1. Presentación e xustificación:
Presentación:
Vou a describir a unidade didáctica nº 14 da miña programación para a área de matemáticas de 4º de ESO.
Como se especifica na programación, é unha unidade dirixida a rapaces e rapazas duns 15 anos, o que os sitúa no inicio do pensamento abstracto.
Xustificación:
A unidade titúlase Combinatoria. ¿Por qué se inclúe no programa?
Por unha parte, dende o punto de vista legal, o currículo autonómico indica como contidos a tratar en 4º ESO utilización de distintas técnicas combinatorias na asignación de probabilidades simples e compostas.
Dende un punto de vista teórico, a combinatoria resulta vital para a resolución de problemas probabilisticos e favorece o desenvolvemento de estratexias e razoamentos aplicables á vida cotiá (técnicas de reconto). En relación coas propias matemáticas conceptos como o número combinatorio resultan fundamentais e relaciónanse con moitos outros aspectos como o binomio de Newton.
Secuenciación:
(local) A secuenciación establecida na programación ubícanos a unidade no terceiro trimestre, sendo a segunda unidade do bloque formado polas unidades 13, 14 e 15 que inclúe estatística, combinatoria e probabilidade.
Os contidos das unidades 13 e 14 son requisitos para o estudo da 15 fundamentalmente pola explicación do concepto probabilidade a través do concepto de frecuencia e pola importancia do emprego de técnicas de reconto para a resolución de problemas probabilísticos, de ahí a secuanciación da unidade dentro deste bloque.
(global) Por outra banda, o feito de que as funcións constitúan a base teórica do estudio das distribucións de probabilidade, aínda que ata o bachatrelato non se fai patente, é motivo polo cual é habitual atopar o bloque de estatística ó final de calquera programación de matemáticas para o ensino secundario (falo na pragramación da estructura similar da materia nos diferentes cursos do ensino).
2. Obxectivos didácticos:
Na programación indícanse os obxectivos didácticos da unidade. Nos obxectivos xerais da área de matemáticas do currículo aparece.
Dun xeito máis ampliado, preténdese que ó final da unidade os alumnos logren:
|
Obxectivos da unidade |
|
1. Coñecer os agrupamentos clásicos (variacións, permutacións, combinacións) e as fórmulas para calcular o seu número e aplicalos á resolución de problemas combinatorios. 2. Empregar estratexias de reconto non necesariamente relacionadas cos agrupamentos clásicos. 3. Coñecer os números factoriais e combinatorios e empregalos numérica e alxébricamente. 4. Coñecer e saber desenvolver o binomio de Newton e relacionalo co número combinatorio. |
3. Contidos:
Os contidos da unidade están tamén en relación cos contidos mínimos establecidos no currículo comentados na presentación.
Lístanse tódolos contidos na programación; de forma resumida trataránse: regra do producto, diagramas en árbore, variacións, permutacións, combinacións, números combinatorios e factorial, triángulo de tartaglia e binomio de Newton nos conceptuais. Procedimentais serían o emprego de técnicas de reconto e das técnicas combinatorias para resolver problemas e desenvolvé-lo Binomio de Newton, e actitudinais a valoración da importancia da combinatoria.
4. Metodoloxía:
Na programación insístese en que a metodoloxía será activa e participativa; debemos evitar que o alumno sexa un suxeito pasivo no proceso de EA.
Pedagóxicamente seguíamos os principios constructivistas: partir dos coñecementos previos do alumno para que constrúa os novos có profesor como guía.
Seguirase o esquema de actividades suxerido na programación, con actividades de intruducción, de desenvolvemento, de reforzo, ampliación e de síntese.
Antes de concretar as actividades previstas para o desenvolvemento da unidade, comentarei algunhas consideracións metodolóxicas de caracter xeral:
Comezamos coas actividades de introducción para practicar técnicas de reconto e agrupamento que os alumnos poden coñecer, é importante empregar diagramas en árbore, moi importantes para a análise dos experimentos da unidade seguinte. A través da regra do producto poden falarse das variacións con e sen repeticións destacando exemplos coñecidos como o número de formas de cubriri unha quiniela, posteriormente permutacións e combinacións con máis exemplos.
Realizaranse numerosos exercicios para a identificación da técnica combinatoria máis adecuada e o cálculo correcto, tamén aprenderán a usar a calculadora como ferramenta para a combinatoria (unha das funcións menos coñecidas)). Cando a destreza sexa a adecuada entraremos, en relación coas combinacións, coas propiedades do número combinatorio e do factorial. Traballaranse con exercicios as súas propiedades e o seu cálculo. E relacionaremolo có desenvolvemento do binomio de Newton e co triángulo de Pascal.
Sobre os recursos que empregaremos, ademais do material común de aula, do foro da asignatura e o email, empregarase a calculadora científica para o cálculo de combinacións, pertutacións…,. Actividades de ampliación (problemas famosos como As pontes de Konigsberg ou as permutacións con repetición). Links de internet (descartes)
5. Temporalización:
Están previstas 6 sesións para o desenvolvemento da unidade, insistindo en que só se trata dunha estimación flexible, suxeita a cambios segundo o ritmo de aprendizaxe da clase ou imprevistos e necesidades que poidan xurdir.
Describimos a continuación como se planificará cada sesión, indicando a metodoloxía, os recursos empregados e as actividades seleccionadas.
Links:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/practica/index.html
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/practica/calcula12.html calculadora para combinatoria
http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm
hojas de cálculo para cálculo combinatorio
Sesión 1:
A primeira sesión dedicarase ás actividades de introducción. Como xa se apuntou o obxectivo é avaliar e activar os coñecementos previos dos alumnos e motivar os contidos da unidade.
As actividades de introducción seleccionadas están pensadas para o traballo en grupos de 2 a 4 alumnos.
A primeira é unha actividade de motivación onde se amosa a importancia de empregar técnicas para facilitar os recontos. Continuamos con outra actividade na que se contan tódolos videos que poderíamos subir a youtube (realidade cercana ós alumnos) e se deben calcular por variacións. Continuamos con actividades de avaliación inicial e repaso na que os alumnos deben tratar de empregar técnicas de reconoto básicas.
Sesión 2
Continuamos con actividades de desenvolvemento. Realizaremos máis exercicios empregando técnicas de reconto; o profesor guiará máis o comenzo amosando as técnicas principais (regra do producto e diagramas en árbore) deixándolles máis autonomía ós alumnos cando amosen máis destreza.
Sesión 3:
Comezamos a traballar as variacións e as variacións con repetición a partires da regra do producto. Practicanse exercicios e poñemos exemplos destacados. Se o ritmo de aprendizaxe é bo, falamos xa das permutacións como un caso particular das variacións e do número factorial. E posteriormente falamos das combinacións con exemplos e exercicios, e definimos o número combinatorio.
Sesión 4:
Corrección de exercicios. Practicarase con a calculadora como ferramenta para o cálculo de combinacións e variacións. Traballarase coas propiedades do número combinatorio e o relacionamos có triángulo de pascal e o binomio de newton. Exercicios para finalizar na casa.
Sesión 5:
Corrección de exercicios. Se o ritmo é adecuado pódemos adicarlle tempo na aula de informática a certos enlaces matemáticos de interese, como follas de cálculo que son ferramentas para a combinatorio, a unidade do proxecto descartes… Proporemos exercicios de ampliación para os alumnos máis avanzados (exercicios que requiran de estratexias máis avanzadas, problemas famosos coma o dos pontes de Konigsberg…).
Sesión 6:
A última sesións adicaranse á corrección dos exercicios propostos e de exercicios de síntese, que incluirán varios apartados onde se pregunten cuestións que abarquen tódolos contidos traballados, acompañándose a resolución deles cunha breve explicación de cada un deles que sirva de repaso esquemático.
6. Interdisciplinaridade e Transversalidade:
Interdisciplinaridade:
Comentaba na programación que resulta interesante manter contacto con outros departamentos didácticos para tratar de dar unha visión global do coñecemento na medida do posible.
Relación con: xenética.
Informática: ver proxecto descartes.
Transversalidade:
Como se indica na programación, a transversalidade na área de matemáticas faise patente esencialmente nos contextos dos exemplos e dos problemas plantexados. Así, as actividades de introducción permiten traballar de xeito transversal o uso responsable da páxina de videos youtube. Situacións que xurdan na convivencia diaria tamén darán pe a contidos transversais, algún problema con contexto de casinos sobre as apostas…
7. Atención á diversidade:
Á hora de planificar a unidade debemos tiveronse en conta as diferencias individuais. Por unha parte os exercicios están secuenciados en niveis de dificultade crecente para que cada alumno poida traballar ó seu propio ritmo. Así haberá:
|
Cada alumno traballará ó seu propio ritmo, escalonándose a dificultade dos contidos e as actividades da unidade en tres niveis: |
||
|
Primeiro Nivel |
Segundo nivel |
Terceiro nivel |
|
Exercicios sinxelos que requiran do uso de tecnicas de reconto ou do uso directo das fórmulas estudadas. Traballo simple con números factoriais e combinatorios. |
Exercicios que combinen diferentes técnicas ou que teñan algún punto que complique a obtención do resultado. Traballo coas propiedades dos números combiantorios, ecuacións con factoriais e combinatorios. Exercicios de desenvolvemento do binomio de newton. |
Exercicios que requiran da elaboración de estratexias persoais ou traballo máis complexo con técnicas combinatorias. |
Ademais lembro que na aula tiñamos un alumno estranxeiro e unha alumna superdotada.
Para o alumno estranxeiro a estas alturas de curso xa coñerecemos a existencia ou non de dificultades co idioma, e probablemente, de existir, sexan menores a final de curso.
Para a alumna superdotada, se ten un ritmo de traballo adecuado, e para calquera outro alumno que poida amosar habilidades e capacidades, teranse previstas actividades de ampliación (exercicios que requiran de estratexias persoais, exercicios de ampliación e de olimpiada, búsquedas en internet de biografías de autores problemas históricos coma a dos pontes de Konisgberg)..
Tamén haberá actividades de reforzo para alumnos con menor ritmo de aprendizaxe. Para esta unidade, básicamente, consisten en exercicios que insisten nos contidos máis básicos da unidade.
O libro de texto e material do departamento serán tamén unha fonte de exercicios e actividades de reforzo e ampliación se é necesario ou queremos atopar máis das previstas.
8. Avaliación:
Lembro que hai tres etapas de avaliación: a inicial, a continua e a final.
As actividades de introducción e os exercicios máis básicos servirán como avaliación inicial.
A avaliación continua supón a observación de o desenvolvemento de tódalas actividades, do traballo e do esforzo dos alumnos. Débense anotar os datos observados na folla de seguimento coas observacións pertinentes. Se a través da avaliación continua podemos detectar algunha necesidade imprevista, estableceranse as modificacións na planificación que se consideren oportunas. Asi mesmo, a avaliación continua dos alumnos permitiranos proporcionarlles ós alumnos os exercicios máis adecuados ó seu ritmo de aprendizaxe.
A avaliación final virá dada pola proba escrita con contidos das unidades 14 e 15. Nela o alumno resolverá exercicios relacionados cos criterios de avaliación e os obxectivos didácticos, similares (pero nunca iguais) ós traballados na clase.
|
Criterios de avaliación |
|
1. Resolver problemas de agrupamento coas técnicas estudadas ou con estratexias novas. 2. Calcular permutacións, variacións e combinacións e recoñecer aqueles problemas onde se deben aplicar. 3. Operar con números combinatorios e factoriais. 4. Desenvolver o binomio de Newton. |
Os exericicios que se inclúan no exame terán relación cos criterios de avaliación.
Adxunto exemplos de exercicios relacionados con cada un dos criterios de avaliación:
9. Conclusión
Para finalizar insisto en que esta unidade didáctica constitúe unha planificación flexible que nos servirá de guía e orientación para o seu desenvolvemento na aula. As diferentes necisidades, posibles imprevistos, a avaliación do ritmo de aprendizaxe… permitirán incluir as modificacións que consideremos oportunas na metodoloxía e o deseño de actividades e na temporalización.