Tema 24B – Representación en perspectiva cónica frontal y oblicua

La perspectiva de un cuerpo es su representación tal y como aparece a un observador desde un cierto punto de vista, es decir, lo que se pretende con ella es reflejar el aspecto del cuerpo, dando la mayor sensación de realidad posible.

Según esto, los sistemas diédrico, acotado y axonométrico, no se pueden considerar como perspectivas verdaderas ya que representan al objeto tal y como lo vemos. Sólo la perspectiva cónica cumpliría con este requisito.

La perspectiva cónica se presenta cuando el observador está muy cerca del objeto y del plano de proyección. Se obtiene al intersecar los rayos de proyección a un plano interpuesto, en general, entre el objeto y el observador.

Se distinguen dos clases de perspectivas:

– Perspectiva artística: el artista dibuja el objeto tal y como lo ve en su imaginación, sin atenerse rigurosamente a las leyes teóricas de la perspectiva.

– Perspectiva geométrica: estudia las leyes para representar con exactitud lo observado. Según ella, se proyecta un cuerpo mecánicamente sobre un plano a partir de sus vistas y medidas.

La perspectiva geométrica es muy semejante, en teoría, al sistema óptico en fotografía. Toda fotografía es una imagen en proyección central.

A su vez, la perspectiva geométrica se divide en:

a) Perspectiva geométrica propiamente dicha o perspectiva lineal.

Representa la forma, el contorno y las principales líneas de los cuerpos, representándolos en un plano con precisión y con leyes geométricas, de tal forma que de a nuestra vista la impresión real, como si se estuviese viendo desde un punto elegido por el observador, con sus deformaciones naturales y reducciones aparentes producidas por el efecto de la distancia.

b) Perspectiva aérea o laminar.

Estudia la representación de los cuerpos mediante los colores, claroscuros, medias tintas y sombras, tanto propias como arrojadas, que da una mayor sensación de realidad.

2. – FUNDAMENTOS Y ELEMENTOS DEL SISTEMA CÓNICO.

En los sistemas diédrico, acotado y axonométrico se han proyectado los objetos mediante rayos paralelos entre sí de dirección única. Esto es por que el centro de proyección en estos sistemas está en el infinito, es decir, es un punto impropio.

En los sistemas cónicos de proyección, los rayos proyectantes pasan por un punto determinado, propio, del espacio, que llamaremos punto de vista. Los rayos proyectantes ya no serán paralelos, sino convergentes en el punto de vista, V, y con ello todos los conceptos y relaciones sufren las modificaciones inherentes al nuevo sistema, por ejemplo en los sistemas cónicos el paralelismo no se conserva, al contrario de lo que pasaba en los sistemas cilíndricos de proyección.

Entre los sistemas cónicos se distinguen:

· De proyección central, en el que se utilizan dos únicos elementos: el punto de vista, V, y el plano que recoge las proyecciones o plano del cuadro. Tiene el inconveniente de que carece de elementos de referencia para apreciar intuitivamente la forma, posición y situación del objeto en el espacio.

· De perspectiva lineal, en el que se incorpora un plano horizontal, llamado plano geometral, de tal manera que la proyección cónica se realiza del objeto y de su proyección sobre dicho plano horizontal. La perspectiva lineal, que es la que se va estudiar, se divide a su vez en:

o Perspectiva paralela, en posición de frente o de un punto de fuga (figura 1.A).

o Perspectiva oblicua o angular, que puede ser de dos (figura 1.B) y de tres puntos de fuga (figura 1.C).

La perspectiva cónica o lineal se define mediante los siguientes elementos (figura 2):

§ Plano del cuadro (π): es el plano de proyección.

§ Punto de vista (V): también llamado centro de proyección, es donde se supone que se sitúa el ojo del observador.

§ Punto principal (V´´ºP): proyección ortogonal del punto de vista sobre el plano del cuadro.

§ Plano geometral (PG): es el plano sobre el que se apoya el objeto a representar.

§ Línea de tierra (LT): intersección del plano del cuadro con el plano geometral.

§ Plano de horizonte (PH): plano paralelo al plano geometral que pasa por el punto de vista.

§ Línea del horizonte (LH): intersección de los planos del cuadro y de horizonte.

§ Alejamiento (D): la distancia del punto de vista al plano del cuadro. Es igual a la distancia de la proyección horizontal del punto de vista (V´) a la línea de tierra.

§ Plano de desvanecimiento (δ): plano paralelo al plano del cuadro y que pasa por el punto de vista.

§ Línea de desvanecimiento (RL): intersección del plano de desvanecimiento y el plano geometral.

En la figura 2 sea el punto (M) en el espacio y (M´) su proyección sobre PG. Las perspectivas de ambos sobre el plano del cuadro, π, están en las visuales V-(M) y V-(M´) respectivamente y también en la traza C-M del plano definido por estas visuales con el plano π. El plano que contiene a las visuales contiene a su vez a V-V´ y a (M)-(M´) y corta a PG según la recta (M´)-V´ y a la LT en el punto C.

Si proyectamos (M) y (M´) ortogonalmente sobre π, obtenemos los puntos A y B. Si unimos A y B con V´´ºP, obtenemos las proyecciones de las visuales que pasan también por M y M´ respectivamente. La distancia h o altura de M se ve en verdadera magnitud en A-B.

M se llama proyección directa o perspectiva de (M) y M´ proyección horizontal.

3. PROYECCIONES DEL PUNTO

Para ver con más claridad este apartado vamos a representar de perfil el sistema en el espacio, para después verlo en perspectiva cónica.

3.1.- Puntos situados detrás del plano del cuadro.

Como puede observarse en la figura 3, la proyección horizontal de los distintos puntos situados por detrás del plano del cuadro (A´, B´,….) se sitúa siempre entre LH y LT.

3.2.- Puntos situados en el plano del cuadro.

Su perspectiva son ellos mismos y las proyecciones horizontales se sitúan sobre la LT.

3.3.- Puntos situados por delante del plano del cuadro.

En este caso todos los puntos tienen la proyección horizontal por debajo de la línea de tierra (figura 4).

3.4.- Puntos situados en el plano de desvanecimiento.

Estos puntos tienen su imagen impropia.

4. PROYECCIONES DE LA RECTA.

En la figura 5 la recta (r) de proyección (r´) corta a π en R₂ (de proyección R´₂) y a PG en (R₁)º(R´₁).

El punto R₂-R´₂ forma parte de la perspectiva de la recta por estar en el plano del cuadro y se llama traza de la recta con el plano del cuadro.

Para hallar otro punto, trazamos una paralela a la recta (r) por el punto V. Esta paralela corta al plano del cuadro en el punto F, que recibe el nombre de punto de fuga de la recta , pues es la perspectiva del punto infinito de la misma. Uniendo R₂ con F, obtenemos la perspectiva r.

En cuanto a (r´), proyección de (r), su perspectiva se obtiene de la misma forma que (r), es decir, uniendo R₂´ con F´, el punto de fuga, que se encuentra siempre en la línea del horizonte.

El tercer punto característico de la recta es R₁-R₁´, traza con el plano geometral, y punto donde se cortan las dos proyecciones de la recta.

Un punto P-P´ está en una recta cuando sus proyecciones están sobre las proyecciones del mismo nombre de la recta, es decir, P está en r y P´ en r´.

Pasamos a estudiar las posiciones más importantes que puede ocupar una recta en el espacio y las perspectivas cónicas de las mismas.

4.1.- Recta contenida en el plano geometral.

Las perspectivas de la recta (r)-(r´) están confundidas según r-r´, siendo el punto de fuga un punto F-F´ de la línea de horizonte (FIGURA 6.A).

Si además de contenida en el plano geometral, forma un ángulo de 45º con el plano del cuadro (FIGURA 6.B), el punto de fuga coincide con uno de los puntos de distancia. Los puntos de distancia, D y D´, están situados sobre la LH a una distancia, d, igual al alejamiento de V con respecto al cuadro.

4.2.- Recta paralela al plano del cuadro (recta frontal).

En este caso, su proyección (r´) tiene como perspectiva r´, paralela a la LT y a LH. Mientras que la perspectiva de (r) es una recta oblicua cualquiera r. (FIGURA 7)

Si esta recta está en el mismo plano del cuadro, recta t-t´, su proyección directa t es ella misma y t´ está sobre la línea de tierra.

4.3.- Recta paralela al plano geometral (recta horizontal).

Este tipo de recta o recta horizontal tiene el punto de fuga F-F´ situado sobre la misma línea del horizonte (FIGURA 8).

4.4.- Recta perpendicular al plano del cuadro.

Toda recta perpendicular al cuadro fuga en el punto principal P (FIGURA 9).

4.5.- Recta cualquiera que forma 45º con el plano del cuadro.

Todos los puntos de fuga de las infinitas rectas del espacio que forman 45º con el cuadro estarán en una circunferencia, base de un cono de revolución de vértice el punto V y cuyo ángulo en el vértice sea de 90º. La citada circunferencia base, llamada circunferencia de distancia, tiene el centro en el punto principal V´´ºP y pasa por los puntos de distancia, ya que DP=PV (FIGURA 10).

Un caso particular de la recta que forma ángulo de 45 con el plano del cuadro es cuando ésta es además horizontal. Esta recta se caracteriza por coincidir su punto de fuga con uno de los puntos de distancia.

Y si esta recta horizontal que forma un ángulo de 45º con el plano del cuadro además está contenida en el plano geometral tendrá sus proyecciones r y r´ coincidentes.

4.6.- Recta perpendicular al plano geometral.

La proyección directa r es perpendicular a LT y la proyección horizontal, r´ es un punto (FIGURA 11).

4.7.- Recta que corta a la línea de tierra.

La única condición de esta recta es que sus dos perspectivas se cortan en la LT (FIGURA 12).

4.8.- Recta paralela a la línea de tierra.

Las perspectivas de una recta paralela a LT son dos rectas paralelas a LT(FIGURA 13).

4.9.- Recta de perfil.

Como puede apreciarse el punto F´ coincide con el punto principal V´´ºP y F está siempre en la perpendicular por P a la línea de horizonte, bien por encima o por debajo(FIGURA 14).

4.10.- Otras posiciones.

– Recta cuya traza horizontal pertenece al plano de desvanecimiento.

Cuando una recta (r)-(r´) tiene su traza con el plano geometral en el plano de desvanecimiento, tiene sus perspectivas r-r´ paralelas entre sí.

También indicar que dos rectas que se cortan en el plano de desvanecimiento tienen sus perspectivas directas paralelas.

– Recta que pasa por la vertical del punto de vista.

Las proyecciones de esta recta son coincidentes y perpendiculares a la línea de tierra, por lo que para definirlas hay que fijar dos puntos cualquiera de ella.

Como caso particular señalamos las rectas que pasan por el punto de vista, llamadas polares, que tienen confundidas en un punto la proyección , el punto de fuga y sus trazas con el cuadro y el geometral.

5.- REPRESENTACIÓN DEL PLANO.

En la figura 15 sea un plano α cualquiera que corta al plano del cuadro según la recta o traza α_c y al plano geometral según la traza (α_g). Estas dos rectas se cortan en un punto N de la línea de tierra.

La perspectiva de la traza α_ces ella misma por ser una recta del plano del cuadro. La perspectiva de (α_g) es α_g, que une el punto N del plano del cuadro con el punto F-F´ de fuga de la recta (α_g). Este punto de fuga se encuentra en la línea de horizonte por estar (α_g) incluida en el plano geometral.

El plano paralelo al dado que pasa por el punto de vista V, corta al plano del cuadro según la recta α_f , la cual es paralela a α_c y pasa siempre por F-F´. Esta recta α_fse llama recta de fuga o recta límite del plano, ya que es la perspectiva de la recta del infinito del mismo.

Las rectas del plano que son paralelas a (α_g) son horizontales de plano, es decir, paralelas al geometral, y tienen el mismo punto de fuga que ella. Así la recta r-r´ fuga en F-F´, como α_g, y donde r corta a α_c, punto R₂, es la traza de la recta con el plano del cuadro. La proyección r´ corta a la LT en R₂´, que es proyección de R₂.

La recta s´ que tiene su proyección s paralela a α_c y s´ paralela a la línea de tierra, es una recta frontal de este plano, cortándose s y s´ en un punto de α_g, ya que es la traza de la recta con el plano geometral.

Para situar un punto en un plano, se sitúa sobre una horizontal o sobre una frontal de dicho plano. Así el punto B-B´ pertenece al plano α, por estar en la recta r-r´.

Para situar una recta en un plano (FIGURA 16), bastaría con tomar dos puntos cualquiera de este plano y unirlos. Los puntos más cómodos son los de sus trazas α_g, α_c yα_f.

A continuación vamos a ver cómo son las perspectivas lineales de los tipos más importantes de planos.

5.1.- Plano perpendicular al cuadro.

El plano α, proyectante sobre el cuadro, corta a éste según la traza α_c, una recta oblicua. Su traza con el plano geometral es (α_g), recta perpendicular a la línea de tierra, por lo que su perspectiva es una recta que pasa por P-V´´, que coincide con el punto de fuga F-F´ (FIGURA 17).

5.2.- Plano que pasa por el punto de vista (plano proyectante).

Un plano que pase por el punto de vista en el espacio, tiene sus trazas con el cuadro, con el geometral y su recta de fuga coincidentes (FIGURA 18).

5.3.- Plano perpendicular al geometral (plano vertical).

El plano α, perpendicular al geometral, tiene su traza con el plano del cuadro perpendicular a la línea de tierra (FIGURA 19).

5.4.- Plano paralelo al cuadro (plano frontal).

Este plano sólo tiene traza con el geometral, siendo su proyección cónica paralela a la línea de tierra (FIGURA 20).

5.5.- Plano paralelo al geometral (plano horizontal).

La traza α_c, con el plano del cuadro es paralela a la línea de tierra. La perspectiva de (α_g) está sobre la línea del horizonte y confundida con α_f (FIGURA 21).

5.6.- Plano que pasa por la línea de tierra.

Las trazas con el cuadro y con el geometral están confundidas en la línea de tierra y la traza de fuga es una recta cualquiera paralela a L.T. y es la que define al plano (FIGURA 22).

5.7.- Plano paralelo a la línea de tierra.

Las tres trazas de este plano son paralelas a la línea de tierra. En proyección cónica una de ellas se deduce de las otras dos, así si situamos en la figura α_g y α_c, y colocamos una recta cualquiera r-r´ del plano, prolongando su r´ hasta la línea del horizonte obtendremos su punto de fuga F´ y refiriendo este punto a r se halla el punto F, por el que ha de pasar la traza de fuga α_f (FIGURA 23).

5.8.- Plano de perfil.

Este plano se caracteriza por tener su traza con el cuadro, α_c, perpendicular a la línea de tierra y por que al ser la traza (α_g) con el plano geometral también perpendicular a L.T., tendrá su proyección sobre el cuadro, α_g, situada sobre P-V´´, coincidente con su punto de fuga (FIGURA 24).

El plano de perfil ayuda a estudiar el sistema cónico, ya que da idea de la dimensión en profundidad. Por eso se nombra a la línea de tierra como eje X, a la traza α_c eje Y, y a la traza α_g eje Z.

6.-INTERSECCIONES.

6.1.- Intersección de rectas.

Si dos rectas, (r) y (s), se cortan en el espacio en un punto (I) las proyecciones directas y las proyecciones horizontales de dichas rectas se cortan respectivamente, en la proyección directa y horizontal de dicho punto, I e I´.

6.2.- Intersección de planos.

La intersección de dos planos (α) y (β) es una recta (i) que pertenece a ambos, luego las trazas y el punto de fuga de i serán las intersecciones respectivas de las trazas y rectas límites de los planos, es decir:

– La traza R-R´ de la recta con el cuadro será la intersección de α_c y β_c.

– La traza G-G´ de la recta con el geometral será la intersección de α_g y β_g.

– El punto de fuga F-F´ de la recta será la intersección de α_f y β_f.

6.3.- Intersección de recta y plano.

El punto intersección de una recta (r) con un plano α se halla haciendo pasar por la recta un plano auxiliar (β), que corta al dado según una recta (i). La intersección de esta recta, de proyecciones i-i´ , con r-r´ nos dará el punto buscado, I-I´.

Para hacer más sencillo el problema como plano β tomamos un plano vertical. Los pasos a seguir son los siguientes:

1) Trazamos el plano β que contiene a r y es perpendicular al plano geometral.

2) Hallar la intersección de β y α, que es la recta i-i´.

3) Hallar la intersección de las rectas r e i, que es el punto I-I´ buscado.

7.-ABATIMIENTOS.

7.1.- Abatimiento de un plano.

Sea la recta (r), de proyección r, contenida en el plano (α), de trazas α_c y α_f.

En el sistema cónico el eje de homología se corresponde con α_c, traza del plano α con el cuadro. El centro de homología coincide con V_o, abatimiento del punto de vista V tomando como charnela la traza α_f del plano de fuga de α, es decir, del plano paralelo a α que pasa por V.

Al abatir el plano de fuga alrededor de su traza α_f, el abatimiento V_o de V estará en la perpendicular PM a α_f y distará de ésta una longitud V_oM=MV. Esta distancia MV se puede hallar abatiendo el triángulo VPM sobre el cuadro alrededor de PM.

El abatimiento r_o de (r) se corresponde con su proyección R en una homología de eje α_c y centro V_o, siendo α_f la recta límite de la proyección r. Esto permite hallar r_o, trazando por R (traza de la recta con el cuadro) la paralela a V_oF, siendo F el punto de fuga de r. El abatimiento de un punto A de r es la intersección A_o del rayo V_oA con r_o.

En el plano del cuadro se siguen los siguientes pasos (FIGURA 29):

1) Hallar V_o. Para ello trazamos por P una paralela y una perpendicular a α_f. Llevamos sobre la paralela y a partir de P la distancia d (alejamiento de V con respecto al cuadro.), obteniendo el punto V₁. Por otro lado, la perpendicular corta a α_f en el punto M, a partir del cual llevamos sobre dicha perpendicular la distancia MV₁, lo que nos da V_o.

2) El abatimiento r_o de r se consigue simplemente trazando una paralela a V_oF a partir del punto r.

3) Para abatir el punto A de r, prolongamos el rayo V_oA hasta que corte a r_o, obteniendo en dicha intersección A_o.

A continuación vamos a ver dos casos particulares.

7.2.- Abatimiento del plano geometral.

Este es el caso más sencillo y de más frecuente uso en perspectiva. El método general se simplifica mucho por ser LT la traza con el plano del cuadro y LH la recta límite del plano geometral.

Como vemos en la figura 30, para hallar V_o trazamos la perpendicular por P a LH y sobre ella llevamos la distancia d, con lo que ya tenemos el punto buscado V_o. Queda por tanto la homología determinada por el centro V_o, el eje LT y recta límite LH.

7.3.- Abatimiento de un plano vertical.

El abatimiento V_o de V está sobre la LH y el de la traza geometral coincide con LT. Esto nos permite dibujar en verdadera magnitud sobre el abatimiento y referirlo a la perspectiva por medio de los rayos V_oA_o, V_oB_o, y V_oC_o,

8.-PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD Y DISTANCIAS

8.1.- Rectas paralelas.

Sean (r)-(r´) y (s)-(s´) dos rectas paralelas en el espacio. Al trazar por el punto de vista V la paralela a ellas obtenemos el punto de fuga F-F´, lo que nos indica que todas las rectas paralelas fugan en el mismo punto. Según esto, basta con unir las trazas de las rectas con el plano del cuadro, R₂-R₂´ y S₂-S₂´, con el punto de fuga común F-F´ y se obtienen las perspectivas r-r´ y s-s´ de las dos rectas paralelas (FIGURA 32).

8.2.- Planos paralelos.

Sean dos planos paralelos α y β (FIGURA 33). Las trazas α_c y β_ccon el plano del cuadro serán dos rectas paralelas. Sus trazas (α_g) y (β_g) con el plano geometral, por ser paralelas en el espacio, fugarán en un mismo punto de la línea de horizonte. Finalmente, las trazas α_f y β_f están superpuestas.

Para trazar un plano β paralelo a otro dado α, por un punto A-A´, trazamos por dicho punto una recta horizontal (h-h´) que pase por el punto de fuga F de la traza α_g; la traza T-T´ de la recta h-h´ con el plano del cuadro nos da un punto por donde pasa β_c, que es paralela a α_c. La traza β_g se obtiene uniendo N (punto de intersección de β_c con la L.T.) con el punto de fuga F.

8.3.- Rectas paralelas a un plano.

Para que una recta sea paralela a un plano basta que su punto de fuga esté en la recta de fuga del plano.

Si queremos trazar una recta paralela a un plano por un punto dado, puede intuirse fácilmente que el problema tiene infinitas soluciones, cuyo lugar geométrico es el plano paralelo al dado trazado por dicho punto.

Situando en el plano una recta cualquiera r-r´, determinando el punto de fuga F-F´ y uniendo éste con el punto P-P´ obtenemos una recta s-s´, paralela a r-r´ y, por tanto, al plano α (FIGURA 34).

8.4.- Recta perpendicular a un plano dado.

En la figura 35 tenemos el plano α en cónico, trazamos por V el plano paralelo a él, β. Este plano lo vamos a representar en el sistema diédrico formado por el plano del cuadro y el plano del horizonte, con lo que queda definido por sus trazas β₁ y β₂. Por el punto de vista trazamos la recta r´-r´´, perpendicular al plano β, que sabemos que tiene cada proyección perpendicular a la traza homónima del plano. Toda recta que fugue en el punto F-F´, traza vertical de r´-r´´, será perpendicular al plano, pues todas las rectas perpendiculares a un plano son paralelas.

Esto no podemos aplicarlo cuando el plano es paralelo a la línea de tierra. En la figura 36 tenemos el plano α y una recta normal a él en el espacio; el plano β, paralelo al α y la recta paralela a la normal que pasan por V nos definen el triángulo NVF, rectángulo en V. Este triángulo se construye con facilidad en proyección: dada la traza α_f del plano, unimos N con el punto de distancia D y por D la perpendicular DF a DN nos da en la prolongación de NP el punto de fuga de todas las rectas perpendiculares al plano α. Este método de trazar rectas perpendiculares mediante abatimientos se puede utilizar para todo tipo de rectas.

8.5.- Plano perpendicular a una recta dada.

Para trazar por un punto A-A´ un plano perpendicular a la recta r-r´, la cual fuga según el punto F-F´, se siguen los siguientes pasos (FIGURA 37):

1º Hacemos pasar por el punto de vista V un plano, proyectante ortogonal, cuyas trazas, β_c ,β_g ,y recta de fuga, β_f coinciden y pasan por F y por P.

2º Abatimos dicho plano sobre su charnela β_f, obteniendo el punto V_o y el rayo de fuga FV_o.

3º Por V_o trazamos la perpendicular a FV_o que cortará a traza β_f en el punto N, que pertenece a la recta de fuga del plano buscado, α_f,. Por lo tanto ya podemos trazar la recta de fuga, α_f,.del plano buscado ya que es perpendicular a β_f y pasa por dicho punto N.

4º Como el plano ha de pasar por el punto A-A´, trazamos una horizontal h-h´ por dicho punto y por su traza H₂ con el plano del cuadro se dibuja α_c, paralela a α_f. La traza α_g pasa por el punto de intersección de α_c con la línea de tierra y por el punto de intersección de α_f con la línea del horizonte.

8.6.- Planos perpendiculares.

Se trata de trazar por el punto A-A´ un plano perpendicular a otro plano dado α_c-α_g-α_f. Todo plano que sea perpendicular al dado, contendrá a la recta perpendicular a α que pasa por A-A´. Por ello el problema se reduce a trazar esta recta (FIGURA 38).

Pasamos al sistema diédrico cuadro-horizonte en el que el plano α tiene por trazas α₁-α₂, siendo α₂ la misma α_f y α₁ la recta VN. Por el punto P-V´ trazamos la recta perpendicular a α, s´-s´´, cuya traza vertical, es decir, con el cuadro, es el punto F-F´. Este punto es el punto de fuga de todas las perpendiculares al plano α.

La recta AF-A´F´ es t-t´, precisamente la perpendicular que pasa por A-A´. Un plano cualquiera β_c β_f que pase por ella es perpendicular al α. La traza β_f es cualquiera, pasando por F y β_c pasa por T_c (traza de la recta t con el cuadro) y es paralela a β_f.

8.7.- Rectas perpendiculares.

Para hallar una recta perpendicular a otra dada, r-r´, por el punto A-A´ se siguen los siguientes pasos (FIGURA 39):

1º Se traza el plano α_c α_g α_f, perpendicular a r-r´ por A-A´, siguiendo los pasos del apartado 8.5.

2º Hallar la intersección del plano α con la recta r. Para ello nos valemos del plano vertical β de la recta r. La recta i-i´ es la intersección de los dos planos (i´ coincide con β_g y la proyección i resulta de unir los puntos donde se cortan α_c con β_c, α_g con β_g, α_f con β_f). Obtenemos el punto I-I´ de la intersección de i-i´ y r-r´.

3º Unimos I-I´ con A-A´ obtenemos la recta s-s´, perpendicular a r-r´ por A-A´.

8.8.- Ángulo de dos rectas.

Los problemas de ángulos entre rectas y planos se reducen, en general, al de ángulos entre rectas.

El ángulo formado por dos rectas es igual al formado por sus rayos de fuga y puede obtenerse por abatimiento del plano determinado por las rectas, si éstas se cortan.

Sean F_r y F_s los puntos de fuga de dos rectas r y s. Las paralelas a ambas que pasan por el punto de vista V determinan un plano proyectante α, paralelo a las rectas. Si abatimos dicho plano, obtenemos los rayos de fuga abatidos V_oF_r=r_o y V_oF_s=s_o, cuyo ángulo, θ, es el buscado (FIGURA 40).

8.9.- Ángulo de una recta con el plano del cuadro.

Para determinar el ángulo que forma la recta r con el cuadro se utiliza un plano, α_c α_g α_f, proyectante ortogonal del rayo de fuga, por lo sus trazas son coincidentes y pasan por el punto de vista P y el punto de fuga de la recta, F. Al abatir este plano obtenemos el rayo r_o=V_oF abatido, que forma el ángulo buscado θ con α_f (FIGURA 41).

El lugar de los puntos de fuga de las rectas que forman con el cuadro un ángulo θ dado, es el círculo C_θ (circulo de inclinación θ) de centro P y radio PF.

Si θ=45^º el círculo de inclinación coincide con el círculo de distancia.

Si θ=90^º el círculo de inclinación se reduce al punto P.

8.10.- Coordenadas de un punto: escalas.

Consideramos el plano de perfil β que pasa por el punto de vista. El punto del espacio (A)-(A´) queda definido por las coordenadas (FIGURA 42):

(X) distancia al plano β.

(Y) distancia al plano del cuadro.

(Z) distancia al plano geometral.

Construimos el paralelepípedo que tiene por aristas las coordenadas del punto. Veamos cómo se obtiene la perspectiva de cada una de estas tres coordenadas:

– Siendo A-A´ las perspectivas del punto, la perspectiva de (X)=NR=MS es x, paralela por el punto A a la línea de tierra y limitada en A´´ por la recta V´´S.

– Si construimos la recta (A´)-T que forma 45^o con la línea de tierra, se verifica que (Y)=(Y´)=(A´)M=MT. La perspectiva del segmento (Y) es y=NA, que fuga en V´´ por ser (A)N perpendicular a la línea de tierra.

– La cota (Z)=MN tiene por perspectiva el segmento A-A´.

Pasemos ahora al plano del cuadro. Las perspectivas de las tres coordenadas del punto A-A´ son los segmentos x, y, z, marcados más gruesos. Y sus verdaderas magnitudes serán:

(x)=MS

(y)=MT, obteniendo el punto T en la línea de tierra al unir A´ con el punto de distancia.

(z)=NM.

Según esto, teniendo las perspectivas x, y, z, y las verdaderas magnitudes (x), (y), (z), de las coordenadas, podemos construir las llamadas escala de alturas, escala de longitudes y escala de profundidades.

8.11.- Puntos de medida.

Los puntos de medida constituyen un método auxiliar para llevar segmentos conocidos sobre rectas situadas en el plano geometral.

El punto de medida de una recta r situada en el plano geometral se define como el punto límite o de fuga de las rectas situadas en el plano geometral que forman el mismo ángulo con (r) y con la línea de tierra, es decir, perpendiculares a la bisectriz del ángulo que forman (r) y L.T.

Como se observa en la figura 43.A, estas rectas (s, t) delimitan en la línea de tierra segmentos iguales a los de magnitud real de la recta (r), es decir R-1=R-2, 1-3=2-4…

Para hallar M se trazan por V las paralelas a (r) y a s, obteniéndose F y M, puntos de fuga respectivos, en la línea del horizonte. El triángulo VFM es isósceles, pues VF=FM. Abatimos este triángulo sobre el cuadro y obtenemos V_oFM. Según esto para hallar M, con centro en F y radio FV, se traza el arco que corta en M a la línea de tierra.

Ya en el cuadro (figura 43.B), tenemos el segmento AB en perspectiva sobre r-r´ cuyo punto de fuga es F,. Con centro en F y radio FV_o se construye el arco que nos da M. Basta con unir el punto de medida M con A y B para tener N y S en la Línea de tierra, siendo NS verdadera magnitud de AB.

El concepto de punto de medida se puede generalizar al de círculo de medida cuando se trata de cualquier recta situada en espacio. El círculo de medida (C_m) se define como el lugar geométrico de todos los puntos de fuga de las rectas que forman el mismo ángulo con otra dada r y con la traza de cualquier plano que la contenga y es una circunferencia de centro F_r (punto de fuga de la recta r) y radio la distancia F_rV₁.

9.- PUNTOS DE CONCURSO, MÉTRICOS, INACCESIBLES Y ESCALAS.

9.1.-Puntos de concurso.

Se llaman puntos de concurso a todos los puntos del horizonte a los cuales dirigimos líneas horizontales. Son en general puntos de fuga, ya que éstos son en los que concurren todas las rectas paralelas a una misma dirección.

Como los cuerpos a representar les podemos considerar en general apoyados en el plano geometral, veremos la forma de hallar los puntos de concurso o de fuga de las rectas situadas en el plano geometral.

En la figura 44 vamos a proyectar un cuadrado (A)(B)(C)(E) situado sobre el geometral. Por V₁´, la proyección ortogonal del punto de vista V sobre el geometral, trazamos paralelas a las dos direcciones de los lados del cuadrado, hallando los puntos de fuga F₁ y F₂. A continuación hallaremos la proyección directa de las rectas que forman el cuadrado y dónde éstas se cortan tenemos los puntos A, B, C y E.

Otros puntos de concurso es el punto diagonal D_g, que es el punto de fuga de la diagonal de un cuadrado situado en posición horizontal y que ésta no sea ortogonal al plano del cuadro. A éste punto también se le suele llamar punto bisectriz, ya que es también el punto de fuga de la dirección de la bisectriz de dos rectas que forman 90^o.

Cuando los puntos de fuga se hallan sobre el horizonte se les llama también puntos accidentales, que son a los que se dirigen todas las horizontales que no forman ni 45^o ni 90^o con el plano del cuadro. Cuando las rectas forman 45^o y 90^o con el plano del cuadro tienen por fuga los puntos de distancia y el punto principal respectivamente.

9.2.- Puntos de medida.

Con el auxilio de los puntos de concurso necesitamos trazar la planta de la figura a representar en la perspectiva. Sin embargo con la ayuda de los puntos de medida no tenemos necesidad de dibujar dicha planta, sino que basta con el conocimiento de las dimensiones de la figura a representar.

Como ya se vio en el apartado 8.11, el punto de medida M de una recta r es el punto de fuga de todas las paralelas que llevan a la perspectiva de la recta segmentos dados en verdadera magnitud sobre la línea de tierra.

Se trata en este caso de hallar la perspectiva de un rectángulo de 5 x 3 unidades dado su vértice A sobre la línea de tierra y el lado AB forme 30^o con el plano del cuadro (FIGURA 45).

Para ello hallamos los puntos de fuga:

– F₁ de la recta V´R que forma un ángulo de 30^o con el plano del cuadro.

– F₂ de V´S, perpendicular a V´R.

Los puntos de medida se hallan trazando los arcos de centro F₁ y F₂ y de radio F₁V y F₂V, hasta que corten a la línea del horizonte en los puntos M₁ y M₂. Luego a cada punto de fuga le corresponde un punto de medida.

A partir del punto (A) dado llevamos sobre L.T. los segmentos (A)(B)=5 unidades y (A)(E)= 3 unidades. Se trazan las rectas (B)M₁ y (E)M₂; donde éstas encuetran a F₁(A) y F₂(A) tenemos los puntos B y E. Donde se cortan EF₁ y BF₂ obtenemos el punto C.

9.3.- Línea de escala.

Ya hemos visto cómo se hallan los coordenadas X, Y, Z, de un punto cualquiera dadas sus proyecciones cónicas. Ahora vamos a aprovecharnos de este problema y su inverso para representar cuerpos conociendo sus magnitudes, mediante la construcción previa de las líneas de escala.

Se nos puede presentar tres líneas de escalas distintas que son (FIGURA 46):

– Escalas de frente, anchuras o longitudinales. Se utilizan para medir o situar medidas sobre líneas paralelas a L.T., independientemente de su profundidad.

A partir de un punto cualquiera 0 de la línea de tierra se llevan divisiones equivalentes a un metro (puntos 1, 2, 3,…). Uniendo estos puntos con el punto principal P, estas rectas interceptan a cualquier recta paralela a L.T., que así queda dividida en unidades de un metro. La razón por la que se ha escogido el punto P es por que es donde fugan las rectas paralelas a la L.T., pero se podía haber escogido cualquier otro punto.

– Escalas de alturas. Nos sirve para medir rectas verticales o llevar medidas sobre ellas.

Sobre el punto O de la L.T. trazamos la vertical y sobre ella llevamos los puntos 0, 1, 2, 3… distantes entre sí un metro y unimos dichos puntos con P. Estas rectas interceptan en cualquier vertical segmentos cuya magnitud es un metro.

– Escalas de profundidades o de fuga. Nos sirve para medir la tercera dimensión de los cuerpos y podemos medir alturas sobre líneas de fuga que se dirigen al infinito

Sobre la L.T. y a partir del punto O tenemos los puntos 1, 2, 3,…, que representan metros. Uniendo estos puntos con el punto de distancia D, obteniendo unas rectas que cortan la recta OP en los puntos 1´, 2´, 3´,…que son precisamente las divisiones equivalentes a un metro representadas en profundidad.

9.4.- Puntos inaccesibles.

Puede ocurrir que bien los puntos de distancia o bien los de fuga de alguna dirección, por las condiciones particulares del problema, nos resulten inaccesibles.

Supongamos, por ejemplo, que es muy grande la distancia principal y, por ello, los puntos de distancia nos caen fuera de los límites del dibujo. Lo que hacemos es fraccionar la medida conocida PD=PD´ en las fracciones que se quiera, en este caso: la mitad, un cuarto, etc., hasta que los nuevos puntos (PD/2, PD/4,…) de distancia estén dentro del dibujo. A estos puntos se les llama puntos de distancia reducidos.

Por otro lado, dividimos de igual forma la magnitud (A)(B) sobre la línea de tierra, obteniéndose los puntos (A)(B)/2, (A)(B)/4,…Si unimos estos puntos con PD/2, PD/4,…respectivamente, obtenemos una serie de rectas que cortan a la recta r-r´ en el mismo punto, B, que es el que queríamos hallar.

10.- METODOS PERSPECTIVOS.

Para dibujar la perspectiva de un objeto hay que determinar la de los puntos y líneas que definen su contorno y la de sus elementos más representativos.

Esto puede hacerse de diferentes formas, según cual de los llamados métodos perspectivos se elija. Esta elección dependerá de la naturaleza de la figura, de su posición y de los datos que se conozcan.

1) Método directo o de trazas visuales. (FIGURA 48)

Consiste en trazar el rayo visual de cada punto y hallar su traza con el cuadro.

Es un método muy sencillo de construcción y concepto, pero requiere muchas líneas auxiliares y si la determinación de los puntos no se hace con gran exactitud, se pueden originar confusiones, por lo que este método sólo es apropiado para perspectivas de puntos aislados o de figuras sencillas.

2) Método de coordenadas. (FIGURA 49)

Consiste en determinar las perspectivas de puntos aislados por medio de sus coordenadas. No es necesaria la proyección del punto de vista ni aún de la planta del objeto, con tal de que se disponga de otras proyecciones. Es un método sencillo y muy utilizado.

3) Métodos de trazas y puntos de fuga. (FIGURA 50)

Consiste en determinar las perspectivas de las rectas por sus trazas y puntos de fuga y la de los puntos como intersecciones de rectas conocidas. Apropiado para perspectivas de figuras con un gran número de lados paralelos.

4) Métodos de planta y altura. (FIGURA 51)

Consiste en dibujar la perspectiva de la planta y luego hallar la altura de cada punto directamente o por la escala de alturas.

5) Método de abatimiento. (FIGURA 52)

Se utiliza en figuras cuyas líneas principales o de difícil trazado están contenidas en un plano.

6) Método de corte. (FIGURA 53)

Consiste en tomar como plano del cuadro una sección normal del cuerpo o una de sus caras principales.

Anexo I

BIBLIOGRAFÍA

Ø GUTIERREZ VAZQUEZ, ANGEL y OTROS: Dibujo Técnico, Manuales de Orientación Universitaria. Ed. Anaya.

Ø REPHINGER GONZÁLEZ, ARTURO: Dibujo Técnico, Bachillerato Logse. Ed Anaya.

Ø RODRÍGUEZ DE ABAJO, FRANCISCO JAVIER y ALVAREZ BENGOA, VICTOR: Dibujo Técnico. Ed. Donostiarra.

Ø RODRÍGUEZ DE ABAJO, FRANCISCO JAVIER y ALVAREZ BENGOA, VICTOR: Dibujo Técnico, 2º de Bachillerato. Ed. Donostiarra.

Ø RODRÍGUEZ DE ABAJO, FRANCISCO JAVIER y REVILLA CAMPO, ALBERTO: Tratado de perspectiva. Ed. Donostiarra.

Ø SENABRE, Jorge: Dibujo Técnico. Ed. Edelvives.