INTRODUCCIÓN.
En el dibujo técnico, se requiere representar objetos tridimensionales con exactitud. La representación de una cara de los mismos no ofrece suficientes detalles sobre la forma y medidas de las restantes, por lo que se recurre a sistemas de representación como el diédrico, el acotado, el axonométrico o el cónico.
Los sistemas de representación mediante vistas, como el diédrico y acotado, a pesar de contar con grandes ventajas, adolecen del defecto de no permitir apreciar al primer golpe de vista, la forma, los contornos y cualquier otro detalle que nos interese del cuerpo o figura representado.
Para salvar este inconveniente y conseguir ver intuitivamente las formas del cuerpo, se usan los sistemas de representación en perspectiva, tanto axonométrica como cónica.
En este tema, se van a estudiar dos sistemas de representación derivados del sistema axonométrico: la perspectiva isométrica y la perspectiva caballera.
Durante el desarrollo de dicho tema resulta imprescindible el empleo de representaciones gráficas de cada apartado.
1. SISTEMA AXONOMÉTRICO.
El fundamento de esta representación consiste, básicamente, en referir un punto dado A (fig. 1), a un sistema de ejes coordenados rectangulares X, Y y Z, por medio de las proyecciones Al, A2 y A3 del punto sobre cada uno de los planos coordenados, y luego, proyectar perpendicularmente cada una de estas proyecciones, y el punto A, sobre un plano de proyección p (plano del dibujo) sobre el que también se proyectan los 3 ejes coordenados, en X’, Y’ y Z’.
Se obtiene así la llamada proyección o perspectiva axonométrica ortogonal. Si la dirección de proyección fuese oblicua respecto a p, estaríamos hablando de la proyección o perspectiva axonométrica oblicua.
Fig. 1
Las principales características de este sistema son:
1º) Sólo se utiliza un plano de proyección p, que coincide con el plano del dibujo.
2º) Los ejes o líneas de referencia llamados ejes axonométricos, son las proyecciones X’, Y’, Z’ de los tres ejes coordenados X, Y, Z.
3º) Cada punto A del espacio tiene en el dibujo 4 proyecciones: La A’, proyección ortogonal de A sobre el plano del dibujo, llamada proyección directa o natural o perspectiva de A, y las A’1, A’2 y A’3 (proyección de proyección), proyecciones axonométricas.
4º) Como las proyectantes AA1, AA2 y AA3 del punto sobre los planos de proyección son respectivamente paralelas a los ejes Z, Y y X, sus proyecciones también lo serán, por tanto, las rectas que unen la proyección directa A’ del punto con cada una de las otras, son paralelas a cada uno de los ejes, siendo ésta la condición que caracteriza a las proyecciones de un punto.
Según los ángulos a, b y g que forman los ejes X, Y, Z respectivamente con el plano de proyección se distinguen 3 tipos de perspectiva Axonométrica:
1. anisométrica o trimétrica: Cada eje forma un ángulo diferente.
2. monodimétrica o dimétrica: Dos ejes forman el mismo ángulo.
3. Isométrica: Todos los ángulos son iguales.
Las más usadas son la Isométrica y Dimétrica por ser los más sencillos.
La perspectiva caballera es un caso particular de la dimétrica, en el que dos de los ejes coordenados forman 0º con el plano de proyección (uno de los planos está apoyado en el plano de proyección) y el tercero forma 90º con el mismo.
2. COEFICIENTES DE REDUCCIÓN Y ESCALAS.
En axonométrico, los objetos representados ofrecen unas dimensiones menores a las reales, ya que es la proyección de las medidas reales, las cuales se encuentran situadas oblicuamente respecto al plano de proyección. Por tanto, para representar un objeto en dicho sistema, hay que transformar las cotas reales mediante una escala de reducción, la cual tendrá que ser calculada para cada uno de los ejes, teniendo en cuenta su inclinación respecto al plano de proyección.
Si sobre el eje X tenemos un punto A (fig. 2), distante del origen O la longitud unidad OA = u, y lo proyectamos sobre p, en X’; la proyección OA’= ux es la unidad correspondiente a X’ y se llama escala axonométrica de X.
La relación ux/u entre ambas unidades se llama coeficiente de reducción del eje X, y se designa por cx. Esta relación es la que existe entre la proyección B’C’ de un segmento y la longitud BC de éste, en el espacio. Por tanto, cx = B’C’/BC.
Fig. 2
Como lo mismo sucederá para los otros dos ejes, podremos enunciar: Si sobre cada eje X, Y y Z se lleva una longitud unidad u, sus proyecciones ux, uy, y ux sobre p se denominan escalas axonométricas de los ejes. Los cocientes:
cx = ux/u, cy = uy/y y cz = uz/u
se llaman coeficientes de reducción de los ejes X, Y y Z respectivamente.
Los valores de estas relaciones dependen únicamente del valor del ángulo que cada eje forma con p (por ser los cosenos de estos ángulos). Si los ángulos son iguales, como ocurre en el sistema isométrico, los 3 coeficientes de reducción también lo son.
3. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN EN PERSPECTIVA ISOMÉTRICA.
El sistema isométrico se caracteriza por que la “proyección” de los ejes axonométricos X’, Y’ y Z’ forman entre sí 120º. (fig. 3)
La utilidad de este sistema radica en el hecho de tener que calcular una sola escala para representar una medida en cualquier eje. Además, como el coeficiente de reducción de los tres ejes es el mismo, el aspecto de la figura representada no se verá distorsionado, consiguiéndose dibujos más realistas. Es por todo esto, uno de los sistemas de representación más utilizados para dibujar figuras tridimensionales.
Coeficiente de Reducción y Escala.
El Coeficiente de Reducción se determina mediante sencillos cálculos trigonométricos o gráficos (Anexo I), dando como resultado 0,816, es decir, para representar un objeto en el sistema de perspectiva Isométrica, habrá que multiplicar por 0,816 cada una de sus medidas antes de transportarlas sobre los ejes de coordenadas.
3.1. REPRESENTACIÓN DEL PUNTO.
Para determinar un punto cualquiera del espacio, basta conocer dos de sus cuatro proyecciones, ya que con éstas podemos hallar inmediatamente las otras dos.
En efecto, supongamos que nos dan las proyecciones A’3 y A’2 de un punto del espacio (fig.3) y queremos hallar las otras dos proyecciones. Trazando por la proyección A’2, una paralela a Y’ y por A’3 una paralela a X’, ambas se cortarán en A’. Trazando por A’3 y A’2, paralelas a Z’, cortarán a X’ e Y’, trazando luego por estos puntos de intersección una paralela a Y’ y otra paralela a X’ respectivamente, la intersección de estas paralelas nos dará la proyección A’1. Con ello, no se ha hecho más que construir las proyecciones del paralepípedo de referencia del punto A sobre los tres ejes coordenados.
Normalmente el plano XY es horizontal y, por tanto, llamaremos proyección horizontal a la que se proyecta sobre el mismo. Los planos XZ e YZ son los verticales o laterales, y las proyecciones sobre ellos, proyecciones verticales o laterales. En cuanto a las proyecciones axonométricas, A’1 es la proyección horizontal y A’2 y A’3, las verticales y laterales. Estas últimas también se denominan vertical primera y vertical segunda, respectivamente.
Diversas posiciones del punto.
Como los planos coordenados determinados por los ejes dividen el espacio en ocho regiones, el punto podrá estar situado en cualquiera de ellas. En la Fig. 3, se han dibujado las proyecciones de un punto A, situado en el triedro OXYZ y en la Fig. 4, varios puntos situados en cada una de las restantes regiones.
M’
Los puntos B, C y D están encima del plano horizontal y los puntos M, N, P y Q debajo.
Si el punto está situado en uno de los planos coordenados (Pto. B’-fig. 5), su proyección directa coincide con la proyección del punto en dicho plano, siendo esta condición la que caracteriza la posición del punto. Las otras dos proyecciones, están sobre los ejes coordenados que definen el plano.
Fig. 5 Fig. 6
En la fig. 5, los puntos A y B están situados en el plano horizontal; los C y D, en el primer vertical y los M y N, en el segundo vertical.
Si el punto está situado sobre uno de los ejes, su proyección directa coincide con dos de las otras, mientras que la tercera se confunde con O. Así sucede en la Fig. 6 con los puntos A, B y C, situados sobre los ejes X’, Z’ e Y’, respectivamente.
Por ultimo, si el punto pertenece a dos ejes, coincide con el origen O de coordenadas y sus cuatro proyecciones estarán confundidas en O’, como puede verse con el punto D de la fig. 6.
3.2. REPRESENTACIÓN DE LA RECTA.
Para determinar las proyecciones de una recta, basta unir las proyecciones homónimas de dos de sus puntos. Así, en la Fig. 7, uniendo las proyecciones de dos puntos M y N de una recta r, obtendremos las proyecciones r’1, r’2 y r’3 de la recta que determinan, cuya proyección directa es r’.
Fig. 7
La recta, lo mismo que el punto, tiene cuatro proyecciones de las que sólo son necesarias dos, para que quede determinada.
En este sistema, los puntos notables de la recta son sus trazas con los planos coordenados. Veamos cómo se determinan éstas.
La traza con el plano horizontal, por ejemplo, es un punto que por pertenecer al plano, tendrá su proyección directa y la horizontal confundidas y, por pertenecer a la recta, tendrá sus proyecciones sobre las homónimas de la recta, es decir, sobre r’ y r’1, luego no puede ser otro que la intersección de las proyecciones r’ y r’1, que nos determinan la traza H’r buscada. Análogamente se deduce que la traza con el primer vertical es la intersección V’, de r’ y r’2, hallándose enseguida las otras proyecciones de estas trazas que estarán, como ya sabemos, sobre los ejes.
Supongamos ahora que nos dan las proyecciones r’l y r’3 de la recta y queremos determinar las otras dos proyecciones. Primeramente, prolongaremos una de las proyecciones, la r’1 por ejemplo, hasta que corte al eje Y’ y trazando por este punto la paralela a Z’, su intersección con r’3 es la traza W’r de la recta, cuya proyección W’2r, está sobre Z’.
Análogamente, prolongando r’3 hasta su intersección con el eje Y’ y trazando por este punto la paralela al eje X’, cortará a r’l en el punto H’r (traza horizontal), determinándose enseguida la otra proyección H’2, sobre X’.
Uniendo las proyecciones W’r y H’r y las W’2r y H’2r de las trazas halladas, obtenemos las otras proyecciones r’ y r’2 de la recta.
Otro método de hallar las otras proyecciones de la recta, es elegir dos puntos de ella y determinar las otras proyecciones de estos puntos por medio del paralepípedo de referencia, uniendo luego sus proyecciones homónimas.
En este sistema, se supone al observador situado dentro del triedro OXYZ, por lo que sólo serán vistos los puntos situados en su interior, por tanto, para determinar las partes vistas y ocultas de una recta, tendremos que auxiliarnos de sus trazas puesto que precisamente las trazas vistas son las que nos limitan la parte vista de la recta. En la figura anterior, las trazas vistas W’, y H’r nos determinan la porción vista de la recta.
Para designar las trazas utilizaremos únicamente sus proyecciones directas H’r, V’r y W’r puesto que las otras están, como se ve en la figura, confundidas con ellas o sobre los ejes coordenados.
Posiciones particulares de la recta.
Ø Recta situada en un plano coordenado.
Por estar sobre XZ (fig. 8), r’ coincide con r’2, r’1 con X’ y r’3 con Z’.
Si además de estar situada en YZ, es paralela a Z, t’ coincide con t’3 y es paralela a Z’ y t’1 se reduce a un punto.
Ø Recta que corta a un eje.
Por cortar a Z (fig. 9), las proyecciones r’2 y r’3 concurren con r’ en el punto de intersección con el eje que, además, coincide con las trazas V’r y W’r. La otra proyección r’1 pasa por O.
Fig. 9
Ø Recta que pasa por el origen.
Se ve en la fig. anterior que todas las proyecciones de t concurren en O.
Ø Recta paralela a un plano coordenado.
Si es paralela al horizontal (fig. 10) r’ y r’1 son paralelas entre sí, puesto que su traza horizontal H’r está en el infinito. Las otras proyecciones r’2 y r’3 son paralelas a X’ e Y’.
Si es paralela a dos planos coordenados, como la t’‑t’l, lo es también a su intersección Y, por lo que t’, t’1 y t’3 son paralelas a Y’ y t’2 se reduce a un punto, confundido con la traza V’t.
Fig. 10
Ø Recta perpendicular al plano de proyección.
Tracemos por el origen O (fig. 11) una recta r perpendicular al plano de proyección p. Su proyección directa, r’ se reduce a un punto, confundido con O.
Fig. 11
El plano a determinado por r y Z es normal al XY, por serlo Z, y a p, por serlo r, luego su intersección OA1 con XY es la proyección horizontal r1 de la recta y la ta con p, coincide con las proyecciones r’1 y Z’ de r1 y Z, respectivamente.
Resulta pues, que r’1 se confunde con Z’ y por análogo razonamiento, r’2 con Y’ y r’3 con X’ (fig. 12), siendo las prolongaciones de los ejes axonométricos, las proyecciones vistas de la recta.
Fig. 12
Si la recta no pasa por el origen (Fig. 13) su proyección directa r’ sigue siendo un punto en el que coinciden las trazas H’r, V’r y W’r y las proyecciones de r’1, r’2 y r’3 son respectivamente paralelas a Z’, Y’ y X’.
Fig. 13
3.3. REPRESENTACIÓN DEL PLANO.
El plano se representa por medio de sus trazas con los coordenados. Así como en el sistema diédrico, las dos trazas de un plano se cortaban en un punto de la línea de tierra, en este sistema, las tres trazas se cortan, dos a dos, en un punto de cada eje. Estas 3 trazas, prolongadas si es necesario, forman un triángulo (triángulo de las trazas) cuyos vértices se encuentran sobre cada uno de los ejes o sus prolongaciones.
En la Fig.14, se ha representado un plano a cuyas trazas se cortan como acabamos de indicar. Así, las h’a y v’a se cortan en el eje X’, las v’a y w’a, sobre Z’ y las h’a y w’a, sobre Y’. El triángulo de las trazas está formado por las trazas w’a, h’a y v’a.
Para que una recta esté situada en un plano, sus trazas deben estar situadas en las homónimas del plano o, a la inversa, para que un plano contenga a una recta, sus trazas deben pasar por las homónimas de la recta.
Esto nos sirve para hallar las trazas de un plano determinado por dos rectas r y t que se cortan en un punto I. Para ello, determinaremos dos trazas H’r, y V’r, de r y las homónimas, H’t y V’t de t y uniéndolas, obtenemos las trazas h’a y v’a cuyas intersecciones con Y’ y Z’ nos determinan la otra traza w’a.
Las trazas del plano a las representaremos por la letra del plano coordenado a que corresponda, en minúscula, añadiéndole la letra a como subíndice.
En la Fig. 14 vemos representadas 2 rectas paralelas a los coordenados contenidas en un plano a: La horizontal r del plano es paralela al XY y, por tanto, a su traza h’a. De aquí, que sus proyecciones r’ y r’l sean paralelas a h’a mientras que r’2 y r’3 lo son a X’ e Y’ respectivamente. Por la misma razón, la paralela t a XZ tendrá t’ y t’2 paralelas a v’a, t’1 y t’3 (No dibujadas), paralelas a X’ y Z’.
Posiciones particulares del plano.
Ø Plano que pasa por un eje.
Si pasa por el eje Y (fig. 15), sus trazas h’a y w’a se confunden con Y’ y la v’a pasa por O’. Las rectas de este plano paralelas a XY o YZ son rectas de punta respecto al XZ, como la r’‑r’l.
Fig. 15
Ø Plano que pasa por el origen.
Sus trazas son concurrentes en O (fig. 16).
Fig. 16
Para determinar la h’a por ejemplo, supuestas conocidas las otras dos, hasta trazar una recta, r’‑r’l del plano, paralela a XZ, y hallar su traza A’‑A’1 que unida con O’ nos determina la h’a buscada.
Ø Plano paralelo a uno de los coordenados.
Si es paralelo al YZ, sus trazas serán paralelas a las de éste, es decir, h’a y v’a paralelas a Y’ y Z’. La traza w’a no existe o está en el infinito (fig. 17).
Fig. 17
Ø Plano paralelo a un eje.
En la figura anterior, las trazas v’b y w’b son paralelas a Z’, por ser el plano b paralelo a este eje.
La intersección de este plano con el anterior es la recta i’‑i’1, paralela a Z.
Ø Plano perpendicular al de proyección.
Por ser proyectante, sus trazas se confunden en una sola recta (fig. 18).
Fig. 18
Ø Plano paralelo al de proyección.
Como ya se ha dicho, el triángulo de las trazas es equilátero. Su centro coincide con O y cada uno de sus lados es normal a un eje (fig. 19).
Fig. 19
3.4. REPRESENTACIÓN DE FIGURAS Y SÓLIDOS.
Para representar cualquier figura o sólido bastará con representar los planos de los que está compuesta, guiándonos por mediciones de puntos y líneas, tras haber aplicando la escala de reducción correspondiente a cada una de ellas.
Merece especial atención la representación de círculos en el sistema de perspectiva isométrica, ya que realmente “se ven” como elipses. Lo más fácil para representarlos es incluirlos en un cuadrado que nos dé la pista sobre la situación de los ejes y las diagonales.
4. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN EN PERSPECTIVA CABALLERA.
La perspectiva caballera es un caso particular de la axonométrica oblicua en la que el plano XOZ (1er vertical) del triedro coordenado se hace coincidir con el plano de proyección p (Plano del dibujo), y se coloca en posición vertical (Fig. 20).
Fig. 20
Los planos coordenados quedan así en la posición que indican sus nombres. El XOY, horizontal y los otros dos, verticales. En cuanto a los ejes, el Y es normal al cuadro y los X y Z, en dirección horizontal y vertical, respectivamente. El plano horizontal también suele llamarse “geometral”.
El conjunto se proyecta oblicuamente sobre el cuadro en cualquier dirección, lo que explica la posición arbitraria de la proyección Y’ del eje Y. En la figura se han dibujado las proyecciones Y’1, Y’2, Y’3 e Y’4 (determinadas por las proyecciones M’a, M’b, etc., de un punto M del eje) correspondientes a distintas direcciones de proyección a, b, c y d.
Los ejes X y Z dividen el cuadro en 4 regiones o cuadrantes, numerados de I a IV. La posición de Y’ respecto a éstos, aunque es arbitraria, determina las partes vistas y ocultas de la figura a representar ya que depende de la situación del observador respecto al triedro de referencia, lo cual influye en su elección de un modo decisivo.
En efecto, si imaginamos dibujados y opacos los tres planos coordenados, al proyectar el triedro en la dirección a, por ejemplo, el eje Y se proyectará en Y’l. El observador, situado delante del cuadro, en V (punto del infinito de la semirecta M’aM, por ser proyección cilíndrica), se encuentra a la izquierda del segundo vertical y debajo del horizontal y verá ambos planos, como se indica en la Fig. 21-b, siendo ocultas las proyecciones A’1 y A’3 del punto A del interior del triedro.
Fig. 21
En la misma figura se han dibujado las proyecciones del triedro correspondiente a las direcciones Y’2, Y’3 e Y’4, de la figura anterior. Para que las tres proyecciones del punto resulten vistas para el observador, éste debe situarse dentro del triedro (Fig. 21-c), o lo que es lo mismo, la proyección Y’ del eje debe estar en el tercer cuadrante.
4.1. COEFICIENTES DE REDUCCIÓN Y ESCALAS.
El cálculo del coeficiente de reducción y la escala en perspectiva caballera se realiza exactamente igual que para Isométrica, sin embargo resulta más sencillo ya que los ejes X y Z, al estar contenidos en el propio plano del cuadro sus proyecciones no sufren variación de medidas, es decir, están en verdadera magnitud, sus escalas y coeficientes de reducción son:
ex = ez = u y cx = cz = 1.
Por lo tanto, sólo tendremos que aplicar el coeficiente de reducción al eje Y’. Si en la Fig. 20 suponemos OM igual a la unidad u y lo proyectamos en la dirección a, la proyección OM’a = uy es la escala axonométrica ey de Y o unidad correspondiente a Y’.
Al proyectar el punto M en direcciones a, b, c,… que formen el mismo ángulo con el cuadro, sus proyecciones M’a, M’b, M’c,… equidistarán de O conservándose constante la escala y el coeficiente de reducción:
cy = OM’a / OM = OM’b / OM = OM’c / OM, por ser OM’a = OM’b = OM’c
Vemos pues que, a un valor dado del coeficiente de reducción, corresponden infinitas direcciones de proyección (generatrices de un cono de revolución de vértice M y eje OM), o lo que es lo mismo, infinitas direcciones de Y’ que pueden coincidir incluso con los ejes X o Z (direcciones n o m).
Inversamente, si fijamos una posición Y’4 para Y’, podemos proyectar en infinitas direcciones d, r,…, s, situadas en el plano determinado por Y e Y’4, correspondiendo a cada una diferentes escalas OM’d, OM’r,… OM’s que pueden variar desde cero (dirección paralela a Y) hasta infinito (dirección s, paralela a Y’4), variando también entre ambos límites, el coeficiente de reducción.
Para que la perspectiva quede definida es necesario fijar la posición de Y’ y su coeficiente de reducción. La primera determina el plano proyectante de Y, y la segunda, la inclinación de la dirección de proyección respecto al cuadro. Lo dicho se refiere al semieje positivo OY. Algunos autores, para evitar la indeterminación producida por direcciones simétricas respecto a Y, tales como la b y d, representan la proyección Y’ terminada en una flecha, no siendo esto necesario si se dibujan los semiejes positivos con línea continua y sus prolongaciones en discontinua.
Esta perspectiva también se llama “libre” o “fantástica” por no ser la perspectiva del cuerpo, tal y como la ve en la realidad el ojo del observador.
Como los ejes X y Z coinciden con sus proyecciones, representaremos éstas con las letras X y Z y la proyección del eje Y, por Y’.
La posición de Y’ viene dada por el ángulo a (fig. 22) que forma con X.
Si a = 225º (prolongación de la bisectriz de XOZ), la perspectiva se llama “regular”. No es frecuente emplear ángulos de 0°, 90º, 180º ó 270º ni próximos a éstos, por resultar la perspectiva bastante deformada.
Los más utilizados en la práctica son los que forman 30°, 45° ó 60° con los ejes, por ser los que pueden trazarse con escuadra y cartabón.
Fig. 22
En cuanto al coeficiente de reducción que designaremos por R, se toma menor que la unidad. En caso contrario, las figuras aparecen alargadas en el sentido Y’, deformando la perspectiva. De aquí los nombres de “usual” y “deforme” según que R sea menor o mayor que la unidad. Los valores más corrientes son: R = 1/2, 2/3 y 3/4.
El coeficiente de reducción suele expresarse gráficamente, señalando sobre Y’ la longitud OA’ = uy (fig. 22) y sobre la prolongación de Z, el segmento O(A)I = u (abatimiento del segmento OA = u). Si la unidad u se toma sobre la perpendicular O(A) a OY’, la recta (A)A’ es el abatimiento de la dirección de proyección, con lo que también se obtienen los ángulos b y d que ésta forma con Y y con el cuadro, respectivamente.
En cuanto a las notaciones de las diversas proyecciones y trazas, son idénticas a las de la perspectiva isométrica.
4.2. REPRESENTACIÓN DEL PUNTO.
Para representar un punto en caballera basta con llevar sobre los ejes X y Z las coordenadas directas de los mismos, y sobre el eje Y’ la coordenada correspondiente después de aplicarle el coeficiente de reducción, en definitiva, los procedimientos de representación del punto, recta y plano son igual que en Isométrica, con la diferencia de tener que aplicar la reducción sólo al eje Y’ (además de los ángulos que forman entre sí las proyecciones de los ejes).
En la Fig. 23, el coeficiente de reducción está expresado gráficamente por el segmento O(U) (segmento unidad u, abatido) y por la escala OU’=uy de Y, habiéndose tomado sobre X y Z las longitudes ON’=3u y OS’=1,5u y sobre Y’, OM’=4uy.
Trazando por N, S y M’ paralelas a los ejes, se obtienen las cuatro proyecciones del punto por medio del paralepípedo de referencia. El punto M’ puede también obtenerse, tomando sobre la prolongación del eje Z, la longitud O(M)=4u y trazando por (M) la paralela a (U)U’.
Fig. 23
4.3. REPRESENTACIÓN DE LA RECTA.
Ya que el procedimiento de representación es el mismo que el visto para Isométrica, veamos la representación de ciertas rectas en posiciones particulares.
En la Fig. 24 podemos ver una recta a que corta al eje X, otra recta b que es paralela al plano YZ y la c paralela al eje X.
Fig. 24
Las rectas paralelas a la dirección de proyección (Fig. 25), son proyectantes, luego su perspectiva r’ se reduce a un punto. Si la recta ha de pasar por el punto A’‑A’1, su perspectiva r’ y la B’ de cualquier otro punto de ella, coincide con A’. Si además suponemos que el punto B es su traza vertical segunda, sus proyecciones B’1 y B’2 serán las intersecciones de Y’ y Z con las líneas de referencia A’A’1, y A’A’2, lo cual indica que las proyecciones A’1B’1 y A’2B’2 de la recta son paralelas a Z e Y’ y A’3B’3, a X, siendo ésta la propiedad que caracteriza a las rectas proyectantes.
Fig. 25
Si dos rectas r y s se cortan, las proyecciones A’‑A’1 del punto de intersección (Fig. 26) se encuentran sobre las intersecciones de las proyecciones homónimas respectivas de las rectas.
Fig. 26
4.4. REPRESENTACIÓN DEL PLANO.
La representación del plano en Caballera se representa por sus 2 trazas exactamente igual que en Isométrica.
Los planos paralelos a la dirección de proyección son proyectantes y tienen sus trazas confundidas, como sucede con el plano a de la Fig. 27. Se han dibujado las proyecciones de dos rectas contenidas en él, la r’‑r’1, determinada por sus trazas V’r y W’r y la horizontal h’‑h’1 de traza V’h. Las tres trazas son puntos elegidos arbitrariamente sobre h’a . Por ser las rectas coplanarias, se cortan en un punto A’-A’1. Las perspectivas de todos los elementos contenidos en el plano, se proyectan sobre su traza h’a -v’a.
Fig. 27
5.5. REPRESENTACIÓN DE FIGURAS Y SÓLIDOS.
Al igual que en la perspectiva isométrica, para representar cualquier figura o sólido en caballera, basta con representar las líneas, puntos y planos de los que estén compuestos, teniendo en cuenta el coeficiente de reducción que hay que aplicar a todas las medidas de líneas paralelas al eje Y.
En este sistema, las circunferencias representadas en el plano OXZ o paralelo a él, se dibujan como circunferencias normales, sin embargo, las representadas en los planos OXY, OZY o paralelos a los mismos, se representarán como elipses.