clase” pierde gran parte de su significado). Podemos enunciarlo aún de otra manera: una expresión es universalmente válida cuando da lugar a proposiciones verdaderas siempre que (con referencia a cualquier universo de discurso no vacío) substituyamos las variables de clase por los nombres de cualesquiera clases especiales.

Pongamos un ejemplo: la expresión “A Ì B“ no es universalmente válida, pues aunque es válida, por ejemplo, si interpretamos “A “ como “la clase de los hombres” y “B” como “la clase de los mamíferos”, no lo es con cualquier interpretación (dentro del universo de discurso de los seres vivos, o de los animales). Por ejemplo, no lo es si interpretamos “A” como “la clase de los gasterópodos” y “B” como “la clase de los foraminíferos”. Por el contrario, la expresión “A Ì (A È B)” es válida para cualquier universo de discurso y para cualquier substitución por nombres de clases concretas.

Aunque existen procedimientos para comprobar si una determinada expresión del cálculo de clases es universalmente válida o no, no nos entretendremos en exponerlos.

h) Las leyes del cálculo de clases

A continuación indicamos algunas expresiones universalmente válidas que son particularmente importantes, y que por ello reciben el nombre de leyes del cálculo de clases:

1. Leyes de identidad, de contradicción, de exclusión de tercero:

A = A

A Ç Ā = Ú

A È Ā = Ù

2. Ley de doble negación:

A = ØØA

3. Leyes relacionadas con la identidad:

A Ì A

Ú Ì A

A Ì Ù

4. Leyes de asociación:

((A Ç B) Ç C) = (A Ç (B Ç C))

((A È B) È C) = (A È (B È C))

5. Ley de transitividad:

((A Ì B) . (B Ì C)) → (A Ì C)

6. Leyes de conmutación:

(A È B) = (B È A)

(A Ç B) = (B Ç A)

7. Leyes de tautología:

(A È A) = A

(A Ç A) = A

8. Leyes de distribución:

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

9. Leyes de intersección y reunión:

(A Ç B) Ì A

A Ì (A È B)

10. Leyes de dualidad (o de De Morgan):

Ø(A È B) = ØA Ç ØB

Ø(A Ç B) = ØA È ØB

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[1] Se remite, para complementar, a lo escrito en el tema 5 sobre historia de la lógica y al tema 7 sobre la lógica como sistema formal axiomático. Los tres temas son complementarios y no se repetirá lo que se escribe en cada uno. El capítulo que se dedica a la lógica proposicional de Frege es, estrictamente, aunque breve, el epígrafe que corresponde al tema 5: De la lógica clásica a la lógica simbólica. Sin embargo, se ha considerado oportuno incluirlo aquí, como propedéutica a lo que sigue.

[2] En matemáticas, la función es un término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por Descartes para designar una potencia xⁿ de la variable x. En 1694 Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta hace poco, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán Petar Dirichlet quien entendió la función como una variable y, llamada variable dependiente, cuyos valores son fijados determinados de una forma definida según los valores que se asignen a la variable independiente x, o a varias variables independientes x₁ ,x₂,..,x_n. Los valores, tanto de la variable dependiente, como de las variabIes independientes, son números reales o complejos. La expresión y =f(x), leída “y es función de x” indica interdependencia entre las variables x e y; f(x) se daba normalmente en forma explícita, como f(x)= x² – 3x + 5, o mediante una regla expresada en palabras, como f(x) es el primer entero mayor que x para todos aquellos x sean reales.

[3] Del latín coniunctio-onis. En gramática es la parte invariable de una oración, que denota la relación existente entre dos oraciones (o entre algunos de sus miembros), de tal forma que los une o junta gramaticalmente. En lógica es una conectiva diádica, es decir, que vincula dos fórmulas bien formadas, o dos proposiciones o dos letras proposiciones, de tal forma que esa fórmula es verdadera únicamente cuando los dos miembros conectados son verdaderos, siendo falsa en todos los demás casos (cuando los dos son falsos, o cuando uno de ellos, el que sea, es falso). Se expresa con el signo o conectiva “Ù“, leyéndose como “y”. En la fórmula p Ù p (‘p y q”) pensemos que “p” significa “llueve”, y que “q” significa “me mojo”. De aquí: ‘llueve y me mojo” sólo es verdadero cuando llueve y también me mojo. En la lógica escolástica la llamaban “proposición hipotética”.

[4] Del latín disiunctio-onis, “desunión”. En la lógica formal se refiere a una proposición molecular constituida generalmente por dos (o más) proposiciones atómicas unidas por la letra “o”, simbolizada por el signo “Ú”, por lo que se lee “p o q”. Significa “o p, o q, o ambos”. Una disyunción es lógicamente verdadera cuando al menos uno de sus dos miembros es verdadero, o cuando lo son los dos; sólo es falsa cuando los dos miembros son falsos.

[5] La reductio ad absurdum es también llamada demostración indirecta o por contradicción. Este argumento o regla lógica se basa en tomar como punto de partida unas premisas y la negación de la conclusión de las mismas. Así. si suponemos que “Øp” es verdadero y ello nos lleva a que caigamos en una contradicción, se puede concluir que su contrario, es decir, “p”, es verdadero; es decir, probamos la falsedad de una proposición o unas proposiciones al reducir las premisas de las que partimos a una conclusión que sabemos que es o falsa o contradictoria. Utilizando la regla modus tollendo tollens podemos deducir la negación del antecedente de un condicional cuando sabemos que el consecuente es falso; y sabemos que un condicional únicamente es falso cuando el antecedente es verdadero y su consecuente es falso. Por ejemplo, de la fórmula “p → (q Ù Øq)” -siendo “p” la premisa o hipótesis- podemos deducir Øp (la negación de la premisa), ya que es evidente que (q Ù Øq) es una contradicción; esta es la “ley o regla de reducción al absurdo”. En lenguaje cotidiano lo formulamos así: “Si voy al cine, entonces soy español y no soy español”; ser español y no serlo, simultáneamente, es contradictorio; entonces esta regla nos permite afirmar la negación de la premisa: “no voy al cine”. Aunque también es frecuente que la regla de la reducción al absurdo sólo sirva para probar que un conjunto de fórmulas es inconsistente. Se opone a la demostración del absurdo (se prueba la verdad de un silogismo al probar la falsedad de la contradicción).

[6] Esta línea no lleva número inicial porque es un teorema y, por tanto, no depende de ningún supuesto ni premisa. Al final el signo “/” significa “sustituido por”. El teorema nº 84 es “

[7] Gentzen (1934) Cf. GARRIDO, Manuel, Lógica simbólica, Tecnos, Madrid ⁴2005, p. 97 y ss.