Tema 43 – Esfuerzos mecánicos. Composición y representación de esfuerzos

1.INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES.

1.1.Tipos de cargas.

1.2.Medios de unión y apoyos. Reacciones.

2.CÁLCULO DE ESFUERZOS EN PIEZAS SIMPLES.

2.1. Determinación de las reacciones.

2.2. Cálculo de esfuerzos internos.

2.3. Tensión y deformación.

2.3.1. Constantes mecanogeométricas de las secciones planas.

2.4. Curva tensión – deformación.

2.4.1. Comprobación de una tensión.

2.5. Flexión.

2.5.1. Hipótesis del análisis de la flexión pura.

2.5.2 Cálculo del alargamiento unitario de una fibra cualquiera que diste y de la fibra neutra.

2.5.3. Diagrama de s para una sección. Ley de Navier

2.5.4 Flexión simple.

2.5.5. Convenio de signos

1. INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES.

El estudio de los esfuerzos mecánicos a los que están sometidos los sólidos lo realiza la RESISTENCIA DE MATERIALES.

Se puede definir la Resistencia de Materiales como la ciencia que estudia y desarrolla el cálculo de la resistencia mecánica, rigidez y estabilidad de las piezas y elementos constructivos. Entendiendo como:

* Resistencia mecánica: la capacidad de oposición a la rotura.

* Rigidez: la capacidad de oposición a las deformaciones.

* Estabilidad: la capacidad de un elemento de oponerse a perturbaciones, manteniendo el equilibrio.

El objetivo de la resistencia de materiales es obtener una serie de ecuaciones para cuantificar la tensión y deformación que se produce en una barra o pieza de una estructura, con el fin de dimensionarla correctamente y poder determinar el material más adecuado, la forma y dimensiones más convenientes que hay que dar a los elementos de una construcción o máquina para que puedan resistir la acción de fuerzas exteriores que los solicitan, así como para obtener este resultado de la forma más económica.

La resistencia de materiales, así como el cálculo de esfuerzos, varía en función de sus características, con el fin de conocerlos un poco mejor, pasamos a clasificar de una manera teórica los tipos de sólidos en función de su comportamiento.

Ø Sólidos rígido. Ante la aplicación de una fuerza exterior no se deforma.

Ø Sólido deformable. Cambia su dimensión y forma si se le aplica una fuerza exterior.

· Cuerpo elástico. Una vez retirado el esfuerzo recupera su forma inicial.

Existen dos tipos de sólidos elásticos:

* Sólidos elástico lineal.

Cumplen la ley de Hooke. Las tensiones son proporcionales a las deformaciones.

	Por ejemplo los aceros

* Sólido elástico no lineal.

Las deformaciones no son proporcionales a las tensiones.

A los materiales elásticos se les suponen dos características:

* La homogeneidad, tienen las mismas propiedades en todo el cuerpo.

* La isotropía, Las propiedades son las mismas en todas las direcciones del cuerpo.

· Cuerpo plástico. Después de la deformación no se recupera.

Los cuerpos ante la aplicación de una fuerza exterior tienen un límite en el que se comportan como elásticos, si se sobrepasa ese límite pasan a comportarse como plásticos. Desde un punto de vista de construcciones interesan los cuerpos elásticos pero no todos lo son (hormigón).

Nosotros para el desarrollo de este tema y para efectos de cálculo vamos a tomar a los cuerpos como sólidos ideales; que cumplen las siguientes condiciones:

§ Elásticos.

§ Homogéneos (tienen las mismas propiedades en todos sus puntos).

§ Isótropos (la propiedad que consideremos se cumple de la misma forma siempre).

Para poder calcular los esfuerzos mecánico es necesario saber los tipos de fuerzas que actúan sobre el sólido así como las uniones de una estructura.

1.1.Tipos de cargas.

La solicitud exterior a que esta sometida cualquier elemento de una estructura o de una máquina esta constituida por.

· Fuerzas activas o directamente aplicadas llamadas acciones o cargas.

· Fuerzas reactivas o reacciones de las ligaduras.

Atendiendo al área de la superficie sobre las que actúan las cargas se clasifican en:

· Cargas puntuales o concentradas. Son aquellas que actúan en una superficie muy pequeña en relación con las dimensiones de la pieza. Son por tanto, asimilables a fuerzas puntuales. El peso de un hombre sobre un tablero de madera es una carga concentrada.

· Carga distribuida o repartida. Son aquellas que se encuentran repartida uniformemente o variablemente, sobre áreas determinadas del elemento en estudio. Son ejemplos de cargas repartidas el peso propio de una viga, el empuje de tierras sobre un muro, la acción del viento sobre el edificio.

Según la forma y dirección, de la acción o carga se clasifican en:

Ø Esfuerzo axial o normal (N). Las cargas van en la dirección de la barra. Dentro de esfuerzos axiales podemos encontrar dos tipos de esfuerzo:

– De tracción. Si tienden a estirar la barra.

– De compresión. Tienden a comprimir la barra.

Ø Cortante o tangencial (L). Son cargas perpendiculares al eje longitudinal de la barra.

Ø

Momento flector (M). Son aquellas cargas que producen una rotación en el nudo por el que esta unido la barra, para que esto se produzca es necesario que exista una acción y un brazo (longitud) de rotación.

Ø Momento torsor. Se nombra como M_T. Tiende a hacer rotar el cuerpo respecto del eje x.

También se pueden agrupar las cargas en función de su aplicación, si se aplican lentamente y no aparecen fuerzas de inercia serán cargas estáticas, si por el contrario se aplican bruscamente, o cuando el valor de la carga varia en función del tiempo, lo que provoca la aparición de fuerzas de inercia acompañadas de fenómenos vibratorios serán cargas dinámicas.

Una vez conocidos los tipos de cargas, para poder empezar a calcular esfuerzos, es necesario conocer los tipos de uniones y sus reacciones.

1.2.Medios de unión y apoyos. Reacciones.

Para garantizar el equilibrio, y además que éste sea estable, de cualquier elemento de una estructura o máquina, y de la estructura o maquina misma en su conjunto, es preciso establecer vínculos eficaces entre los diversos elementos y entre estos y el suelo. Ello se consigue mediante los medios de enlace o unión (nudos).

Las reacciones son las fuerzas que se producen en los nudos y que dependen de las acciones o cargas a que este sometido el sólido, ya que las reacciones se oponen a las acciones y son iguales pero en sentido contrario al sumatorio de las cargas.

En una unión nos podemos encontrar tres tipos de reacciones diferentes R_x (las que se producen en el eje X), R_y (las que se producen en el eje Y), M (momentos).

Las uniones se caracterizan por el número de movimientos o grados de libertad que impiden o anulan. Pueden clasificarse en completos o incompletos, según que imposibiliten o no todos los movimientos posibles.

Dependiendo de los movimientos que impiden aparecerán unas reacciones otras.

Los distintos tipos de apoyos se pueden clasificar de la siguiente manera:

v Apoyo simple. Impide sólo el desplazamiento en una determinada dirección, permitiendo el desplazamiento en el otro eje y del giro.

Este tipo de apoyo permite el equilibrio únicamente cuando las cargas actúan perpendicularmente a la superficie de apoyo.

Nos podemos encontrar de distinta manera este tipo de apoyo:

v Articulaciones. Este tipo de apoyo, denominado también apoyo fijo, impide cualquier tipo de desplazamiento, dejando libre el giro. La reacción que se produce en el enlace se puede descomponer en dos reacciones, R_x y R_y.

Y

R

R_Y

R_X Y

v Unión fija o empotramiento. Impide cualquier desplazamiento de una pieza con respecto a otra, su finalidad es asegurarla immovilidad de la pieza. Las reacciones que este nudo provoca son, una reacción R (R_x ,R_y ), y un momento (M). Y

R_Y R

X M R_X

Una vez conocido que tipos de enlaces o medios de unión nos podemos encontrar, y una vez sabido que son las cargas y las diferencias entre unas y otras. Es necesario que conoccamos como se determinan las reacciones en los apoyos.

2. CÁLCULO DE ESFUERZOS EN PIEZAS SIMPLES.

2.1. Determinación de las reacciones.

La determinación de las reacciones en los apoyos de una pieza se efectúa por los métodos generales de estática. Dado que el sistema de fuerzas por las cargas aplicadas y las reacciones originadas en los apoyos, debe constituir una sistema en equilibrio, basta aplicar las condiciones de equilibrio que para un sistema plano son:

åF_x = 0

åM = 0 åF = 0 åF_y = 0

Un cuerpo este en equilibrio, cuando inicialmente esta en reposo,y sigue quieto (no se desplaza, no gira).

0

åF = m ´ a åF = 0

0

åM = I´a åM = 0

Para que el anterior sistema de ecuaciones admita una solución única es preciso que el número de las reacciones en los apoyos (incógnitas) sea igual al número de ecuaciones planteadas, diciéndose entonces que el sistema es isostático. Tal es el caso de la figura siguiente.

8 Kp

R_AY 3 m R_BY

º A B º R_BX

4 m

åM = 0 = R_BY´4 m – 8 Kp´3m= 0 R_BY= 6 Kp

åF_y = 0 = R_AY +R_BY – 8 = 0 , R_AY = 8-6= 2Kp

åF_X = 0 R = 0

En caso de que el número de ecuaciones sea superior al número de incógnitas el sistema es incompleto y constituye un mecanismo. En la figura siguiente se observa que ningún apoyo es capaz se absorber la componente horizontal de la carga P, y en consecuencia la pieza se desplaza lateralmente.

q

R_AY R_BY

º A B º

º º º º

Si por el contrario, el número de incógnitas es superior a tres, el sistema se denomina estáticamente indeterminado o hiperestático, siendo preciso establecer ecuaciones de deformación que nos permitan igualar el número de ecuaciones al de incógnitas. Al exceso de incógnitas respecto al número de ecuaciones de lo denomina grado de hiperestabilidad. La pieza de la figura siguiente constituye un sistema hiperestático de segundo grado.

M R_AY R_BY

A B º R_BX

R_AX º º

Guía de cálculo de una estructura.

1. Diseño de la estructura.

2. Determinación de acciones.

3. Selección del sólido libre.

4. Esquema del sólido libre.

– Acciones.

– Reacciones.

5. Cálculo de reacciones (åM = 0, åF = 0).

6. Esfuerzos internos.

7.

Tensiones.

8. Deformaciones.

Vamos a realizar el cálculo de una estructura de un caso práctico, para poder ver así, más detalladamente, todos los pasos citados anteriormente.

1. Diseño de estructura.

2m 3m

1`25 m

5m

2. Determinación de las acciones.

Peso del hombre.

No considero el peso de las barras.

3. Selección del sólido libre.

Vamos a ir cortando o seleccionando todas las barras juntas y por separado para ir realizando los cálculos. Solo se pintan reacciones en los nudos que se hayan cortado para liberar el sólido.

Aislamos la barra de arriba.

80 Kp

R_1x

R_1y R_2y

åM = 0 80´2-R_2y´5=0 R_2y = 32 kp

åF_x = 0 R_1x=0 ; åF_y = 0 R_1y+32-80=0 R_1y = 48 kp

Seguiríamos el cálculo de la estructura aislando cada una de las barras y repitiendo el proceso.

Continuaremos el caso práctico una vez conocido de una manera teórica el calculo de esfuerzos internos, la representación de los diagramas de esfuerzos.

2.2. Cálculo de esfuerzos internos.

El dimensionado de la viga exige el conocimiento de los valores que adoptan los esfuerzos y el momento flector en cada sección de la misma.

Como norma general a la hora de estudiar una viga se seguirán los siguientes pasos:

1.- Determinación del carácter de la viga: Isostática o hipererestática.

2.- Cálculo de las reacciones sobre los apoyos:

* Aplicando las ecuaciones de la estática (SF=0, SM=0), en caso Isostático.

* Aplicando las ecuaciones de la estática y alguna condición de contorno, en el caso hiperestático (ecuaciones de deformación).

3.- Determinación de los diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes.

4.- Determinación de las sección mas peligrosa y cálculo de la sección total de la viga con los datos obtenidos en la sección más peligrosa.

El cálculo de las reacciones en los apoyos y la determinación de del diagrama de momentos flectores depende del tipo de apoyos y de la distribución de la carga sobre la viga.

Como ejemplo se estudiará el caso de vigas isostáticas simplemente apoyadas, con tres tipos de cargas: Carga puntual, carga uniformemente distribuida y carga con una distribución triangular

a) Viga simplemente apoyada con una carga puntual aplicada en el centro de la viga.

En primer lugar determinaremos las reacciones:

S F_V = 0Þ

Tomando momentos respecto del punto medio:

S M_O=0 Þ

Despejando en las dos ecuaciones obtenemos R_A=R_B=P/2

Leyes de momentos flectores

El momento flector máximo se presentará en el punto medio de la viga, su valor será:

b) Viga simplemente apoyada con una carga uniformemente distribuida

Se representa por P la carga por unidad de longitud. Suele expresarse en toneladas por metro lineal (ton/m).

Las reacciones se determinan por simetría:

En este caso sólo existe una ecuación de momentos para toda la viga:

ecuación de una parábola, por lo que el diagrama de momentos flectores será un arco de este tipo de cónica.

Para hallar el momento flector máximo se iguala a cero la primera derivada:

que sustituyendo nos da un valor:

c) Viga simplemente apoyada con carga triangular

Supondremos variable la carga por unidad de longitud, aumentando linealmente desde 0 en el apoyo A hasta el valor p_máx en el B

Las cargas p dx sobre cada elemento diferencial de viga constituyen un sistema de vectores paralelos cuya resultante, la carga total , P, es:

y tiene por línea de acción la recta x=2/3 l. (La carga total P está aplicada en el centro de gravedad del triángulo).

De las ecuaciones de la estática obtenemos las reacciones

de donde obtenemos R_A y R_B:

La ley de esfuerzos cortantes será única para cualquier sección de la viga

La ecuación de momentos será única y tendrá validez en 0 £ x £ l

Para obtener el momento máximo, derivamos e igualamos a cero:

con lo que el momento máximo valdrá:

Continuamos con el ejemplo práctico.

4. Cálculo de esfuerzos internos.

Una vez calculadas las reacciones, hay que calcular los esfuerzos, para ello podemos seguir el siguiente método:

1. Conocer el número de tramos (en función de la aparición de nuevas fuerzas).

2. Establecer un sistema de referencia (definir el origen y la dirección de las X).

3. Delimitar la distancia de los tramos.

4. Calcular las ecuaciones de esfuerzos.

5. Realizar los diagramas de esfuerzos (representación de las ecuaciones).

80 Kp

0kp

48kp 32kp

2m 5m

Siguiendo el esquema anteriormente citado.

1. Número de tramos: 2

2. Sistema de referencia.

0£x£2 1º tramo.

2£x<5 2º tramo.

3. Ecuaciones.

Axiales (N). No hay.

La ecuación de cortantes:

0£x£2 L= 48 kp

2£x<5 L=-32kp

Ecuación de momentos.

Si 0£x£2 M= 48*x

Si 2£x<5 M= 48*x-80*(x-2)

5. Diagramas.

CORTANTES

48kp

-32 kp

MOMENTOS

96kp

Como nos indican los diagramas el punto más desfavorable esta en x=2.

2.3. Tensión y deformación.

En Resistencia de Materiales se entienden los esfuerzos como fuerzas imaginarias que aparecen en el interior de los elementos o piezas cuando están sometidos a cargas exteriores, estos esfuerzos también llamados tensiones nos sirven para saber el límite de resistencia, comparándolo con la resistencia veremos si una pieza aguanta o no. Los esfuerzos axiales se reparten de manera uniforme en la sección, pero hay otros que no y hay que hallar la sección en cada punto. Habrá que estudiar la manera en que se reparten los esfuerzos en la sección y hallar ecuaciones que regulen esa distribución y me de un valor de la tensión. Estos esfuerzos modelizan el comportamiento real de los elementos. Se denominan deformaciones a las variaciones de sus dimensiones iniciales por efecto de las fuerzas aplicadas. Hay que hallar una ecuación que responda a la curvatura de la pieza y el punto de deformación máxima y comparándolo con un límite de deformación veremos lo que se puede o no hacer.

Supongamos que tenemos una barra de acero y longitud inicial l₀ y aplicamos a sus extremos dos fuerzas iguales y opuestas, P, alineadas con el eje de simetría del material las cuales tienden a estirar el material. Se dice entonces que la barra está sometida a tracción. Debido a estas fuerzas la barra se deforma, es decir, sufre un alargamiento, d. La longitud final será por tanto

Se denomina deformación unitaria, e, a la deformación de la barra por unidad de longitud. Su valor vendrá dado por el cociente entre el alargamiento d y la longitud inicial l_0.

(adimensional)

Dos caras contiguas de una sección recta cualquiera permanecen unidas en una pieza sometida a tracción, por que aparece una fuerza interna, uniformemente distribuidas sobre toda la sección.

Esta distribución uniforme de fuerzas es lo que se denomina esfuerzo. También llamado tensión. El valor de su intensidad, s, viene establecido por el cociente entre la carga exterior aplicada , P, y el área de la sección recta inicial sobre la que actúa A₀

Las unidades serán N/mm² . Aunque la más comúnmente utilizada es Kg/cm²

* Principio de St. Vennant

La formula anterior la podemos aplicar en materiales homogéneos e isótropos, es decir en materiales que tienen la misma composición en cada punto.

En la cercanía del punto donde se ha aplicado la fuerza exterior se producen efectos locales, que nos dan como resultado una distribución no uniforme de las tensiones, lo mismo que ocurre en las proximidades de los cambios de sección, debido a que son zonas de acumulación de esfuerzos.

Sin embargo podemos establecer que para puntos suficientemente alejados de estas zonas la formula nos aproxima con suficiente fiabilidad a la realidad. Para elementos delgados, a una distancia tres veces la anchura de la barra pueden suponerse despreciables esos efectos locales. Está hipótesis se conoce con el nombre de Principio de St. Vennant

2.3.1. Constantes mecanogeométricas de las secciones planas.

Son datos constantes característicos de cada barra, perfil o viga que aparecen en las ecuaciones de la tensión y son:

– área.

– Momento de inercia.

– Radio de giro.

– Módulo resistente o flector.

El área es el tamaño de la superficie de sección.

MOMENTO DE INERCIA

Como una sección no tiene espesor, no tiene volumen ni masa. O sea que conceptualmente no se puede hablar de momento de inercia de masas, así que nos referiremos a las áreas.

X

Y

Ø Momento de inercia de un rectángulo con respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad.

RADIO DE GIRO

Distancia a la que abría que volcar toda el área de la sección en un punto para que produzca el mismo momento de inercia.

En una sección rectangular:

MÓDULO RESISTENTE (w)

W = I / d_máximo

Sección rectangular:

W = (b·h²) / 6

2.4. Curva tensión – deformación.

La elasticidad es una de las propiedades mecánicas de los materiales. Está relacionada con la deformación que sufren cuando se les somete a cargas exteriores. Se puede definir como la cualidad que tienen los cuerpos de recuperar su forma primitiva cuando se les descarga de las fuerzas aplicadas. Si el elemento deformado recupera totalmente sus dimensiones iniciales cuando se eliminan las cargas exteriores aplicadas se dice que ha sufrido una deformación elástica. Por el contrario, si al eliminar las cargas exteriores el elemento queda con deformación permanente se dice que ha experimentado una deformación plástica.

El método más usual para determinar está y otras propiedades mecánicas en los metales es el Ensayo de tracción. Este ensayo relaciona la deformación que va sufriendo la probeta se metal con la carga creciente que se le va aplicando. De él obtenemos el diagrama tracción deformación, que representa el esfuerzo que sufre la barra, referido a su sección inicial, en función de la deformación unitaria, respecto a su longitud primitiva, obtenemos una curva como la de la figura.

Hasta llegar al punto E, llamado limite elástico, la deformación es proporcional a la carga, es decir, entre los esfuerzos y las deformaciones unitarias se establece una relación lineal. En esta zona el material trabaja de forma elástica y se dice que responde a la ley de Hooke, (enunciada en 1678). ”Las deformaciones son proporcionales a las fuerzas deformadoras”.

El esfuerzo correspondiente al punto E, s_e, se denomina límite de elasticidad del material y se puede definir, como el mayor valor esfuerzo del esfuerzo que origina deformaciones elásticas. Con esfuerzos mayores que este el material sufre ya deformaciones plásticas, es decir, queda con deformación permanente.

La constante de proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones unitaria en esta zona lineal se denomina Módulo de Elasticidad o Módulo de Young

s=E e

El Módulo de Elasticidad es una característica de cada material y depende sólo de su estructura interna, normalmente puede considerarse constante.

Con cargas superiores al límite elástico, punto E, la relación entre cargas y deformaciones ya no es lineal. El diagrama se curva hasta llegar al punto F, llamado punto de fluencia, siendo s_f el esfuerzo de fluencia correspondiente. En esta situación la barra se alarga sin apenas incremento de carga, tramo FC. Si en el punto C desapareciese al carga, el material recuperaría elásticamente parte de su longitud quedando una deformación permanente.,

A partir del punto C es necesario aumentar la carga para producir nuevas deformaciones.

A partir del punto de fluencia si incrementamos más la fuerza aplicada, la deformación es muy rápida con poco incremento de la carga. El esfuerzo va aumentando hasta llegar el punto R, carga máxima, a partir del cual prosigue la deformación hasta la rotura, punto M son que la carga aumente. Aunque el material físicamente rompe en el punto M , se dice, que la carga del punto R es la carga de rotura, siendo s_r el esfuerzo de rotura correspondiente.

Los esfuerzos correspondiente al límite de elasticidad, se al punto de fluencia s_f y a la carga de rotura s_r definen las características resistentes de los materiales.

Se han de dimensionar siempre los elementos de estructuras y máquinas para que trabajen siempre en condiciones elástica, es decir, dentro de la recta OE

2.4.1. Comprobación de una tensión.

Las ecuaciones de tensión nos dan la tensión de trabajo (r_t). Si r_t<r_u (tensión de utilización), no se romperá

La tensión de utilización (r_u), se conoce experimentalmente en ensayos y es el límite elástico (r_e). Se utiliza para tener un margen que hasta la rotura nos de cierta seguridad. El límite elástico para el acero es 2600 kg/cm².

Además se aplican unos coeficientes de seguridad que aumentan las cargas y disminuyen las resistencias.

2.5. Flexión.

Una sección está flexionada:

– Cuando tiene momento flector (punto de vista de esfuerzos internos).

– Cuando se produce un cambio en la curvatura de la barra (punto de vista de deformaciones).

2.5.1. Hipótesis del análisis de la flexión pura.

En la viga de la figura, las secciones situadas entra C y D trabajan a flexión

En la viga de la figura, las secciones situadas entra C y D trabajan a flexión pura, ya que entre ellas es nulo el valor del esfuerzo cortante.

En los otros tramos, en cambio, se produce flexión simple al existir tanto momento flector M_f como esfuerzo cortante.

Al deformar un elemento resistente se puede observar que los tramos perpendiculares al eje que antes de la deformación eran rectos, permanecen rectos después de la deformación, aunque aparecen girados, perpendiculares a las fibras longitudinales de la viga..

Debido a la flexión la pieza la pieza se curva, habiendo unas fibras que sufran acortamiento, es decir que estarán comprimidas y otras que sufrirán alargamiento, es decir, estarán trabajando a tracción.

Entra las fibras comprimidas y las traccionadas existirán una serie de fibras que no sufrirán ninguna deformación en su longitud, el conjunto de estas fibras formara la superficie neutra de la viga. Y se definirá por línea neutra de una sección al la intersección de la sección con la superficie neutra.

2.5.2 Cálculo del alargamiento unitario de una fibra cualquiera que diste y de la fibra neutra.

Se toman dos secciones dentro del intervalo C-D, donde la única solicitación que se presenta es M_f.

Se supone la viga de un material homogéneo, que sigue la ley de Hooke (s=Ee) y tiene igual modulo de Young (E) para la tracción y la compresión. La deformación que sufrirá la viga en la flexión será uniforme, pudiendo dibujarla como un arco de circunferencia.

Trazando una paralela a S₁ por el punto E de la línea neutra, obtendremos la situación antes de la deformación.

Puede verse que OO’ (de longitud inicial dx) fibra situada a una distancia y de la línea neutra, ha sufrido un alargamiento de valor y dq y el valor de la deformación unitaria será:

como dq= dx/r resultará

2.5.3. Diagrama de s para una sección. Ley de Navier

El diagrama de s debe obtenerse conociendo el diagrama de e a partir de la relación existente entre e y s.

		ACORTAMIENTOS
		ALARGAMIENTOS
		DIAGRAMA DE e
			DIAGRAMA DE s

Para que el diagrama de s sea triangular se tiene que cumplir:

1) Hipótesis de Bernoulli o de las secciones planas.

2) Ley de Hooke.

Como:

Formula que representa la Ley de Navier, que dice:

“Con una sección trabajando a flexión pura, las tensiones que se producen las distintas fibras, son directamente proporcionales a sus distancias a su línea neutra.”

Como las tensiones son producidas por el momento flector, se deducirá a continuación la Ley de Navier en función del mismo.

Suponemos que se cumple la hipótesis de Bernoulli y que el material sigue la ley de Hooke.

El diagrama de s es triangular

En el dA existirá un dF debido a la resultante de las tensiones en ese dA. El dF producirá un dM (diferencial de Momento).

Integrando:

Si el momento exterior aplicado es M_f Þ

®

La tensión para un punto cualquiera será:

Esta formula expresa la Ley de Navier en función del momento flector que actúa e la sección y las características geométricas de ésta, independientemente del material de que se trate.

Al cociente se la denomina módulo resistente W.

Criterio de signos para la fórmula de Navier.

2.5.4 Flexión simple.

El caso general de las vigas es que estén trabajando a Flexión simple es decir en sus distintas secciones actúan el momento flector y el esfuerzo cortante. Las tensiones internas que corresponden a cada sección han de equilibrar tanto al momento flector como al esfuerzo cortante.

El cálculo de estas vigas se hace en dos etapas. Se determinan primeramente las tensiones longitudinales s originadas por el esfuerzo flector y después las tensiones t correspondientes al esfuerzo cortante.

2.5.5. Convenio de signos

Para el esfuerzo cortante:

Podemos decir también que es positivo si la resultante de las fuerzas verticales situadas a la izquierda de la sección está dirigida hacia arriba, y si lo está hacia abajo, es negativo.

Para el momento flector la regla a seguir se basa en un criterio en el cual las deformaciones nos indican el signo.

Así el momento flector será positivo cuando está deformando el elemento resistente, comprimiendo las fibras situadas por encima de la línea neutra y traccionando las situadas por debajo.