Xeometría analítica

1. Presentación e xustificación:

Presentación:

Vou a describir a unidade didáctica nº 9 da miña programación para a área de matemáticas de 4º de ESO.

Como se especifica na programación, é unha unidade dirixida a rapaces e rapazas duns 15 anos, o que os sitúa no inicio do pensamento abstracto.

Xustificación:

A unidade titúlase Xeometría analítica. ¿Por qué se inclúe no programa?

Por unha parte, dende o punto de vista legal, o currículo autonómico indica como contidos a tratar en 4º ESO iniciación á xeometría analítica plana. Vectores no plano. A recta no plano.

Dende un punto de vista teórico, a xeometría analítica é unha ferramenta para o cálculo de numerosos problemas xeométricos e é moi útil para a implementación informática de elementos xeométricos, tanto nas matemáticas como en física ou informática.

Secuenciación:

(local) A secuenciación establecida na programación ubícanos a unidade ó comezo do segundo trimestre, continuando o bloque de xeometría analítica precedida polo estudio da semellanza, trigonometría e triángulos. O estudio analítico das rectas require dos contidos desta para o seu desenvolvemento, e o cálculo do ángulo dos vectores e das rectas motivan que a parte de trigonometría apareza antes na programación.

2. Obxectivos didácticos:

Na programación indícanse os obxectivos didácticos da unidade. Obxectivos DCB!. Preténdese que ó final da unidade os alumnos logren:

Obxectivos da unidade

1. Identificar os seguintes elementos xeométricos: punto, recta, circunferencia. 2. Coñecer e manexar as diferentes ecuacións das rectas e a súa xustificación: paramétricas, xeral, explícita e punto pendente. 3. Distinguir as posicións relativas entre un punto e unha recta e dúas rectas diferentes así como as relacións de paralelismo e perpendicularidad. 4. Saber calcular a intersección entre dúas rectas. 5. Poder expresar a ecuación dunha circunferencia dados o centro e o radio. 6. Representar gráficamente puntos, rectas e circunferencias no plano.

3. Contidos:

Os contidos da unidade están tamén en relación cos contidos mínimos establecidos no currículo comentados na presentación

De xeito resumido, os contidos versan sobre as ecuacións da recta, da circunferencia, os procedementos de cálculo e transformación das ecuacións, o cálculo de intersección de rectas e a representación gráfica das situacións xeométricas.

4. Metodoloxía:

Na programación insístese en que a metodoloxía será activa e participativa; debemos evitar que o alumno sexa un suxeito pasivo no proceso de EA.

Pedagóxicamente seguíamos os principios constructivistas: partir dos coñecementos previos do alumno para que constrúa os novos có profesor como guía.

Seguirase o esquema de actividades suxerido na programación, con actividades de intruducción, de desenvolvemento, de reforzo, ampliación e de síntese.

Antes de concretar as actividades previstas para o desenvolvemento da unidade, comentarei algunhas consideracións metodolóxicas de caracter xeral:

Os alumnos xa coñecen certas cuestións sobre rectas e a súa representación gráfica polo estudiado en cursos anteriores e pola interpretación gráfica feita na unidade 3 dos sistemas de ecuacións liñais. Os vectores serán a base teórica para o desenvolvemento da unidade, polo que a avaliación inicial virá dada polo traballado na unidade anterior. É interesante motivar a unidade explicando que calquera problema xeométrico pode resolverse a través da xeometría analítica ainda que poida ser laborioso (para iso están os ordenadores). Ademáis, tódolas implementacións gráficas para ordenador teñen relación directa coa xeometría analitica (xogos en 3D).

Falremos das ecuacións das rectas partindo da caracterización dunha recta mediante un punto e un vector director, obténdose rápidamente a ecuación vectorial. Os alumnos, coa guía do profesor, deberán ir obtendo nas primeiras sesións tódalas ecuacións das rectas. Deste xeito o feito de transformar unhas ecuacións noutras e obter información delas será máis sinxelo para eles. A paramétrica é case inmediata, a través da eliminación do parámetro a continua… os alumnos deben anotar nunha folla as ecuacións para asimilar e relacionar os nomes de cada ecuación e as ideas para realiza-las transformacións. Para cada ecuación explicaremos as súas particularidades (pendente da recta, cortes cos eixos..).

A continuación realizaranse exercicios de obtención e tranformación de ecuacións, e de identificación de propiedades a través das ecuacións.

A unidade continuará co estudo das posicións relativas das rectas, e o cálculo de interseccións e a representación gráfica; se o traballo foi adecuado na unidade de resolución de sistemas non debe supoñer demasiado problema para os rapaces.

Finalizamos sen profundizar na ecuación dunha circunferencia, a relación co centro e o radio e a súa representación gráfica.

Sobre os espazos e recursos que empregaremos, ademais do material común de aula, do foro da asignatura e o email, empregarase a calculadora científica para a evaluación de funcións ¿links e audiovisuais?. Son importantes os útiles de debuxo, compás, regla, papel con entramado de puntos equidistantes (isométrico)

http://www.geometriadinamica.org/

GeoGebra para o estudio de xeometría.

5. Temporalización:

Están previstas 7 sesións para o desenvolvemento da unidade, insistindo en que só se trata dunha estimación flexible, suxeita a cambios segundo o ritmo de aprendizaxe da clase ou imprevistos e necesidades que poidan xurdir.

Describimos a continuación como se planificará cada sesión, indicando a metodoloxía, os recursos empregados e as actividades seleccionadas.

Sesión 1-2:

A primeira sesión dedicarase ás actividades de introducción. Motivación e repaso dos coñecementos previos necesarios.

Podemos comezar coa ecuación vectorial da recta.

Sesión 2

Comezamos as actividades de desenvolvemento traballando as ecuacións da recta a partires da vectorial. Os alumnos, guiados polo profesor, irán obtendo eles mesmos a ecuación paramétrica e eliminarán o parámetro.

Hai que insistir cando se obteña a ecuación continua que relación hai entre ela e o punto e o vector director de partida, e sinalar que é un xeito de obter unha ecuación con eses datos. Poñeranse exemplos para asegurar a comprensión.

Sesión 3:

Continúase coa obtención da ecuación xeral e da punto pendente, centrándonos no estudo e interpretación da pendente como tanxente do ángulo coa horizontal.

Sesión 4:

Obtención da ecuación explícita, e se o ritmo de aprendizaxe é bo e non hai demasiadas dificultades, a ecuación segmentaria relacionándoa cos puntos de corte cos eixos. Práctica de exercicios de representación, obtención de ecuacións e transformación entre ecuacións.

Sesión 5:

de resumir este contido de ampliación é a través do video da serie “Más por Menos”: Cónicas, del baloncesto a las cometas, onde se falan de xeito atractivo das propiedades das formas, maneiras de construilas e aplicacións na vida real (sesión 6).

Sesións 6-7:

(Meter sesión na aula de informática para uso del geogebra e derive para a comprobación de exercicios feitos na clase e reforzo educativo), representacións de rectas de diferentes formas, sinalar puntos de intersección, de outras funcións, cambio de escala.

As dous últimas sesións adicaranse á corrección dos exercicios propostos e de exercicios de síntese, que incluirán varios apartados onde se pregunten cuestións que abarquen tódolos contidos traballados, acompañándose a resolución deles cunha breve explicación de cada un deles que sirva de repaso esquemático. Exercicios de identificación de gráficas para asocialas á función correspondente e viceversa, de representación nun mesmo sistema de coordenadas de diferentes funcións dun xeito adecuado.

6. Interdisciplinaridade e Transversalidade:

Interdisciplinaridade:

Comentaba na programación que resulta interesante manter contacto con outros departamentos didácticos para tratar de dar unha visión global do coñecemento na medida do posible.

Relación con: física e química

Informática: representación a través do GeoGebra

Transversalidade:

Como se indica na programación, a transversalidade na área de matemáticas faise patente esencialmente nos contextos dos exemplos e dos problemas plantexados este tema non da pe a moito traballo transversal polo que os temas virán dados por situacións que poidan xurdir na convivencia diaria.

7. Atención á diversidade:

Á hora de planificar a unidade debemos tiveronse en conta as diferencias individuais. Por unha parte os exercicios están secuenciados en niveis de dificultade crecente para que cada alumno poida traballar ó seu propio ritmo. Así haberá:

Táboa DE EXERCICIOS.

Cada alumno traballará ó seu propio ritmo, escalonándose a dificultade dos contidos e as actividades da unidade en tres niveis:
Primeiro Nivel	Segundo nivel	Terceiro nivel
Obtención de ecuacións de xeito directo dadas diferentes combinacións de datos. Transformación entre ecuacións de xeito directo. Ecuacións de circunferencias de xeito superficial.	Estudo de posicións relativas e interseccións de rectas dadas en calquer forma ou con calquer combinacións de datos. Ángulos coa horizontal, pendente e perpendicularidade.	Distancias entre rectas, entre puntos e rectas, ángulos entre rectas. Exercicios máis elaborados que requiran de estratexias persoais.

Ademais lembro que na aula tiñamos un alumno estranxeiro e unha alumna superdotada.

Para o alumno estranxeiro a estas alturas de curso xa coñerecemos a existencia ou non de dificultades co idioma, e probablemente, de existir, sexan menores a final de curso.

Para a alumna superdotada, se ten un ritmo de traballo adecuado, e para calquera outro alumno que poida amosar habilidades e capacidades, teranse previstas actividades de ampliación (exercicios que requiran de estratexias persoais, exercicios de ampliación, actividades de internet.

Tamén haberá actividades de reforzo para alumnos con menor ritmo de aprendizaxe. Para esta unidade, básicamente, consisten en exercicios que insisten nos contidos máis básicos da unidade ou que supoñan máis dificultades.

O libro de texto e cadernos de exercicios do departamento serán tamén unha fonte de exercicios e actividades de reforzo e ampliación se é necesario ou queremos atopar máis das previstas.

8. Avaliación:

Lembro que hai tres etapas de avaliación: a inicial, a continua e a final.

As actividades de introducción servirán como avaliación inicial (ACTIVIDADE 1). A observación do traballo e das dúbidas que xurdan os primeiros días permitirannos detectar posibles lagunas ou carencias que non se observaran inicialmente.

A avaliación continua supón a observación de o desenvolvemento de tódalas actividades, do traballo e do esforzo dos alumnos. Débense anotar os datos observados na folla de sguimento coas observacións pertinentes. Se a través da avaliación continua podemos detectar algunha necesidade imprevista, estableceranse as modificacións na planificación que se consideren oportunas. Asi mesmo, a avaliación continua dos alumnos permitiranos proporcionarlles ós alumnos os exercicios máis adecuados ó seu ritmo de aprendizaxe.

Criterios de avaliación

1. Calcular as diferentes ecuacións dunha recta dados dous puntos, un punto e un vector director ou a pendente e un punto. 2. Transformar unha ecuación dada dunha recta nos demais tipos de ecuacións. 3. Estudiar a posición relativa e calcular a intersección e entre dúas rectas. 4. Obter a ecuación dunha circunferencia dados o centro e o radio. 5. Representar gráficamente rectas, circunferencias e interseccións.

A avaliación final virá dada pola proba escrita con contidos das unidades 10 e 11, na que o alumno resolverá exercicios relacionados cos criterios de avaliación e os obxectivos didácticos, similares (pero nunca iguais) ós traballados na clase.

CRITERIOS:

Modelos de exercicio

9. Conclusión

Para finalizar insisto en que esta unidade didáctica constitúe unha planificación flexible que nos servirá de guía e orientación para o seu desenvolvemento na aula. As diferentes necisidades, posibles imprevistos, a avaliación do ritmo de aprendizaxe… permitirán incluir as modificacións que consideremos oportunas na metodoloxía e o deseño de actividades e na temporalización.