Tema 22A – Representación en sistema diédrico

1. FUNDAMENTOS DEL SISTEMA DIÉDRICO.

El sistema diédrico de representación surge por la necesidad de representar elementos tridimensionales en el papel, que tiene de dos dimensiones.

Es un sistema de proyecciones cilíndricas ortogonales y está constituido (fig.1) por dos planos perpendiculares llamados plano de proyección VERTICAL (PV) y plano de proyección HORIZONTAL (PH), sobre cada uno de los cuales se hallan las proyecciones ortogonales del cuerpo o figura a representar.

Estos dos planos se cortarán en una recta llamada LINEA DE TIERRA (LT) y que se representa con 2 trazos gruesos dibujados por debajo de ella en sus extremos.

Fig. 1

Los planos se consideran ilimitados y opacos y cada una de las 4 partes en que queda dividido el espacio recibe el nombre de DIEDRO ó CUADRANTE, denominándose 1º, 2º, 3º y 4º Diedro según la fig. 1.

En este sistema, además de estos dos planos también se considera el Plano de Perfil (PP) que es perpendicular a los anteriores, y los planos bisectores que forman 45º con los planos de proyección y se cortan entre ellos y con los planos de proyección en la LT. De este modo nuestro sistema queda dividido en ocho partes iguales a las que llamaremos OCTANTES. Llamaremos 1^er bisector al que divide el 1^er y 3^er diedro y 2º bisector al otro.

Para efectuar representaciones, salvo que sea necesario otro plano, sólo se tendrán en cuenta el PH y el PV, para ello se abate el plano de proyección vertical sobre el plano de proyección horizontal (o el horizontal sobre el vertical) utilizando como eje de giro la propia LT. De este modo, quedará como único elemento de referencia la LT. (Fig. 1).

Si fuera necesario el plano de Perfil, se abatirá sobre el PV girando alrededor de su traza con éste. (fig. 2)

Para hallar las proyecciones, el observador se coloca en el infinito en el 1^er diedro, por lo que, al ser los planos opacos se considera la parte vista la situada en este 1^er diedro.

1.1.- NOMENCLATURA

La LT se representará mediante una línea llena fina con dos trazos gruesos bajo sus extremos.

El punto lo designaremos con letras mayúsculas, diferenciando si se trata de una proyección horizontal (mediante el subíndice 1 ó(‘)), de una proyección vertical (mediante el subíndice 2 ó(‘’)) o de una tercera proyección, la de perfil (mediante el subíndice 3 ó(‘’’)).

La recta se nombra con letras minúsculas, diferenciando como en el caso del punto si se trata de una proyección horizontal, vertical o de perfil mediante los subíndices 1, 2 y 3 ó ‘, ‘’, ‘’’ respectivamente.

Para la nomenclatura del plano utilizaremos el alfabeto griego en minúscula, diferenciando como en los dos casos anteriores las tres proyecciones.

2.- REPRESENTACIÓN DEL PUNTO.

Proyectando perpendicularmente el punto A del espacio (fig. 2) sobre el PH obtendremos su proyección horizontal (A₁) y si lo hacemos sobre el PV obtenemos su proyección vertical (A₂) y lo mismo con la tercera proyección o de perfil A₃.

El punto queda perfectamente definido con 2 de sus proyecciones.

Las proyecciones vertical y horizontal del punto están, después del abatimiento del PV, sobre la misma recta, llamada línea de referencia del punto, y que es perpendicular a la L.T, siendo esta la propiedad fundamental de las proyecciones de un punto.

El punto A se puede definir mediante las distancias hasta los tres planos de proyección: A(d,a,c). La 1ª coordenada nos indica la distancia al plano de proyección de perfil (denominada distancia), la 2ª coordenada (alejamiento) nos indica la distancia del punto A al PV o de su proyección horizontal a la LT y la 3ª coordenada (cota) nos indica la distancia del punto A al PH o de su proyección vertical a la LT.

2.1- ALFABETO DEL PUNTO.

Con este nombre nos referimos a las diversas posiciones que puede ocupar un punto en el espacio con relación a los planos de proyección. El punto puede ocupar 17 posiciones diferentes:

Fig. 3

Características de los puntos según los distintos diedros que ocupan:

Ø Los puntos situados en el 1^er diedro tienen la característica de tener su proyección horizontal por debajo de la L.T. o en ella y su proyección vertical por encima de la L.T. o en ella.

Ø Los situados en el 2º diedro tienen tanto su proyección vertical como la horizontal por encima de la L.T. o en ella.

Ø Los situados en el 3^er diedro tienen su proyección horizontal por encima de la L.T. o en ella y su proyección vertical por debajo de la L.T. o en ella.

Ø Y por último los puntos situados en el 4º diedro tienen tanto su proyección horizontal como la vertical por debajo de la L.T. o en ella.

Si el punto está en uno de los planos de proyección coincidirá con su proyección en dicho plano y la otra proyección estará en la LT (A, F, J y N).

Los puntos situados en los planos bisectores tienen la cota igual al alejamiento, siendo coincidentes las proyecciones de los situados en el 2º bisector. (D, H, L y R)

3.- LA RECTA

La proyección de una recta sobre un plano, es otra recta, formada por la proyección de todos sus puntos. Una recta está definida cuando se conocen dos proyecciones, (si la recta es de perfil se necesita la proyección de perfil) o dos puntos contenidos en ella.

Un Punto pertenece a una recta cuando sus proyecciones están sobre las homónimas de la recta.

La recta también puede definirse por sus trazas, que son los puntos donde la recta corta a los planos de proyección. Así tendremos su traza horizontal (H) y su traza vertical (V). (fig. 4)

H₁ es la proyección horizontal de la traza horizontal, y coincide con ésta, y la proyección vertical de la traza horizontal (H₂) se encuentra sobre la L.T. Del mismo modo (V₂) es la proyección vertical de la traza vertical y coincide con ella y la proyección horizontal de la traza vertical (V₁) está sobre la L.T. De esta forma la proyección vertical de la recta r₂ queda definida al unir V₂ con H₂ y la proyección horizontal r₁ al unir H₁ con V₁.

Para hallar las trazas en diédrico se prolongan las proyecciones hasta que corten a la LT y de ahí se trazan perpendiculares que cortarán a la otra proyección.

Fig. 4

La intersección de la recta con el 1^er bisector será el punto de la recta situado en éste, por lo que tendrá la misma cota y alejamiento. (pto. B fig. 5). En diédrico se halla mediante la intersección de cada proyección con la simétrica de la otra, respecto a la LT.

La intersección con el 2º bisector será el punto donde se corten las dos proyecciones de la recta, ya que este punto tiene confundidas sus dos proyecciones. (pto. A fig. 5)

Para determinar las partes vistas y ocultas de una recta, hay que tener en cuenta que solamente será vista la parte comprendida en el 1^er diedro, la cuál se indica con línea continua; la parte restante es oculta y se dibuja de trazos. La parte vista queda determinada por las trazas vistas, si la recta no tiene ninguna traza vista, es oculta. Una recta puede pasar por 3 diedros como máximo.

Dos rectas se cortan en el espacio si las proyecciones del mismo nombre se cortan en puntos que están en una misma perpendicular a la L.T. (pto. P fig. 5)

Fig. 5

3.1- POSICIONES PARTICULARES DE LA RECTA

Las rectas pueden adoptar infinitas posiciones en el espacio, pudiendo pasar por 1, 2 ó 3 diedros, definiéndose como hemos visto hasta ahora. Sin embargo, hay ciertas posiciones particulares con unas características propias, como son las paralelas y perpendiculares a los planos de proyección, etc.

Rectas perpendiculares a los planos de proyección

a) Recta de punta al P.H: es perpendicular al P.H., sólo tiene traza horizontal y su proyección vertical es perpendicular a la L.T. Hay 3 tipos según su posición respecto al PV, delante, coincidente o detrás de él. (a, b y c de fig. 6)

Fig. 6

b) Recta de punta al P.V: es una recta perpendicular al P.V., sólo tiene traza vertical y su proyección horizontal es perpendicular a la L.T. Existen 3 tipos según su posición con el PH. (d, e y f de fig. 6)

Rectas paralelas a los planos de Proyección.

c) Recta horizontal: Es paralela al P.H. por lo que todos sus puntos tienen la misma cota, bien sea positiva, negativa o cero, si está situada por encima, por debajo o en el plano horizontal (proyección vertical paralela a la LT). No tiene traza horizontal:

d) Recta frontal: Es paralela al P.V. por lo que todos sus puntos tienen el mismo alejamiento. Puede ser de 3 tipos según esté delante, detrás o en el plano vertical. No tienen traza vertical. (proyección horizontal paralela a la LT).

En la fig. 8 los puntos M y N son los de intersección con el 1º y 2º bisector. La recta r pasa del 1º al 4º diedro.

Fig. 8

e)

Recta paralela a L.T: esta recta es paralela a los dos planos de proyección P.H. y P.V., por lo que no tendrá trazas y sus proyecciones serán paralelas entre sí y a la L.T. Tiene tantas posiciones como las estudiadas para el punto. (fig. 9)

f) Recta de perfil: es una recta paralela al plano de perfil, por lo que sus proyecciones vertical y horizontal están confundidas y son perpendiculares a la L.T. Para definirlas hay que dar dos puntos de ellas, sus trazas o la proyección de perfil. (fig. 10)

Fig. 10

Rectas Oblicuas que cortan a la L.T.

Pasan por 2 diedros y tienen las 2 trazas en la LT (sus proyecciones se cortan en la LT) Pueden ser de 2 tipos, según pasen del 1º al 3^er diedro o del 2º al 4º (Fig. 11), siendo estas últimas ocultas.

Fig. 11

Rectas Paralelas a los Bisectores

h) Paralelas al 1^º: Cada proyección es paralela a la simétrica de la otra respecto a la LT. Si la recta pertenece al bisector sus proyecciones son simétricas respecto a la LT. (fig. 12)

Fig. 12

i) Paralelas al 2º: Sus proyecciones son paralelas. Si la recta pertenece a éste bisector sus proyecciones son incidentes. (Fig. 13).

Fig. 13

4. – EL PLANO

Un plano se define por sus trazas, las cuales son las rectas resultantes de cortar los planos de proyección con el plano a representar. Un plano tiene por tanto dos trazas: vertical (a₂) y horizontal (a₁). Fig. 14

Fig. 14

Obsérvese que las rectas r y s, al estar en los planos de proyección tendrán una de sus proyecciones sobre la LT.

Una recta está situada en un plano cuando las trazas de la recta, están situadas sobre las trazas del mismo nombre del plano (fig. 14).

Un punto está en un plano cuando sus proyecciones están sobre las proyecciones del mismo nombre de una recta contenida en dicho plano. Así el punto A de la fig. 14 está en el plano a por pertenecer a la recta r de ese plano.

4.1.- FORMAS DE DEFINIR UN PLANO

En la geometría del espacio un plano lo podemos definir de 5 formas diferentes:

a) Por 3 puntos no alineados.

b) Por 2 rectas que se cortan.

c) Por 2 rectas paralelas

d) Por una recta y un punto que no se pertenezcan.

e) Mediante la Línea de Máxima Pendiente. (l.m.p) ó la de Máxima Inclinación (l.m.i)

En realidad los primeros 4 apartados llevan al mismo caso. En todos ellos debemos conseguir dos rectas que se corten en un punto o paralelas, puesto que éstas siempre formarán un plano.

Fig. 15

a) Partiendo de 3 puntos no alineados, bastará con unir los puntos de dos en dos y así obtendremos dos rectas que se cortan en un punto. (puntos A, B y C de la fig. 14).

b) y c) bastará con obtener las proyecciones de las trazas, para unir entre sí las proyecciones horizontales de la traza horizontal de las rectas(H₁) y obtener así la traza horizontal del plano a₁, para obtener la traza vertical a₂ del plano deberemos proceder del mismo modo con las proyecciones verticales de las trazas verticales de las rectas. (fig. 14 y 15)

d) Partiendo de una recta y un punto que no esté contenido en dicha recta, bastará con hacer pasar otra recta por el punto dado y por un punto perteneciente a la recta dada, obteniendo así el primer caso.

e) Un plano queda totalmente definido conociendo una de sus l.m.p. o de sus l.m.i. Para ello se traza una perpendicular a la proyección horizontal o vertical de la recta, según sea L.m.p o l.m.i, respectivamente, y esta será una de las trazas del plano (la otra ya queda definida con esto). (fig. 16)

Se llama línea de máxima pendiente de un plano (L.m.p) a la recta de este plano que forma el mayor ángulo con el plano horizontal. Se caracteriza porque su proyección horizontal es perpendicular a la traza horizontal del plano. Para indicar que es l.m.p se pone el signo de perpendicularidad o se colocan dos trazos sobre su proyección horizontal.

Llamamos línea de máxima inclinación de un plano (l.m.i) a la recta que forma el mayor ángulo con el plano vertical. Se caracteriza porque su proyección vertical es perpendicular a la traza vertical del plano. Se indica con el signo de perpendicularidad o con dos trazos perpendiculares a la proyección vertical. (fig. 16)

Fig. 16

Cualquier recta paralela a r’ y contenida en el plano a será también l.m.p del plano con respecto al plano horizontal. Y lo mismo sucede con i’’ (l.m.i)

4.2.- ALFABETO DEL PLANO

Con este nombre designamos las posiciones que puede adoptar un plano en el espacio, con relación a los planos de proyección del sistema. Veamos ahora cómo son sus trazas en las diversas posiciones particulares que puede adoptar.

Planos proyectantes (fig. 17)

Son perpendiculares a uno de los planos de proyección, por lo que su característica principal es que todos los puntos y figuras contenidas en él se proyectan ortogonalmente sobre la traza situada en el plano al que es perpendicular. Podrá tener 2 posiciones:

P. Proyectante Horizontal: La traza vertical es perpendicular a la L.T y la horizontal es una recta cualquiera. Todos los puntos y figuras contenidos en este plano, se proyectan sobre su traza horizontal. El ángulo A es el que forma el plano con el vertical. (a fig. 17)

P. Proyectante Vertical: (fig. 17) Su traza horizontal es perpendicular a la L.T y la vertical es una recta cualquiera. Proyecta todo lo contenido en él sobre el plano vertical. El ángulo B es el que forma el plano b con el horizontal.

Planos paralelos a los de proyección

Estos planos son también perpendiculares al otro plano del sistema, por lo que también son proyectantes.

Plano Horizontal: Es paralelo al PH y puede estar encima, debajo o sobre él. (fig. 18). Sólo tiene una traza, la vertical, que es paralela a la LT. Todos los elementos que contiene se proyectan sobre su traza vertical. La proyección sobre el PH se ve en verdadera magnitud.

Fig. 18

Plano Frontal: Es paralelo al PV y puede estar situado delante, detrás o sobre éste. Su única traza, la horizontal, es paralela a la LT. Todos los elementos situados en él se proyectan sobre su traza horizontal. Sobre el PV se proyectan en verdadera magnitud. (fig. 19)

Fig. 19

Planos que pasan por la LT.

Estos planos tienen sus trazas confundidas con la LT, reducidas a una sola. Por lo que para definir el plano hay que dar un punto de él. (fig. 20)

Para indicar que las trazas del plano están confundidas con la LT se ponen 2 trazos debajo de ella con las letras que designan las trazas.

Si además de pasar por la línea de tierra, el plano forma 45º con cada uno de los de proyección, tendremos los planos bisectores.

Fig. 20

Planos paralelos a los bisectores.

Tienen sus trazas paralelas y equidistantes a la LT ya que forman 45º con los planos de proyección.

Pueden tener 4 posiciones: por encima o por debajo de cada bisector:

Los paralelos al 1º, tienen sus trazas confundidas y vistas. (Fig. 21)

Los paralelos al 2º por encima, sus trazas son vistas y por debajo del 2º bisector ocultas e invertidas a las anteriores. (Fig. 22).

Fig. 22

Planos paralelos a la LT pero no a los bisectores.

También pueden tener 4 posiciones similares a los anteriores, pero como forman ángulos diferentes con los PH y PV, sus trazas no equidistarán de la LT ni estarán confundidas, pero sí serán paralelas a ella. (fig. 23)

Fig. 23

Planos perpendiculares a los bisectores.

Pueden ser de 3 tipos: perpendiculares al 1^er bisector, al 2º o a los 2. (fig. 24)

Perpendiculares al 1º : Sus trazas forman el mismo ángulo con la LT, es decir, son simétricos respecto a ella.

Perpendiculares al 2º: Tienen sus trazas en línea recta.

Planos perpendiculares a los 2 bisectores: También lo son al PH y PV, por lo que son planos de perfil. Sus trazas estarán confundidas en una sola y sobre ella están confundidas las dos proyecciones de todos los elementos contenidos en el plano.

Estos planos son paralelos al PP, por lo que las proyecciones sobre este plano estarán en Verdadera Magnitud.

5. – INTERSECCIONES

5.1. – INTERSECCION DE DOS RECTAS

Como ya se ha visto a lo largo del tema, la intersección de dos rectas es un punto contenido en ambas, por lo que sus proyecciones estarán en las proyecciones de las rectas. (Fig. 14)

5.2. – INTERSECCION DE DOS PLANOS

La intersección de dos planos siempre es una recta, la cuál se hallará según la posición de los planos, por varios métodos derivados del método general, en el cual nos centraremos.

Caso General

Para hallar la intersección de dos planos, se traza un plano auxiliar que corte a los dados según dos rectas fáciles de determinar (por ej. PH), la intersección de estas rectas es un punto de la recta. Repitiendo la construcción con otro plano auxiliar (por ej. PV), se hallaría otro punto, siendo la recta determinada por estos dos puntos la intersección buscada. (fig. 25)

Fig. 25

Como planos auxiliares, lo más fácil es coger el PH y el PV, o también los paralelos o perpendiculares a éstos (horizontales, frontales o proyectantes).

5.3. – INTERSECCION DE UNA RECTA CUALQUIERA CON UN PLANO

Dicha intersección será un punto perteneciente al plano y a la recta. Para su determinación se hace pasar por la recta (r) un plano auxiliar (w) que corta al dado en una recta (i), la intersección entre las 2 rectas (r e i) es el punto buscado.

Fig. 26

Como plano auxiliar suele tomarse uno de los proyectantes de la recta (en nuestro caso un proyectante vertical) ya que son los más sencillos y rápidos de representar.

6. – PARALELISMO

6.1. – RECTAS PARALELAS ENTRE SÍ

Si dos rectas r y s son paralelas en el espacio, sus proyecciones homónimas r₁,s₁ y r₂,s₂ también lo son. Recíprocamente cuando dos rectas tienen sus proyecciones homónimas paralelas, éstas son paralelas en el espacio. Se exceptúan las rectas de perfil, que a pesar de tener sus proyecciones paralelas pueden no serlo, por lo que requieren la vista de perfil.

6.2.- RECTA PARALELA A UN PLANO

Una recta es paralela a un plano cuando es paralela al menos a una recta contenida en dicho plano. Si la recta no cumple otra condición hay infinitas soluciones.

Esta propiedad nos permite trazar por un punto dado P₁–P₂ la recta paralela a un plano dado a(a₁-a₂). Para ello se dibuja una recta r₁-r₂ cualquiera contenida en el plano a. Una vez hecho esto se traza por P₂ una recta s₂ paralela a r₂ y por P₁ una recta s₁ paralela a r₁.

Fig. 28

¨Si hay que trazar por un punto P una recta paralela a un plano definido por dos rectas s y t que se cortan, basta con trazar por el punto dado otra recta r paralela a cualquiera de las dos anteriores.

¨Si queremos pasar por un punto P un plano a(a₁-a₂) paralelo a una recta r₁–r₂ dada, hacemos pasar por el punto una recta s₁–s₂ paralela a la anterior. Todo plano cuyas trazas pasen por las correspondientes de la recta s₁–s₂ será paralelo a r₁–r₂ hay por tanto infinitas soluciones.

6.3.- PLANOS PARALELOS

Dos planos paralelos en el espacio tienen sus trazas homónimas paralelas. Si los planos son paralelos a la LT, no basta sólo con esto, por lo que para saber si son realmente paralelos en el espacio, es necesario hallar la 3ª traza y comprobar en ella si sus trazas mantienen el paralelismo.

Al ser cortados dos planos paralelos por un tercer plano, las rectas de intersección son necesariamente paralelas entre sí.

Para trazar por un punto P (fig. 29) un plano b (b₁-b₂) paralelo a otro dado a hay que recordar que las horizontales de plano tienen su proyección horizontal paralela a la traza horizontal del plano. Según esto, se pasa por el punto dado P₁–P₂ la horizontal r₁–r₂, siendo r₁ paralela a a₁, la traza vertical de la recta r es el punto v₂ y por éste pasa la traza b₂, paralela a a₂. La traza horizontal paralela a a₁ pasa por el punto donde b₂ corta a la L.T.

7.- PERPENDICULARIDAD

7.1.- TEOREMAS DE PERPENDICULARIDAD

1º. Si una recta r es perpendicular a un plano, es perpendicular a todas las rectas contenidas en él. Recíprocamente, para que r sea perpendicular al plano, basta que lo sea a dos rectas no paralelas situadas en el mismo.

2º. Teorema de las 3 perpendiculares: Si dos rectas r y s son perpendiculares y una de ellas es paralela o pertenece a un plano, sus proyecciones ortogonales sobre dicho plano son ortogonales.

Como la perpendicularidad no es un invariante proyectivo, si dos rectas son perpendiculares en el espacio, sus proyecciones ortogonales no serán perpendiculares a no ser que una de las rectas cumpla este 2º teorema.

7.2.- RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO

Para trazar por un punto dado una recta perpendicular a un plano: por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza homónima del plano. La recta así obtenida es la solución única. (fig. 30)

Si el punto pertenece al plano, deberá estar contenido en una horizontal o frontal de dicho plano. Este punto será la intersección de la recta con el plano.

fig. 30

7.3.- PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA

Para resolverlo, basta recordar que las trazas serán perpendiculares a las proyecciones del mismo nombre de la recta. Por ello, se hace pasar por un punto P₁–P₂ una recta del plano que se busca y de la cual sabemos la dirección; esta recta es la horizontal h₁–h₂, su proyección vertical pasa por P₂ y es paralela a L.T: y h₁ pasa por P₁ y es perpendicular a r₁; se halla su traza vertical v₂ y por este punto pasa la traza a₂ perpendicular a r₂; la traza a₁ pasa por el punto N y es perpendicular a r₁.

fig. 31

7.4.- PLANOS PERPENDICULARES ENTRE SÍ

Este problema también admite infinitas soluciones, puesto que dos planos son perpendiculares cuando uno de ellos contiene, al menos, una recta que es perpendicular al otro. Dicho de otra forma: si una recta r es perpendicular a un plano a, todo plano b que pase por r, o sea paralelo a ella, será perpendicular al a.

8. – DISTANCIAS

Dado que las proyecciones de la figura a representar no están en verdadera magnitud a no ser que sea paralela a los planos de proyección, es necesario recurrir a la determinación de las distancias que nos interesen, por ciertos procedimientos que son una aplicación inmediata de la perpendicularidad

8.1. – DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Para determinar la distancia entre dos puntos de proyecciones ortogonales conocidas, basta con determinar la hipotenusa de un triángulo rectángulo (fig. 32), cuyos catetos son, respectivamente, el segmento de proyección A₁-B₁ y la diferencia de distancias de cada uno de los puntos al plano de proyección, o lo que es igual, la diferencia de cotas de los puntos dados.

En el sistema diédrico, para determinar la distancia se puede operar con la proyección horizontal A₁-B₁, en cuyo caso las proyecciones de los puntos son A₁-A₂ y B₁-B₂, y la distancia d₁-d₂. Por A₁ se traza la perpendicular a A₁-B₁ y sobre ella se lleva la diferencia de cotas dc. El segmento B₁A₀ es la verdadera magnitud de la distancia en el espacio.

Igualmente se puede operar con la proyección vertical A₂-B₂, en cuyo caso dc sería la diferencia de los alejamientos. En ambos casos el resultado es idéntico.

8.2.- DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Según el procedimiento general, dado un punto P y la recta r, por el punto se traza el plano a perpendicular a r a la que corta en el punto I. El segmento IP es la distancia D, en verdadera magnitud, del punto a la recta.

En diédrico se resuelven siguiendo el mismo orden: por (P₁-P₂) se traza un plano perpendicular a r (r₁-r₂), por medio de la horizontal h₁-h₂, siendo h₁ perpendicular a r₁. El plano a corta a la recta en I (I₁-I₂), que se obtiene empleando el proyectante vertical de la recta, b₁-b₂, siendo i₁-i₂ la intersección de ambos planos y ésta corta a r en el punto I₁-I₂. La distancia IP tiene por proyecciones d₁-d₂ y la verdadera magnitud es D.

9. – HERRAMIENTAS PARA LA REPRESENTACIÓN

9.1.- ABATIMIENTOS

El abatimiento de planos es un procedimiento usado para la obtención de formas planas en verdadera magnitud, lo cual permite su medición o trazado, y relacionando estas formas con otras también podemos representar formas espaciales.

Abatir un plano es hacer coincidir éste con otro que se considera de proyección, girándose alrededor de la recta intersección de ambos. Esta traza alrededor de la cual se abate el plano recibe el nombre de charnela.

Todos los elementos, puntos, segmentos, polígonos, etc., contenidos sobre el plano abatido, se sitúan, tras el abatimiento, sobre el plano de proyección, por lo que se proyectan sin deformación alguna, con lo cual se obtienen sus verdaderas magnitudes, tanto lineales como angulares. Siempre se abate un plano sobre otro y sólo pueden abatirse planos. Las expresiones de abatir un punto o una recta carecen de exactitud, no obstante se emplean por sencillez de la expresión, entendiéndose por tal que el abatimiento se realiza con un plano que contenga a estos elementos.

Fig. 33

El triángulo ABC situado en el plano P se proyecta según abc.

Si abatimos el plano P sobre el horizontal, tendremos el triángulo (a),(B),(C), que es la verdadera magnitud del triángulo citado.

Generalmente se tomará como plano de abatimiento uno de los planos de representación o del dibujo, con lo cual se conseguirá que venga sobre éste y su verdadera magnitud todo lo que contenga el plano abatido.

9.2.- GIROS Y CAMBIOS DE PLANO

Son artificios usados en Descriptiva para colocar figuras en posición tal que permita: medir directamente magnitudes, resolver fácilmente algunos problemas o conseguir proyecciones claras e intuitivas.

En el giro, el cuerpo o figura se mueve en el espacio alrededor de un eje, permaneciendo inmóviles los planos de proyección. En el cambio de plano, por el contrario, el cuerpo queda fijo y son los planos de proyección (o uno sólo) los que varían.

Estos dos métodos tienen gran nº de aplicaciones prácticas, por ej. La representación y trazado de las superficies de revolución es una aplicación inmediata del giro de una línea (generatriz) alrededor de un eje. Entre las aplicaciones de los cambios están las proyecciones auxiliares, vistas y secciones.

10. – PRINCIPIOS GENERALES DE REPRESENTACIÓN

Para representar un objeto o figura en diédrico, se proyecta sobre los planos de proyección ortogonalmente. A dichas proyecciones se les llama vistas. Generalmente para representar un objeto basta con los 3 planos que hemos visto hasta ahora, aunque hay veces que para que un objeto quede representado en su totalidad se requieren más planos. El perfil puede ser el izquierdo o el derecho.

El sistema diédrico tiene dos variantes o métodos según la posición de las vistas respecto al alzado:

a) La proyección desde el primer cuadrante o sistema EUROPEO.

b) La proyección desde el tercer cuadrante o sistema AMERICANO.

En los dos casos las piezas deben dibujarse, generalmente, en su posición de empleo o montaje.

Posición de las vistas respecto del Alzado:

Denominación de las vistas:

A: Vista frontal o Alzado

B: V. Superior o Planta

C: V. Lateral Izquierda

D: V. Lateral Derecha

E: V. Inferior o Planta inferior.

F: V. Posterior o Alzado posterior