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Unidad didáctica relacionada con la recta numerica

Santiago

1. INTRODUCCIÓN

1.1. CONTEXTO EDUCATIVO

La unidad didáctica que se desarrolla a continuación está dirigida a los alumnos del Bachillerato Tecnológico del Instituto de Educación Secundaria Obligatoria Doctor Fleming de Oviedo de la clase 2º N.

En realidad, se trata de un grupo reducido de 8 alumnos pertenecientes 3 de ellos al turno de tarde de 1º de Bachillerato y el resto al 2º curso de Bachillerato nocturno. Se encuentran reunidos en la misma clase ya que la programación de matemáticas de ambos cursos coincide en sus contenidos.

Los alumnos muestran una actitud tolerante y participativa. Su atención e interés contribuyen al desarrollo fluido de la clase.

1.2. PLANTEAMIENTO TEÓRICO

Según el currículo oficial de matemáticas, este unidad didáctica se ubica en el bloque de Geometría de 1º de Bachillerato, en el apartado “Ecuaciones de la recta en el plano” de Matemáticas I*.

En anteriores unidades didácticas, se ha estudiado las razones trigonométricas de los ángulos y los vectores en el plano, de forma que como conocimientos previos es importante que el alumno recuerde:

– la tangente de un ángulo.

– las operaciones de vectores en el plano (suma, producto externo,…)

– combinación lineal de vectores.

En el ANEXO II se expone todo el desarrollo teórico de la clase.

2. DESARROLLO

2.1. OBJETIVOS

El objetivo general del tema es que el alumno obtenga un buen conocimiento de la geometría de la recta en el plano, así como los distintos modos de expresar una recta en forma de ecuación.

Como objetivos específicos de esta Unidad Didáctica se pueden citar los siguientes:

Ø Objetivos de reconocimiento y comprensión:

a. Definir y comprender que se entiende por determinación lineal.

b. Reconocer las distintas formas de determinar una recta.

c. Definir la inclinación y la pendiente de una recta.

d. Definir y comprender el concepto de ecuación lineal.

e. Conocer las distintas formas de expresar la ecuación de una recta.

f. Transformar entre sí las expresiones de la ecuación de una recta.

g. Definir la ordenada en el origen

Ø Objetivos de aplicación:

h. Obtener la pendiente de una recta dada en forma gráfica, algebraica o por medio de dos puntos.

i. Calcular la ecuación de una recta dados 2 puntos, un punto y un vector o un punto y la pendiente.

j. Comprobar si un punto pertenece a una recta.

k. Determinar los puntos de corte de una recta con lo ejes coordenados.

l. Determinar la ordenada en el origen de una recta dada en forma algebraica.

2.2. CONTENIDOS

Ø Conceptuales:

– Determinación lineal. Pendiente de una recta. Ecuación de la recta. Puntos de corte con los ejes.

Ø Procedimentales:

– Identificación de las distintas formas de determinar una recta.

– Obtención de la pendiente de una recta a partir de diferentes datos.

– Determinación de la ecuación de una recta en sus diferentes formas.

– Transformación de la ecuación de la recta de una forma a otra.

– Cálculo de los puntos de corte de la recta con los ejes, la ordenada en el origen.

Ø Actitudinales:

– Interés por las distintas maneras de obtener la ecuación de una recta y sentido crítico en la elección del mejor método de resolución.

– Asistencia y comportamiento.

– Realización del examen.

2.3. METODOLOGÍA

Esta Unidad didáctica ha sido programada para ser impartida en tres sesiones de 50 minutos:

– 1ª sesión: Consistirá en la exposición de los contenidos por parte del profesor y la realización de actividades de apoyo para la consolidación de los conocimientos. En este aspecto se requerirá la participación del alumnado para verificar así la correcta comprensión.

En el ANEXO I detallamos el desarrollo teórico que vamos a explicar con los correspondientes ejemplos. Para facilitar al alumno el estudio se entregara un esquema de todas las transformaciones posibles de la ecuación de la recta (ver ANEXO III).

– 2ª sesión: En la que realizaremos una prueba escrita con el fin de evaluar los conocimientos adquiridos por el alumno y si se han alcanzado los objetivos deseados. Para ello, preguntaremos de diferentes formas el mismo contenido.

– 3ª sesión: Resolución del examen en la que se revisarán los aspectos en los que los alumnos hayan encontrado mayor dificultad con el fin de aclarar todas las dudas existentes.

2.4. EVALUACIÓN

A nivel general, la evaluación debe ser continua e individualizada y requiere valorar tanto el resultado de las pruebas orales y escritas realizadas como la actitud de los alumnos dentro del aula.

Ahora bien, debido a que esta unidad didáctica se diseño para ser impartida en solo tres sesiones, la evaluación se centrará fundamentalmente en la realización de una prueba escrita. Se valorará la adquisición de los contenidos específicos y el cumplimiento de los objetivos planteados en el apartado 2.1.

Aunque en menor medida, también se tendrá en cuenta la actitud del alumno durante la impartición del desarrollo teórico: asistencia a clase, comportamiento adecuado, interés, participación…

En el ANEXO II presentamos el modelo de examen que se realizará, donde se especifican los objetivos que se evalúan y la puntuación de cada ejercicio. En la evaluación de esta prueba se valorará:

– la presentación. Valoraremos positivamente una distribución clara y ordenada.

– el proceso. En un ejercicio compuesto por varios apartados relacionados, si hay un error en uno que afecta a los siguientes prevalecerá el razonamiento utilizado frente a los resultados.

– la solución. Si a la hora de corregir el examen, observamos que la solución del problema es confusa, sondearemos al alumno con pequeñas cuestiones para comprobar si realmente tiene claro el objetivo que se preguntaba.

Los errores de cálculo debidos a despistes no serán tenidos en cuenta en gran medida en la calificación, siempre y cuando, no sean fallos reiterados o no contradigan fundamentos teóricos básicos.

Todos estos aspectos están recogidos en los criterios generales de evaluación indicados por el departamento de matemáticas.

3. ANEXO 1: DESARROLLO TEÓRICO DE LA CLASE

Vamos a empezar estudiar las rectas en el espacio. Las rectas tienen gran importancia en muchos problemas geométricos y su comportamiento refleja el de muchos fenómenos o magnitudes que varían de forma lineal (el ejemplo más claro es la velocidad).

q DETERMINACIONES LINEALES DE UNA RECTA

Hablamos de “determinación lineal” cuando utilizamos el mínimo posible de datos para representar una recta en el plano.

Ejemplos de determinaciones lineales son:

– Dos puntos. Porque por dos puntos pasa una y solamente una recta.

– Un punto y un vector. Un vector determina una dirección en el plano, pero existen infinitas rectas, todas paralelas, cuya dirección es la misma que la del vector. Pero si se fija un punto, además de un vector (que se llama vector director), queda determinada una única recta.

PENDIENTE DE UNA RECTA: Es la tangente del ángulo que la recta forma con la dirección positiva del eje de abscisas. Dicho ángulo es la inclinación de la recta y toma valores entre 0 y 180º.

Dada una recta, el vector director y sus componentes forman un triángulo rectángulo en el que se cumple:

Por tanto, podemos decir que son también determinaciones lineales:

– Un punto y la inclinación a. Igual que el vector director , el ángulo a determina la dirección de la recta r y el de todas sus paralelas. Si fijamos un punto determinamos una de esas rectas.

– Un punto y la pendiente m. Ya que a cada ángulo convexo (comprendido entre 0 y 180º) le corresponde una y sólo una tangente se puede determinar la dirección de una recta mediante la tangente de su inclinación.

A partir de cualquiera de estas determinaciones lineales se puede obtener una cualquiera de las otras. Por ejemplo:

 
 

Recordar que aunque una recta tiene infinitos vectores directores diferentes, todos ellos presentan la misma dirección, es decir, tienen la misma inclinación, y sus componentes son proporcionales:

y vectores directores //

EJEMPLO 1. La recta r pasa por los puntos A(-3,-1) y B(2,3). Calcular uno de sus vectores directores y su pendiente.

Solución:

Vector director: = (2 ,3) – (-3,-1) = (5,4)

Pendiente de r:

EJEMPLO 2. La recta s que pasa por el punto P(-2,-1) tiene una pendiente . Hallar las componentes de dos de sus vectores directores y calcular las coordenadas de otro punto de la recta.

Solución:

Vectores directores:

Coordenadas de otro punto:

 
 

Q = (0, 2)

CASOS PARTICULARES

Ø Rectas verticales: La pendiente de una recta paralela al eje de ordenadas no está definida puesto que el ángulo que forman con el eje de abscisas es de 90º y la tangente de 90º no existe. No tienen pendiente.

La dirección de estas rectas se determina mediante su vector director, o mediante su inclinación, a= 90º.

Ø Recta horizontal: Los puntos de una recta paralela al eje de abscisas tienen todos la misma coordenada y, por ello, su pendiente es cero. El ángulo de inclinación se toma a= 0º.

q LA ECUACIÓN DE LA RECTA

“La ecuación de una recta es la expresión matemática de la condición que debe cumplir un punto P(x, y) para pertenecer a dicha recta”.

EJEMPLO 3. Supongamos la recta . ¿Pertenece el punto P(2,1) a la recta r? ¿Y el punto Q(1, 3)?.

Sustituimos los puntos en la ecuación de la recta

A continuación vamos a ver las distintas formas de escribir la ecuación de una recta:

Dada una recta r determinada por el punto A y el vector director .

La condición que debe cumplir un punto P(x, y) para pertenecer a r es que el vector sea proporcional al vector director , es decir, es combinación lineal del vector :

R

l es el parámetro que expresa el número de veces que se ha tomado el vector director para generar el punto P. Cada valor de l genera un punto de la recta. Para l>0 se genera la recta en la dirección y el sentido de y para l<0 se genera en sentido contrario.

Escribiendo la expresión en función de las componentes de los vectores, tenemos:

 
 

Ecuación vectorial de la recta

Por simple desglose de componentes se obtienen:

 
 

Ecuaciones paramétricas de la recta

Como los valores de tienen que ser iguales en ambas expresiones, despejando el parámetro:

Ecuación continua de la recta

Esta expresión indica la proporcionalidad que existe entre el vector y el vector director, es decir, son dos vectores paralelos.

Si en la ecuación continua se multiplica en cruz y se ordena:

Llamando:, y , se tiene:

 
 

Ecuación general de la recta

Despejando y en función de x, se obtiene una ecuación de la forma:

donde el coeficiente de la x coincide con la pendiente de la recta, m, y el término independiente, es el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas y se llama ordenada en el origen, b. Luego,

 
 

y = mx +b Ecuación explícita de la recta

Veamos un caso particular de la ecuación explicita de la recta. Si un punto P pertenece a la recta se cumple:

Restando ambas expresiones se obtiene:

 
 

Ecuación punto-pendiente de la recta

Por otro lado, si en la ecuación general de la recta operamos de la siguiente forma:

 
 

Siendo a y b los segmentos determinados por la recta sobre los ejes de coordenadas. Es decir, la recta corta a los ejes coordenados en los puntos A(a, 0) y B(0, b).

Evidentemente, las rectas que pasan por el origen o son paralelas a los ejes coordenados no admiten ecuación canónica o segmentaria.

EJEMPLO 3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3, 5) y B(5,1) de todas las formas posibles. Y comprobar si el punto C(4, 3) es colineal con A y B.

Vector director: (5 – 3, 1 – 5) = (2, -4)

 
 

Ec. vectorial:

Ec. paramétricas:

 
 

Ec. continua:

– 4 (x – 3) = 2 (y -5)

– 4x + 12 = 2y – 10

– 4x – 2y +22 = 0

 
 

Ec. general: 2x +y -11 = 0

Ec. explícita: y = -2x +11

 
 

Ec. punto-pendiente: y – 5 = -2 (x – 3)

 
 

Ec. canónica :

Sustituimos el punto C(4,3) en cualquiera de las ecuaciones anteriores, por ejemplo en la ecuación explícita, para ver si C pertenece a la recta que determinan A y B:

y = -2x +11 3 = -2·4 +11 3 = 3

Como se cumple la igualdad, A, B y C son colineales.

EJEMPLO 4. Dada la recta r5x – 2y +10 =0, hallar las ecuaciones explícita y canónica.

5x – 2y +10 =0 5x +10 = 2y Ec. explícita

Los puntos de corte con los ejes coordenados: x = 0

y = 0

Ec. canónica:

4. ANEXO II: EXAMEN TIPO

1.- Escribe las ecuaciones paramétricas, continua y general de la recta que pasa por el punto A (3, 2) y que tiene el vector director . Hallar el valor de k para que el punto B(1, k) este alineado con A.

(2 puntos)

(Se evalúan los objetivos de reconocimiento y comprensión b, d, e, f y los objetivos de aplicación i, j)

2.- Determinar la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto A (-2, 7) y tiene igual pendiente que la recta que pasa por los puntos P(2,1) y Q (4, 4).

(2 puntos)

(Se evalúan los objetivos de reconocimiento y comprensión b, c, e y los objetivos de aplicación h, i)

3.- Hallar la forma explícita de la recta y determina la pendiente y la ordenada en el origen.

(2 puntos)

(Se evalúan los objetivos de reconocimiento y comprensión e, f y el objetivo de aplicación i, l)

4.- Calcular la ecuación explícita de la recta que intercepta sobre los ejes cartesianos los segmentos: 2 (sobre el eje X), -3 (sobre el eje Y).

(2 puntos)

(Se evalúan los objetivos de reconocimiento y comprensión e, f y los objetivos de aplicación i,k, h)

4.1. SOLUCIÓN DEL EXAMEN:

1.- Escribe las ecuaciones paramétricas, continua y general de la recta que pasa por el punto A(3, 2) y que tiene el vector director . Hallar el valor de k para que el punto B(1, k) este alineado con A.

 
 

Ec. paramétricas:

 
 

Ec. continua:

-6 (x – 3) = 2 (y – 2)

-6x + 18 = 2y – 4

-6x -2y +22 = 0

 
 

Ec. general: 3x +y -11 = 0

Para calcular el valor de k sustituimos el punto B(1, k) en la ecuación general:

 
 

3 · 1 + k -11 = 0 k = 8

2.- Determinar la ecuación punto- pendiente de la recta que pasa por el punto A (-2, 7) y tiene igual pendiente que la recta que pasa por los puntos P (2,1) y Q (4, 4).

Calculamos el vector director:

La pendiente:

Ecuación punto-pendiente:

4.- Halla la forma explícita la recta y determina la pendiente y la ordenada en el origen:

 
 

Ecuación explícita

Siendo la pendiente m = -3 y la ordenada en el origen b = 11

5.- Calcular la ecuación explícita de la recta que intercepta sobre los ejes cartesianos los segmentos: 2 (sobre el eje X), -3 (sobre el eje Y).

Ecuación canónica:

Operando:

Ecuación explícita:

5. ANEXO III. ESQUEMA RESUMEN

Ecuación vectorial de la recta

       
   
 
 

Separando componentes

Agrupando componentes

Ecuaciones paramétricas de la recta

               
   
   
 

Despejando l

e igualando
     

Igualando a l cada miembro y despejando

 
 
 

Ecuación continua de la recta

               
   
   
       

Identificando coeficientes:

 

Multiplicando

por , siendo /
 
 
 

Ecuación general de la recta

Ecuación punto-pendiente de la recta

Ecuación explícita de la recta

* La asignatura de Matemáticas I se imparte en 1º de Bachillerato tanto en la modalidad de Ciencias de la naturaleza y la Salud como en la modalidad de Tecnología.

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