Funcións elementais

1. Presentación e xustificación:

Presentación:

Vou a describir a unidade didáctica nº 11 da miña programación para a área de matemáticas de 4º de ESO.

Como se especifica na programación, é unha unidade dirixida a rapaces e rapazas duns 15 anos, o que os sitúa no inicio do pensamento abstracto.

Xustificación:

A unidade titúlase Funcións elementais. ¿Por qué se inclúe no programa?

Por unha parte, dende o punto de vista legal, o currículo autonómico indica como contidos a tratar en 4º ESO estudo das funcións polinómicas de primeiro e segundo grao, das funcións expoñenciais e de proporcionalidade inversa sinxelas.

Dende un punto de vista teórico, as funcións elementais constitúen un modelo sinxelo e manexable de infinidade de procesos e fenómenos en tódolos ámbitos do coñecemente (economía, socioloxía, física, química, bioloxía…) polo que se considera esencial o seu estudo. Os alumnos que continuen cursando o Bacharelato deberán enfrontarse á representación gráfica de funcións xerais, para o que é importante que xa estean familiarizados coas funcións máis básicas.

Secuenciación:

(local) A secuenciación establecida na programación ubícanos a unidade ó final do segundo trimestre, despois da unidade 10 na que se fala do concepto de función e as súas caracterísitcas gráficas de xeito global, de modo que teremos que adicar menos tempo á introducción gracias ó traballo adiantado na 10: a unidade 11 supón a concreción dos contidos da unidade 10 para funcións elementais coñecidas. Tras a unidade 11 estudiaranse, funcións máis complexas como a expoñencial e a logarítmica (coas propiedades dos expoñenciais e dos logaritmos) na unidade 12.

(global) Falando de forma máis global, o bloque de funcións secuénciase tras o bloque de alxebra, pois covén ter estudiadas as propiedades dos números, as operacións e as ecuacións para afrontar con máis armas a análise.

Por outra banda, o feito de que as funcións constitúan a base teórica do estudio das distribucións de probabilidade, aínda que ata o bachatrelato non se fai patente, é motivo polo cual é habitual atopar o bloque de estatística ó final de calquera programación de matemáticas para o ensino secundario (falo na pragramación da estructura similar da materia nos diferentes cursos do ensino).

2. Obxectivos didácticos:

Na programación indícanse os obxectivos didácticos da unidade. Obxectivos DCB!. Preténdese que ó final da unidade os alumnos logren:

Obxectivos da unidade

1. Identificar funcións polinómicas 2. Coñecer as propiedades da función afín e dominar o seu manexo e representación gráfica. 3. Coñecer as propiedades das funcións cadráticas e dominar o seu manexo e representación gráfica. 4. Coñecer as propiedades das funcións radicais e de proporcionalidade inversa e a súa representación gráfica. 5. Comprender a diversidade de situacións reais nas que aparecen as funcións polinómicas, radicais e de proporcionalidade inversa. 6. Resolver problemas de funcións polinómicas, radicais e de proporcionalidade inversa aplicadas á vida real.

3. Contidos:

Os contidos da unidade están tamén en relación cos contidos mínimos establecidos no currículo comentados na presentación: estudo das funcións polinómicas de primeiro e segundo grao, das funcións expoñenciais e de proporcionalidade inversa sinxelas.

De xeito resumido, os contidos versan sobre as funcións liñais, afíns, cadráticas, polinómicas sinxelas, radicais e de proporcionalidade inversa, as súas apliacións e o seu estudo gráfico.

4. Metodoloxía:

Na programación insístese en que a metodoloxía será activa e participativa; debemos evitar que o alumno sexa un suxeito pasivo no proceso de EA.

Pedagóxicamente seguíamos os principios constructivistas: partir dos coñecementos previos do alumno para que constrúa os novos có profesor como guía.

Seguirase o esquema de actividades suxerido na programación, con actividades de intruducción, de desenvolvemento, de reforzo, ampliación e de síntese.

Antes de concretar as actividades previstas para o desenvolvemento da unidade, comentarei algunhas consideracións metodolóxicas de caracter xeral:

Esta unidade concreta os conceptos traballados na anterior para as funcións máis básicas. Esta unidade ten un esquema peculiar, como se constara de uniades didácticas máis pequenas: unha para cada tipo de función. Así comezaremos na primeira sesión con actividades de introducción para motivar as funcións que se van estudar e nas seguintes adicaráselle o tempo necesario a cada unha delas, comezando co estudo da afín e liñal, continuando coa cuadrática, a súa inversa e finalizando coa de proporcionalidade inversa. Por último faranse exercicios de síntese e repaso onde se inclúan tódalas funcións estudiadas e se relacionen entre si.

Sobre os espazos e recursos que empregaremos, ademais do material común de aula, do foro da asignatura e o email, empregarase a calculadora científica para a evaluación de funcións ¿links e audiovisuais?.

5. Temporalización:

Están previstas 7 sesións para o desenvolvemento da unidade, insistindo en que só se trata dunha estimación flexible, suxeita a cambios segundo o ritmo de aprendizaxe da clase ou imprevistos e necesidades que poidan xurdir.

Describimos a continuación como se planificará cada sesión, indicando a metodoloxía, os recursos empregados e as actividades seleccionadas.

Sesión 1-2:

A primeira sesión dedicarase ás actividades de introducción. Como xa se apuntou o obxectivo é avaliar e activar os coñecementos previos dos alumnos e motivar os contidos da unidade.

As actividades de introducción seleccionadas están pensadas para o traballo en grupos de 2 a 4 alumnos.

As actividades de introducción seleccionadas, nas que se chega a través do análise de situacións reais ás funcións obxecto de estudo, poderemos concretar o que os alumnos coñecen acerca das devanditas funcións. A primeira actividade permite obter a función de proporcionalidade (a liñal) a través dunha proposta de análise do precio das laranxas en función da cantidade. A segunda permite introducir a función afín a través do diñeiro que gaña un vendedor a comisión, e está contextualizada de xeito que permita traballar de xeito transversal as vantaxes e as desvantaxes entre as opcións de estudiar ou traballar.

A terceira actividade motiva a función cuadrática con cuestións acerca do funcionamento das coñecidas antenas parabólicas, unha das aplicacións máis coñecidas e interesantes das parábolas.

Rematamos a motivación e a avaliación inicial con exemplos nos que a función de proporcionalidade inversa serve de modelo: a relación entre o número de viaxes e a capacidade de carga e a Ley de Boyle-Mariotte.

A través de exemplos simplificados e aproveitando os coñecementos previos sobre rectas e funcións sinxelas os alumnos deben ir obtendo representacións gráficas de funciós afins, cadráticas… O profesor aportará o rigor necesario e o estudo xeral dos diferentes tipos de funcións. É importante suliñar para cada función algunha situación real nas que aparezan para que o grupo perciba a importancia deste campo en tódalas ramas das ciencias naturais e sociais.

Sesión 2

Comezamos as actividades de desenvolvemento traballando as funcións afín e liñal. Os alumnos xa coñecen o que é unha recta, as súas ecuacións e a representación gráfica. De xeito participativo, para asegurar que o grupo lembra os conceptos necesarios, con exemplos no encerado, centrarémonos de novo sobre a ecuación punto pendente e o concepto de pendente.

Os exemplos consistirán na representación dunha recta a partires da súa expresión analítica, e na obtención das ecuacións da recta coñecendo dous puntos ou un punto e a pendente, obtención de puntos importantes (corte cos eixos e intersección entre dous rectas; avaliación do valor da función para puntos e obtención do valor de x para o que a función tomará un valor y).

Introcudiranse exemplos novos para os alumnos, como funcións construidas con anacos de rectas. Pode falarse da función parte enteira e dalguha función que sirva de modelo para situacións reais:

EXEMPLO: Tratar de construir unha función que represente a seguinte situación: Temos un cazo con auga a 20ºC. Calentamos a auga de modo que a temperatura da auga sube de xeito constante ata alcanzar os 100ºC tras 8 minutos. Nese momento a auga comeza a ferver e o líquido que queda no cazo mantense constante a 100ºC.

A realización da actividade permite comprobar a capacidade que terán os alumnos para relacionar as funcións coas gráficas e a interpretación dos modelos reais que representen.

Trataremos de introducir multitude de aplicacións prácticas das funcións afín e liñal, e relacionala con outras materias como física (espacio recorrido por un móbil a velocidade constante).

Se o coñecemento sobre estas funcións é o adecuado, non lle dedicaremos máis sesións a estas funcións en exclusiva, pois volverán a aparecer en máis exercicios da unidade e xa se lle adicou tempo en xeometría.

Sesión 3:

Comezaremos a traballar coa función cadrática. Enganchando có exemplo da antena parabólica introducimos a súa gráfica (tamén lles debería soar doutros cursos).

Relacionaremos con outras áreas a función cuadrática (espacio recorrido por un móbil con aceleración constante, caida libre dun corpo (como apliación traxectoria dun proxectil lanzado con velocidade inicial v e ángulo alpha).

De novo aplicaremos conceptos coñecidos da unidade anterior como o cálculo de punto de cortes, a avaliación da función, a avaliación do valor que debe ter a abscisa para un certo valor da ordenada…

Traballaremos con diferentes exemplos para comprobar cómo varía a gráfica ó cambiar os coeficientes (signo e valor absoluto de a…). Cálculo do vértice. Identificación das características (crecemento e decrecemento, como apmpliación concavidade e convexidade)

Se da tempo pódense facer exercicios que combinen parábolas e rectas para calcular as súas interseccións e posicións relativas e representalas no mesmo sistema de coordenadas. Estes exercicios remataránse na casa.

Sesión 4:

Resolución grupal dos exercicios propostos. É importante detectar os alumnos que non haxan entendido os conceptos para insistir neles. Hai exercicios de reforzo previstos para eles insistindo nos conceptos de rectas e parábolas).

Adicaráselle o tempo necesario á aclaración dos conceptos sobre a función cadrática. Se o ritmo de aprendizaxe é bo, al menos para algúns alumnos, introdúcense as funcións polinómicas de terceiro grao e de grao máis xeral (poden relacionarse con fórmulas xeométricas de áreas e volumes.

Falaremos cando sexa posible da función inversa da cuadrática, relacionandoa có cálculo da raiz cuadrada, falando das particularidades dos signos (unha soa rama). A través dun exercicio sobre un péndulo faremos o estudio desta función ó tempo que se introducen aplicacións prácticas.

Sesión 5:

Falaremos da función de proporcionalidade inversa lembrando os exemplos das actividades de introducción (relación nº de viaxes-capacidade de carga, Lei de Boyle-Mariotte (interdisciplinaridade química). Falaremos das asíntotas e outras particularidades da gráfica. Avaliación da función en puntos e “avalaición inversa” e resolvemos exercicios da función inversa e radical.

Observa o que ocorre no seguinte experimento:

http://perso.wanadoo.es/cpalacio/boyle2.htm

(fai os exercicios de avaliación (estudio das funcións de proporcionalidade inversa)).

Unha vez vistas a hiperbola e a parábola pode falarse, se o ritmo de aprendizaxe é alto, das cónicas. Unha boa maneira de resumir este contido de ampliación é a través do video da serie “Más por Menos”: Cónicas, del baloncesto a las cometas, onde se falan de xeito atractivo das propiedades das formas, maneiras de construilas e aplicacións na vida real (sesión 6).

Sesións 6-7:

(Meter sesión na aula de informática para uso del geogebra e derive para a comprobación de exercicios feitos na clase e reforzo educativo), representacións de rectas de diferentes formas, sinalar puntos de intersección, de outras funcións, cambio de escala.

As dous últimas sesións adicaranse á corrección dos exercicios propostos e de exercicios de síntese, que incluirán varios apartados onde se pregunten cuestións que abarquen tódolos contidos traballados, acompañándose a resolución deles cunha breve explicación de cada un deles que sirva de repaso esquemático. Exercicios de identificación de gráficas para asocialas á función correspondente e viceversa, de representación nun mesmo sistema de coordenadas de diferentes funcións dun xeito adecuado.

6. Interdisciplinaridade e Transversalidade:

Interdisciplinaridade:

Comentaba na programación que resulta interesante manter contacto con outros departamentos didácticos para tratar de dar unha visión global do coñecemento na medida do posible.

Relación con: física e química (mecánica, péndulo, proxectil, boyle-mariotte)

Informática: representación a través do Derive e GeoGebra

Transversalidade:

Como se indica na programación, a transversalidade na área de matemáticas faise patente esencialmente nos contextos dos exemplos e dos problemas plantexados. Así, as actividades de introducción permiten traballar de xeito transversal temas como a educación para o consumo e estudo dos precios (1º), temas como o transporte, orientación laboral, uso responsable da televisión.

7. Atención á diversidade:

Á hora de planificar a unidade debemos tiveronse en conta as diferencias individuais. Por unha parte os exercicios están secuenciados en niveis de dificultade crecente para que cada alumno poida traballar ó seu propio ritmo. Así haberá:

Táboa DE EXERCICIOS.

Cada alumno traballará ó seu propio ritmo, escalonándose a dificultade dos contidos e as actividades da unidade en tres niveis:
Primeiro Nivel	Segundo nivel	Terceiro nivel
Exercicios coñecidos de rectas e representación gráfica. Avaliación de funcións en puntos. Resolución de exercicios á vista da gráfica. Representación de funcións cadráticas. Representación simple de funcións radicais e funcións hiperbólicas.	Representación de funcións no mesmo sistema coordenado. Interpretación de resultados. Estudio de funcións definidas a anacos.	Resolución de problemas atípicos que requiran de estratexias persoais. Representación de funcións algo máis complexas do tipo estudado. Representación de funcións polinómicas sinxelas de grao superior

Ademais lembro que na aula tiñamos un alumno estranxeiro e unha alumna superdotada.

Para o alumno estranxeiro a estas alturas de curso xa coñerecemos a existencia ou non de dificultades co idioma, e probablemente, de existir, sexan menores a final de curso.

Para a alumna superdotada, se ten un ritmo de traballo adecuado, e para calquera outro alumno que poida amosar habilidades e capacidades, teranse previstas actividades de ampliación (exercicios que requiran de estratexias persoais, exercicios de ampliación, actividades de internet.

Tamén haberá actividades de reforzo para alumnos con menor ritmo de aprendizaxe. Para esta unidade, básicamente, consisten en exercicios que insisten nos contidos máis básicos da unidade ou en aqueles que poidan resultar máis controvertidos (como probabilidade condicionada).

O libro de texto e cadernos de exercicios do departamento serán tamén unha fonte de exercicios e actividades de reforzo e ampliación se é necesario ou queremos atopar máis das previstas.

8. Avaliación:

Lembro que hai tres etapas de avaliación: a inicial, a continua e a final.

As actividades de introducción servirán como avaliación inicial (ACTIVIDADE 1). A observación do traballo e das dúbidas que xurdan os primeiros días permitirannos detectar posibles lagunas ou carencias que non se observaran inicialmente.

A avaliación continua supón a observación de o desenvolvemento de tódalas actividades, do traballo e do esforzo dos alumnos. Débense anotar os datos observados na folla de sguimento coas observacións pertinentes. Se a través da avaliación continua podemos detectar algunha necesidade imprevista, estableceranse as modificacións na planificación que se consideren oportunas. Asi mesmo, a avaliación continua dos alumnos permitiranos proporcionarlles ós alumnos os exercicios máis adecuados ó seu ritmo de aprendizaxe.

A avaliación final virá dada pola proba escrita con contidos das unidades 10 e 11, na que o alumno resolverá exercicios relacionados cos criterios de avaliación e os obxectivos didácticos, similares (pero nunca iguais) ós traballados na clase.

CRITERIOS:

Criterios de avaliación

1. Representar gráficamente funcións afíns, cadráticas, radicais e de proporcionalidade inversa. 2. Identificar as características principais das funcións estudadas (pendente e ordenada na orixe dunha función afín, asíntotas da de proporcionalidade inversa…). 3. Resolver problemas onde interveñan as funcións estudadas na unidade.

Modelos de exercicio

9. Conclusión

Para finalizar insisto en que esta unidade didáctica constitúe unha planificación flexible que nos servirá de guía e orientación para o seu desenvolvemento na aula. As diferentes necisidades, posibles imprevistos, a avaliación do ritmo de aprendizaxe… permitirán incluir as modificacións que consideremos oportunas na metodoloxía e o deseño de actividades e na temporalización.