Tema 55 – Circuitos eléctricos en serie, paralelo y mixtos – cálculo de magnitudes

55.- Circuitos Eléctricos Serie, Paralelo y mixto: Cálculo de Magnitudes………………………………………. 3

55.1 Introducción………………………………………………………………………………………………………………………… 3

55.2 Circuitos eléctricos serie:…………………………………………………………………………………………………….. 6

55.2.1 Resistencias en serie:…………………………………………………………………………………………………….. 6

55.2.2 Inductores o Bobinas en serie……………………………………………………………………………………….. 7

55.2.3 Condensadores en serie…………………………………………………………………………………………………. 7

55.3 Circuitos eléctricos paralelo:……………………………………………………………………………………………….. 8

55.3.1 Resistencias en paralelo………………………………………………………………………………………………… 8

55.3.2 Inductores en paralelo,………………………………………………………………………………………………….. 9

55.3.2 Condensadores en paralelo………………………………………………………………………………………… 10

55.4 Asociaciones mixtas………………………………………………………………………………………………………….. 10

55.4.1 Asociaciones mixtas reducibles a conjuntos serie y paralelo………………………………………. 11

55.4.2 Asociaciones mixtas no reducibles a subconjuntos serie y/o paralelo:……………………….. 12

5.4.3 Conexiones estrella y triángulo…………………………………………………………………………………….. 14

55.4 Métodos generales de análisis de circuitos………………………………………………………………………… 16

55.4.1 Análisis por corriente de mallas………………………………………………………………………………….. 16

55.4.2 Análisis por voltaje de nodos………………………………………………………………………………………. 18

55.6 Circuitos eléctricos en Regimen Senoidal Permanente………………………………………………………. 20

55.7 Teoremas de los circuitos:…………………………………………………………………………………………………. 22

55.7.1 Transformación de Fuentes…………………………………………………………………………………………. 22

55.7.2 Teorema de Thevenin:…………………………………………………………………………………………………. 24

55.7.3 Teorema de Norton:…………………………………………………………………………………………………….. 25

55.7.4 Principio de Superposición…………………………………………………………………………………………. 25

55.1 Introducción

Un circuito o una red eléctrica es una interconexión de elementos eléctricos unidos entre si en una trayectoria cerrada de forma que puede fluir una corriente eléctrica.

Estos elementos eléctricos son Resistores, Inductores, Capacitores, Fuentes de Tensión y Fuentes de Corriente. Comunmente, los resistores también son llamados resistencias, los capacitores condensadores y los inductores bobinas. Todos estos elementos se caracterizan por poseer dos terminales y una relación tensión corriente conocida entre ambos terminales (fig 55.1).

La resistencia cumple estrictamente la ley de Ohm:

En el inductor o bobina aparece una tensión entre sus terminales proporcional a la variación de corriente que circula por el mismo:

En el condensador, la corriente que entra por uno de sus terminales es proporcional a la variación de tensión ente los mismos:

Una fuente ideal de tensión proporciona una tensión nominal independiente de la corriente que la recorre. En una fuente ideal de corriente, la corriente que fluye por sus terminales, es independiente de la tensión entre los mismos.

El resistor, cuyo nombre se confunde con el parámetro que le caracteriza, al igual que la inductancia y la capacidad son componentes pasivos, disipan energía. Además su relación tensión corriente es lineal. Las fuentes son componentes activos. Pueden suministrar energía al circuito.

Convenio de signos: La potencia absorbida por un elemento es cuando i entra en el elemento por el terminal de voltaje positivo. Por tanto, en la figura 55.2 cuando i es positiva, el signo positivo en la terminal a indica que el voltaje en esa terminal es de mayor potencial en relación con la terminal b (fig 55.2).

A menudo se supondrá que una de las terminales de un elemento tiene signo positivo y se hallará la corriente que fluye hacía esa terminal positiva. Entonces se procede a calcular la corriente y el voltaje usando recursos analíticos que veremos posteriormente. Si una vez hechos los cálculos el valor de esta corriente es negativo simplemente nos indica que la hipótesis inicial de sentido de corriente no coincide con la realidad y este signo nos indica el sentido real de la corriente eléctrica, entendiendo tal como el flujo de cargas positivas.

Un circuito eléctrico será una interconexión de cualquier numero de estos componentes. Estos son una idealización de los componentes tecnológicamente viables. Si embargo, para describir un elemento real, siempre podremos construir un modelo con una combinación de elementos tan compleja como grado de aproximación deseemos. Así una fuente real de tensión, una pila electroquimica, se puede modelizar por el siguiente conjunto (fig 55.3).

Para realizar el análisis de circuitos eléctricos, además de las relaciones tensión corriente en cada uno de sus posibles componentes, disponemos de las leyes de Kirchhoff, plateadas bien como deducción de las Ecuaciones de Maxwel del campo electromagnético o como consecuencia de los principios de la conservación de la carga y de la energía:

Ley de Kirchhof de las Tensiones (LKT): La suma de las caídas de tensión a lo largo de un lazo en un circuito eléctrico es cero. (Consecuencia del principio de conservación de la energía)

Ley de Kirchhof de las corrientes (LKC): La suma de las corrientes entrantes en un nudo es cero. (Consecuencia del principio de conservación de la carga).

55.2 Circuitos eléctricos serie:

Llamamos circuito eléctrico serie, interconexión en serie o simplemente “en serie” a una conexión de elementos de forma tal que por todos ellos fluye la misma intensidad de corriente eléctrica, fig 55.4.

Calcularemos las diferentes magnitudes para una conexión de este tipo.

55.2.1 Resistencias en serie:

Si tenemos varias resistencias en serie, y al conjunto le aplicamos una fuente de tensión, tenemos que al aplicar la ley de kirchhoff de las tensiones a la malla formada por todas las resistencia mas la fuente de tensión (fig 55.5):

Sacando factor común , tenemos

Ecuación esta que también describe a un circuito con una fuente de tensión y una sola resistencia con valor .

Donde deducimos que la asociación de varias resistencias en serie “equivale” a una sola resistencia cuyo valor es la suma de las resistencias conectadas:.

55.2.2 Inductores o Bobinas en serie

En el inductor la relación tensión corriente viene dada por

Si, al igual que en el caso anterior conectamos varias bobinas en serie y aplicamos una fuente de tensión al circuito, tenemos que

Si sacamos factor común, obtenemos

Ecuación esta que también describe a un circuito formado por una fuente de tensión y una bobina con un valor de inductancia igual a la suma de los valores de inductancia de los inductores conectados en serie. Al valor así obtenido le llamamos inductancia equivalente:

55.2.3 Condensadores en serie

Si conectamos varios condensadores en serie y, como en los casos anteriores, conectamos una fuente de tensión y aplicamos la ley de kirchhoff de las tensiones, obtenemos que

Puesto que para cada condensador se cumple

Si sustituimos en la ecuación anterior y sacamos factor común la integral, tenemos que

Ecuación esta equivalente a la de un condensador conectado a una fuente de tensión cuya capacidad viene dada por:

Para el caso de dos Capacitores en serie, tenemos que

55.3 Circuitos eléctricos paralelo:

Una serie de componentes se encuentran en paralelo cuando, debido a la topología del circuito que les une, todos están sometidos a la misma tensión o diferencia de potencial entre sus bornes o extremos (fig 55.6).

55.3.1 Resistencias en paralelo

Para una serie de resistencias en paralelo, tenemos que aplicando una fuente de corriente al circuito y según la ley de kirchhoff de las corrientes, la corriente suministrada por la fuente es igual a la corriente absorbida por las resistencias (fig 55.7):

Como para cada resistencia

Como por el hecho de estar conectadas en paralelo, tenemos que

Tenemos que el conjunto de las resistencias es equivalente a una sola resistencia cuyo valor viene dado por

Para el caso particular de dos resistencias en paralelo

Si ambas resistencias tienen el mismo valor R, el resultado de ambas en paralelo es R/2

55.3.2 Inductores en paralelo,

Recordamos que para un inductor se cumple que

Si tenemos una serie de inductores en paralelo conectados a una fuente de corriente, tenemos que

Como por la topología del circuito y además

Agrupando términos tenemos una relación tensión corriente equivalente a un circuito con un inductor de valor

55.3.2 Condensadores en paralelo

Si al igual que en los casos anteriores, aplicamos una fuente de corriente a una serie de condensadores en paralelo, tenemos que:

Como en cada condensador se cumple que

Tenemos al igual que en los casos anteriores, la corriente total consumida por la fuente es conjunto equivalente a un circuito con un solo condensador de valor

55.4 Asociaciones mixtas.

En un circuito eléctrico formado por varios o muchos componentes, podremos tener dos posibilidades en cuanto a la topología del circuito:

1.- Que dentro del circuito podamos crear subcojuntos de elementos con asociaciones serie o paralelo

2.- Que existan determinadas asociaciones de componentes irreducibles a serie o paralelo

Veamos estos dos casos:

55.4.1 Asociaciones mixtas reducibles a conjuntos serie y paralelo

Sea el circuito siguiente (fig 55.8):

En este circuito R4 y R3 están en paralelo (R4//R3). R2 en serie con el conjunto (R4//R3). R5 en paralelo con todo lo anterior R2+(R4//R3) y finalmente, R1 en serie con todo lo anterior R5//(R2+(R4//R3)).

La resistencia equivalente vista desde sus terminales será

Req= R1+(R5//(R2+(R3//R4))); Este resultado se puede observar fácilmente redibujando el circuito (fig 55.9).

55.4.2 Asociaciones mixtas no reducibles a subconjuntos serie y/o paralelo:

Sea el siguiente circuito (fig 55.10):

Los elementos no se pueden agrupar como composiciones serie o paralelo, para resolverlo habrá que utilizar bien un método general o, en este caso concreto, la conversión estrella triángulo. ambos métodos se exponen mas adelante.

Dentro de las asociaciones mixtas existen dos de gran importancia debido a su gran utilización en conexionado de motores eléctricos. Estas asociaciones son las llamadas asociación en estrella y asociación en triángulo

5.4.3 Conexiones estrella y triángulo

Supongamos dos conjuntos de tres resistencias conectadas del modo siguiente (fig 55.11).

Para este tipo de circuitos es útil conocer la equivalencia entre las resistencias Ri (R mayúscula) y ri (r minúscula), de forma que intercambiando estos valores tengamos dos circuitos equivalentes vistos desde los puntos 1, 2 y 3.

Veamos la resistencia vista entre cualesquiera dos puntos en ambos circuitos:

Si la resistencia vista entre los puntos 1 y 2; 2 y 3; 3 y 1; es la misma en ambos circuitos, estos serán equivalentes y por tanto intercambiables, para ello, veamos la relación que deben guardar las seis resistencias. Tenemos:

Restando la segunda ecuación y sumando la primera y la tercera, tenemos

De donde

Operando de forma análoga, obtenemos que ambos circuitos son equivalentes vistos desde los puntos 1,2 y 3 si cada resistencia R mayúscula del circuito estrella es igual al producto de las dos adyacentes que tendría en el circuito triángulo partido por la suma de las tres del triángulo. Este sistema es generalizable a circuitos con fuentes senoidales usando impedancias en lugar de resistencias.

Por tanto, en el circuito de la figura 55.10, realizando la conversión estrella triángulo en las resistencias R2, R4 y R5, obtendríamos el siguiente circuito (fig 55.12) que si es reducible a combinaciones serie paralelo.

55.4 Métodos generales de análisis de circuitos

A continuación se exponen dos métodos generales para análisis de cualquier circuito eléctrico. Estos métodos están basados en las leyes de kirchhoff y consisten en aplicar sistemáticamente estas leyes a lo largo de toda la topología del circuito. En principio definimos estos métodos para circuitos resistivos, pero son generalizables a circuitos con fuentes senoidales usando fasores e impedancias.

55.4.1 Análisis por corriente de mallas.

Definimos nodo a cualquier punto que conecta mas de dos componentes.

Definimos rama como la trayectoria que conecta dos nodos.

Definimos lazo a cualquier camino a lo largo de un circuito que partiendo de un nodo vuelva al mismo si pasar dos veces por ningún otro nudo en el circuito.

Definimos malla como aquel lazo que no contiene ningún otro lazo en su interior.

Las mallas aparecen como ventanas en la representación esquemática del circuito (fig 55.13):

En el circuito de la figura anterior son nodos los puntos a y b. Es un lazo el camino representado por la línea L1 y es una malla la representada por m1. Obsérvese que el circuito tiene 4 mallas y cuatro nodos.

Supongamos una corriente eléctrica por cada una de las mallas del circuito. Aplicando la ley de kirchhoff de las tensiones a lo largo de la malla se tiene que cumplir que Sumatra de las caídas de tensión a lo largo de la malla es igual a la Sumatoria de las fuentes de tensión en la malla.

Hay que tener en cuenta el estricto seguimiento de un buen criterio de signos para no caer en errores a la hora de aplicar estos métodos. Suponemos las corrientes de malla positivas en el sentido de las agujas del reloj. Para las fuentes de tensión, tendremos que una corriente entrando por el terminal marcado con signo negativo adquiere un incremento de tensión igual la tensión nominal de la fuente. Para un componente pasivo tendremos que se produce una caída de tensión en el sentido de la corriente que le atraviesa.

Aplicando la Ley de kirchhoff de las tensiones a cada una de las mallas, tendremos que la suma de las caídas de tensiones en cada malla es igual a la suma de las fuetes de tensión en cada una de estas mallas.

Con lo que obtenemos un sistema con tantas ecuaciones como mallas tenga el circuito, con incógnitas las corrientes de malla.

En general, se establece que para la corriente de malla , la ecuación de la n-ésima malla con sólo fuentes independientes de voltaje se tiene como sigue;

Para la malla n se multiplica in por la suma de todas las resistencias Rj que forman la malla. Después se suman los términos debidos a las resistencias Rk comunes con otras mallas con signo negativos multiplicada por la corriente en la malla adyacente ik para todas las mallas adyacentes Q.

Por ejemplo, para el circuito de la figura (fig 55.14):

Fig 55.14

Puesto que tenemos tres mallas, definimos tres corrientes de malla i1,i2, i3 en la forma siguiente fig (55.15):

fig 55.15

Planteando la ley de kirchhoff de las tensiones para cada una de las mallas, tenemos:

Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas ()que puede resolverse por cualquiera de los métodos matemáticos al efecto. Por ejemplo, utilizando el método de Cramer, par la corriente , tendremos el cociente entre los determinantes:

Este método es muy apropiado cuando predominan las fuentes de tensión en el circuito.

55.4.2 Análisis por voltaje de nodos

Un circuito con n nodos requerirá n-1 ecuaciones para obtener los voltajes en los n-1 nodos, dado que un nodo sirve de referencia. Puesto que un voltaje se define entre dos nodos, se busca identificar los voltajes en los n-1 nodos en relación con un nodo de referencia. En general, se elegirá normalmente el nodo inferior del circuito como referencia. Si el circuito incluye un nodo conectado a tierra, ese nodo se tomará como referencia.

Por ejemplo, sea el siguiente circuito (fig 55.16):

fig 55.16

Sea i1 la corriente que pasa por R1.

Para determinar el voltaje en un nodo, se usa la ley de Kirchhoff para las corrientes en cada uno de los nodos del circuito, excepto el de referencia. Este conjunto de ecuaciones permite hallar los voltajes en cada nodo.

Se puede elegir arbitrariamente cualquier nodo como referencia. Sin embargo es conveniente elegir aquel que tenga el mayor número de ramas conectadas. Si debe elegirse entre dos nodos con el mismo número de ramas conectadas usualmente se elige el inferior.

Elegimos el nudo c como referencia. Suele suponerse que el voltaje en el nudo de referencia es igual a cero. Entonces se aplican las ecuaciones de la Ley de kirchhoff de las corrientes al nudo a, igualando la corrientes que entran con las que lo abandonan. También es importante notar que la corriente i1 que abandona el nudo a es

Dado que , planteando la LKC en el nodo a es:

De igual modo, en el nudo b tenemos

Sin embargo puesto que

Por tanto:

Si R1=1 ohmio, R2=R3=0.5 e if =4A, las dos ecuaciones de nodo pueden escribirse como:

Replanteando las ecuaciones en términos de dos voltajes desconocidos va y vb, tenemos

En general, este método resuelve muy fácilmente los circuitos donde predominan las fuentes de corriente.

55.5 Regímenes de Funcionamiento:

Los generadores, fuentes de tensión y corriente, que excitan al circuito pueden tener cualquier tipo de dependencia temporal, es decir, las fuentes de corriente y de tensión pueden proporcionar unas corrientes y tensiones con cualquier valor instantáneo i(t) y v(t), sin embargo, en la utilización real de circuitos eléctricos tenemos dos aplicaciones fundamentales:

– Generación, transporte y consumo de energía eléctrica.

– Captación, transmisión y reproducción de señales mediante circuitos electrónicos.

En el primer caso, las fuentes de tensión utilizadas son senoidales, es decir la variación en función del tiempo es una señal coseno:

En el segundo caso, que englobaría la electrónica analógica, las señales utilizadas según la transformada de Fourier, pueden sustituirse por una sumatoria de señales senoidales.

Debido a esto, el estudio de circuitos con excitaciones senoidales no solo es de suma importancia si no que abarca la gran mayoría de circuitos prácticos actualmente utilizados.

Asía hablamos de dos regimientes fundamentales de funcionamiento: Corriente Continua (Direct Courret: DC) y Corriente Alterna (Alternative Courrent: AC). En el primero de ellos DC, las fuentes suministran corrientes y tensiones invariables en el tiempo, constantes. En este caso los circuitos son fundamentalmente resistivos, los condensadores se comportan como circuitos abiertos y las bobinas como cortocircuitos, debido a que sus relaciones de tensión y corriente eran proporcionales a las variaciones de corriente y tensión respectivamente.

En corriente alterna hablamos de fasores y de impedancias, entendiendo como fasór la representación de una magnitud eléctrica tensión o corriente donde se expresa tanto el módulo como la fase. Llamaremos impedancia a la relación entre los fasores tensión y corriente en un elemento o entre los terminales de un determinado circuito.

Con la utilización de estos conceptos podemos generalizar todo lo expresado anteriormente para circuitos resistivos, asociaciones serie, paralelo, mixto y métodos general a cualquier circuito formado por resitencias, condensadores y bobinas con fuentes de tensión y corriente senoidales, lo cual permite ampliar sensiblemente el campo de aplicación de este tipo de análisis.

55.6 Circuitos eléctricos en Régimen Senoidal Permanente

Definición de fasor: Un fasor es una versión transformada de una onda seonidal de voltaje o corriente que consiste en la información de la magnitud y el ángulo de fase.

Por ejemplo, sea una fuente ideal de tensión de la forma ; el fasor representativo de esta tensión es donde solo se representa la amplitud de la señal como valor eficaz y el ángulo de fase. La frecuencia no se representa ya que excitaciones de una determinada frecuencia siempre darán respuestas de la misma frecuencia.

Definición de Impedancia (Z): Llamamos impedancia de un elemento pasivo, o conjunto de elementos, a la relación entre los fasores Tensión y Corriente en sus terminales.

Definición de admitancia (Y): La admitancia es la inversa de la impedancia.

La impedancia, al igual que la admitancia son números complejos donde representamos y no como tal y como se define en matemáticas para no confundir la famosa “i” con intensidad de corriente eléctrica.

Para los elementos pasivos básicos, las impedancias y admitancias vienen dadas por:

En estas circunstancias, podemos aplicar todo lo anterior realizando la oportuna transformación a fasores, utilizar las impedancias o admitancias de cada elemento, calcular el fasor resultado y realizar la transformación inversa de fasor a variable en el tiempo.

La impedancia equivalente de elementos conectados en serie, será la suma de las impedancias.

La admitancia equivalente de elementos conectados en paralelo será la suma de admitancias.

Por lo que generalizamos todo lo expresado para circuitos serie, paralelo y mixto.

Ejemplo: Determinar el voltaje de estado estable v cuando R=10W, L=10mH y C=100:F (fig 55.17):

El voltaje fasorial V puede obtenerse de la ley de Kirchhoff para corrientes en el nodo superior como donde la fuente se representa por la corriente fasorial .

La primera admitancia del circuito, de izquierda a derecha es:

La segunda admitancia es evaluada para la R y la L en serie. En consecuencia se tiene

y por tanto

finalmente, para la rama del capacitor

Sustituyendo en la ecuación del nudo, tenemos

donde, despejando V tenemos:

por tanto, el voltaje en estado estable es

V

55.7 Teoremas de los circuitos:

55.7.1 Transformación de Fuentes

Un generador real de tensión, modelizado como una fuente ideal de tensión en serie con una impedancia, se puede sustituir a efectos externos por un generador real de corriente, modelizado como una fuente ideal de corriente en paralelo con un impedancia.

Para demostrar las reglas de equivalencia, consideremos los circuitos de la figura siguiente(fig 55.18)

que muestran respectivamente un generador de tensión real y un generador de corriente real que dan al circuito externo que se conectará entre A y B la misma tensión v(t) entre terminales y la misma corriente de carga i(t).

Imponiendo la igualdad v(t) e i(t) hacia el circuito externo, se observa

que para el circuito de la izquierda (generador real de tensión) al aplicar la ley de Kirchhof de las tensiones se

cumplirá:

de donde resulta:

si de una forma dual se aplica el primer la ley de Kirchhof de las corrientes al generador

corriente real, se tendrá en el nudo C:

Las ecuaciones anteriores serán idénticas si se cumple la doble igualdad siguiente:

y común en ambos circuitos

las ecuaciones anteriores representan de este modo las reglas de transformación e indican en este caso, los valores de los parámetros del generador de corriente en función de los valores del generador de tensión. Inversamente, si se parte de un generador de corriente real.

55.7.2 Teorema de Thevenin:

El objetivo del teorema de Theveninn es reducir cierta parte de un circuito a un circuito formado por el menor número de componentes. Son solo dos componentes, una fuente de tensión y una impedancia. Con esta equivalencia, para el cálculo de magnitudes, sustituiremos todo un conjunto de componentes de un circuito por su equivalente, este equivalente, conectado al resto, permitirá calcular la corriente o el voltaje de interés.

El teorema de Thevenin se basa en el concepto de equivalencia. Un circuito equivalente a otro, muestra características idénticas en terminales idénticos.

El teorema de Thevenin dice que, para cualquier circuito de elementos de impedancias y fuentes de energía con un par identificado de terminales, el circuito puede reemplazarse por una combinación en serie, de una fuente ideal de voltaje Vth y una impedancia Zth, siendo Vth el voltaje de circuito abierto en las dos terminales y Vth la razón de voltaje en circuito abierto a la corriente de cortocircuito en el terminal.

Este teorema es una gran herramienta para el análisis de circuitos, puesto que nos permite simplificar circuitos centrándonos en los puntos de interés.

Para calcular la Vth, se calcula la tensión en bornes de los terminales de interés en circuito abierto. Para el cálculo de Zth, se calcula la impedancia vista desde los puntos de interés cortocircuitando las fuentes de tensión y dejando en circuito abierto las fuentes de corriente.

55.7.3 Teorema de Norton:

Es el dual al equivalente de thevenin, indicando que todo circuito visto desde dos terminales puede sustituirse por un equivalente formado por una fuente de corriente en paralelo con una impedancia.

55.7.4 Principio de Superposición.

Este principio que se aplica a redes lineales y tiene por objeto calcular la respuesta en un elemento de un circuito, cuando existen varias fuentes y dice lo siguiente:

Para un circuito lineal que contiene dos o mas fuentes independientes se puede calcular cualquier voltaje o corriente en el circuito, como la suma algebraica de todas las corrientes o voltajes individuales generados por cada fuente independiente.

El principio de superposición es particularmente útil si un circuito tiene dos o mas fuentes actuando a diferentes frecuencias. Obviamente el circuito tendrá un conjunto de valores de impedancia a una frecuencia y un conjunto diferente de valores a otra frecuencia. Se puede determinar la respuesta fasorial en cada frecuencia, después se halla la respuesta en el tiempo correspondiente a cada respuesta fasorial y se suman.