Tema 22 - Representación en sistema diédrico

El sistema diédrico de representación surge por la necesidad de representar elementos tridimensionales en el papel. Al Sistema Diédrico también se le llama de Monge, quien lo desarrolló por las deficiencias del sistema acotado.

En este sistema el espacio queda dividido en cuatro partes iguales o cuadrantes por medio de dos planos perpendiculares entre sí, llamados plano vertical y horizontal que se cortan en la línea de tierra.

Además de estos planos existen los bisectores que divide a cada cuadrante en dos partes iguales y forman 45º con los planos de proyección, obteniendo 8 octantes.

Para representar el sistema diédrico al plano, abatimos el plano de proyección vertical sobre el plano horizontal tomando como eje de giro la línea de tierra.

En este tema veremos los elementos como punto, recta y plano así como la intersección, perpendicularidad, paralelismo, abatimientos, giros, cambios de plano, distancias y ángulos.

Para desarrollar el tema se explican los procedimientos y en algunas ocasiones se dibujan, porque no se puede dibujar cada tipo de explicación, aunque este tema es tratado con profundidad por los alumnos de bachillerato.

2. PUNTO, RECTA Y PLANO

2.1 Punto

Un punto queda definido y representado cuando se conocen sus dos proyecciones la A segunda (A”) o proyección vertical, y A prima (A’) o proyección horizontal. La cota de un punto es la distancia del punto al plano horizontal. La cota es positiva si el punto está por encima del plano horizontal y negativa si está por debajo. El alejamiento de un punto es la distancia del punto al plano vertical. El alejamiento será positivo cuando el punto está en el primer o cuarto cuadrante, y negativo si está en el segundo o tercer cuadrante.

El alfabeto del punto son las diversas posiciones que puede ocupar un punto en el espacio en relación a los planos de proyección obteniendo 17 posiciones.

2.2 Recta

La recta queda representada por las proyecciones horizontal y vertical de todos sus puntos y queda definida por las proyecciones de 2 de ellos. Sea una recta r, sus proyecciones sobre los planos horizontal y vertical serán, respectivamente, r prima (r’) y r segunda (r”).

Una recta puede definirse por sus trazas que son los puntos donde la recta corta a los planos de proyección. Así una recta r corta al plano horizontal en un punto H, que es la traza horizontal de la recta y en un punto V con el plano vertical dando la traza vertical.

Con el alfabeto de la recta tenemos los distintos tipos de rectas según la posición que ocupan respecto a los planos del sistema diédrico y son estas 7.

1. Rectas perpendiculares a los planos de proyección o rectas de punta.

2. Rectas paralelas a la línea de tierra.

3. Rectas paralelas a los planos de proyección que si es al plano horizontal es una recta horizontal y si es paralela al vertical es recta frontal.

4. Rectas oblicuas a los planos de proyección pasando por tres diedros

5. Rectas oblicuas a los planos y que cortan a la línea de tierra.

6. Rectas paralelas a los planos bisectores.

7. Rectas de perfil que están contenidas en un plano perpendicular a la línea de tierra, de forma que sus dos proyecciones se confunden sobre una misma línea perpendicular a la línea de tierra.

2.3 Plano

El plano se representa por sus trazas. Las trazas de un plano son las rectas de intersección del plano con los planos de proyección vertical y horizontal. Las distintas posiciones del plano con respecto a los planos de proyección, dan el alfabeto del plano, teniendo estos 8 tipos de planos.

1.- Plano horizontal que es paralelo al plano horizontal de proyección. Los elementos contenidos en él se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano horizontal.

2.- Plano Frontal, es paralelo al plano vertical. Sólo tiene traza horizontal paralela a la línea de tierra.

3.- Plano de canto o proyectante vertical, es perpendicular al plano vertical y oblicuo al horizontal.

4.- Plano vertical o proyectante horizontal, es perpendicular al plano horizontal y oblicuo al vertical.

5.- Plano genérico u oblicuo, es oblicuo a los dos planos de proyección.

6.- Plano paralelo a la líneas de tierra, es oblicuo a los planos de proyección y perpendicular a los planos de perfil.

7.- plano que pasa por líneas de tierra, sus trazas se confunde en la línea de tierra, por lo que se necesita un punto del mismo para definirlo.

8.- Plano de perfil: es perpendicular al vertical y al horizontal.

En cuanto a las relaciones de pertenencia, un punto pertenece a una recta, si sus proyecciones están contenidas en las proyecciones homónimas de la recta.

Una recta pertenece a un plano, si sus trazas están contenidas en las trazas homónimas del plano y un punto pertenece a un plano, si está contenido en una recta que a su vez pertenece al plano.

Como rectas notables del plano hay estos 4 casos:

1.- Rectas horizontales, son las rectas horizontales que pertenecen al plano. Su Traza V está sobre la traza p prima P’ del plano y su proyección horizontal es paralela a la traza P.

2.- Rectas Frontales, su única traza H pertenece a P y la proyección f prima f’ es paralela a la traza vertical p prima P` del plano.

3.- Recta de máxima pendiente: Es la recta que perteneciendo al plano forma mayor ángulo con el plano horizontal.

4.- Recta de máxima inclinación: Es la recta del plano que forma mayor ángulo con el plano vertical.

Un plano puede quedar determinado por alguno de los siguientes elementos: Dos rectas que se cortan, Tres puntos no alineados, Una recta y un punto que no le pertenezca o Dos rectas paralelas.

Cuando nos dan tres puntos no alineados A, B y C, podemos transformar el caso en el de dos rectas que se cortan si trazamos las rectas AB y AC, que se cortarán precisamente en el punto A.

3. INTERSECCIÓN

La intersección de dos rectas es un punto que pertenece a las dos.

La intersección de dos planos es una recta que pertenece a los dos planos. Sus trazas están simultáneamente sobre las trazas de los dos planos.

La intersección entre una recta y un plano es un punto que pertenece a los dos. El método que se sigue en sistema diédrico para hallar la intersección entre recta y plano es el siguiente:

1.- Se traza un plano Q que contenga a la recta R. Este plano Q será proyectante horizontal o vertical.

2.- Se halla la intersección entre los dos planos (P y Q) que será una recta S.

3.- Donde la recta S corte a la recta R estará el punto intersección I entre la recta r y el plano P.

4.- PERPENDICULARIDAD

4.1 Perpendicularidad entre recta y plano

Una recta r es perpendicular a un plano a cuando lo es a todas las rectas del plano. En sistema diédrico, una recta es perpendicular a un plano cuando las proyecciones de la recta son perpendiculares a las trazas respectivas del plano.

4.2 Perpendicularidad entre plano y plano

Dos planos son perpendiculares cuando se cortan formando cuatro ángulos diedros iguales.

En sistema diédrico, para trazar un plano b perpendicular a otro dado a, primero se traza una recta R perpendicular al plano a y luego se traza un plano b que contenga a la recta R, tomando un punto M en la línea de tierra y uniéndolo con h prima (H ‘) y v segunda (V”), que son las trazas de la recta.

4.3 Perpendicularidad entre recta y recta

Dos rectas son perpendiculares cuando una de ellas está contenida en un plano perpendicular a la otra.

5. PARALELISMO

5.1 Paralelismo entre recta y recta

Dos rectas son paralelas cuando definen un plano, y no se cortan en ningún punto. En sistema diédrico, dos rectas son paralelas cuando sus proyecciones respectivas también lo son.

5.2 Paralelismo entre recta y plano

Una recta será paralela a un plano si no lo corta en ningún punto. Una recta es paralela a un plano si es paralela al menos, a una recta contenida en dicho plano.

5.3 Paralelismo entre plano y plano

Dos planos son paralelos cuando no se cortan en ningún punto. En sistema diédrico, dos planos son paralelos cuando las trazas respectivas de ellos son paralelas.

6. ABATIMIENTOS

Junto con los cambios de plano y los giros, los abatimientos son un conjunto de métodos para facilitar la resolución de problemas en Geometría Descriptiva, para obtener verdaderas magnitudes.

Abatir un plano sobre otro es la operación de hacer girar el primero sobre el segundo, hasta hacerlos coincidir, utilizando como eje de giro la intersección entre ambos planos. Esta intersección entre los dos planos se conoce con el nombre de charnela. El giro del plano se puede realizar en sentido horario o antihorario. Al abatir un elemento geométrico sobre el plano vertical u horizontal de proyección, se mostraría dicho elemento geométrico en verdadera magnitud.

Para abatir una recta, en sistema diédrico, se abatirían dos puntos de la recta y luego se unirían los puntos abatidos.

Para abatir un plano a sobre el plano horizontal de proyección, en sistema diédrico, la traza horizontal del plano a hará de charnela, por lo que no cambia y bastaría con abatir un punto de la traza vertical del plano y unir dicho punto abatido con el punto intersección de la charnela con la línea de tierra.

7. GIROS

Todo giro se realiza siempre alrededor de una recta o eje de giro, la cual será una recta de punta vertical u horizontal. La elección del eje de giro es fundamental para obtener el cambio de posición deseado del elemento geométrico que se pretende girar. Lo que verdaderamente importa en la elección del eje de giro, es dónde queda situada la proyección que aparece como un punto, ya que dicho punto será el centro de giro.

También hay que tener en cuenta el sentido de giro, el ángulo de giro y la posición final a la que se quiere llegar.

7.1 Giro de un punto

En el sistema diédrico se gira un punto A trazando un arco de circunferencia con centro en la proyección horizontal del eje de giro, obteniendo así la nueva proyección horizontal del punto a prima (a`), por dicha proyección se traza la perpendicular a la línea de tierra para obtener sobre la traza del plano la nueva proyección vertical.

7.2 Giro de una recta

Para girar una recta basta girar dos de sus puntos el mismo ángulo. Si la recta corta el eje, el punto de intersección de ambas recta no se mueve tras el giro, por lo que es suficiente con girar un punto y unirlo con el punto de intersección.

7.3 Giro de un plano

Podemos girar un plano girando su traza horizontal y una recta horizontal. Trazamos un eje vertical que corte la recta horizontal y giramos la traza P con la perpendicular trazada desde la proyección horizontal del eje. La recta horizontal al girar alrededor de un eje vertical se mantiene siempre paralela al plano horizontal de proyección, por lo tanto, su nueva proyección horizontal será paralela a la nueva traza horizontal del plano pasando por e, y su traza v’₁ tendrá la misma cota. Uniendo el origen del plano con v’₁, obtenemos la nueva traza vertical del plano.

8. CAMBIOS DE PLANO

En este método permanecen fijos los elementos en el espacio y se modifica la situación de los planos de proyección hasta que los elementos a representar adopten, respecto a los planos de proyección, la situación relativa que nos interesa. Conceptos fundamentales de los Cambios de Plano:

8.1 Cambio de plano de un punto

Podemos sustituir uno de los planos de proyección por otro plano cualquiera siempre que sea perpendicular al plano que permanece. Si cambiamos el plano vertical, el nuevo plano será un proyectante vertical sobre el que obtendremos una nueva proyección vertical a’₁ del punto A del espacio. La proyección horizontal es la misma en los dos sistemas al no cambiar el plano horizontal, y por la misma razón, la cota del punto también es la misma en los dos sistemas. Esto implica que las distancias de las proyecciones verticales a sus respectivas líneas de tierra sean iguales.

8.2 Cambio de plano de una recta

Para hallar las nuevas proyecciones de una recta tras un cambio de plano hallaremos las nuevas proyecciones de dos de sus puntos, normalmente sus trazas. Si realizamos un cambio de plano horizontal, las proyecciones verticales de sus trazas h’ y v’ permanecen, obteniéndose la nuevas proyecciones horizontales de dichos puntos h₁ y v₁ trasladando sus cotas a partir de la nueva línea de tierra. El punto V tiene cota cero en los dos sistemas, por lo tanto, sigue siendo la traza vertical en el nuevo sistema.

8.3 Cambio de plano de un plano

Para aplicar el método del cambio de plano a un plano, se trata corno una recta sabiendo que las dos trazas del plano se cortarán siempre en la línea de tierra.

9. DISTANCIAS

Las distancias son la mínima distancia que existe entre dos elementos geométricos, es decir, la verdadera magnitud del segmento que los une. Para obtener verdaderas magnitudes de distancias entre punto, recta y plano se aplican los siguientes procedimientos:

9.1 Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es el segmento rectilíneo comprendido entre ambos. Se quiere obtener la distancia entre dos puntos A y B. Para ello se toma la diferencia de cotas de los puntos dando h. Se traza una línea que una las proyecciones horizontales de los dos puntos a prima y b prima (A` y B`). Por una de esas dos proyecciones se traza una línea perpendicular al segmento A`B`, y sobre esta línea, por un extremo, se lleva la diferencia de cota h de los dos puntos, para terminar uniendo el final de este segmento con el otro extremo libre del segmento A`B` formando un triángulo rectángulo. La hipotenusa del triángulo es la distancia de AB.

9.2 Distancia entre un punto y un plano

La distancia de un punto P a un plano a es la magnitud del segmento perpendicular al plano definido por el citado punto P y su intersección I con el plano a.

9.3 Distancia de un punto a una recta

Si trazamos por el punto A un plano (P) perpendicular a la recta R y hallamos el punto B de intersección de la recta con el plano, obtenemos el segmento AB, mínima distancia entre R y A.

9.4 Distancia entre rectas paralelas

Trazamos el plano (P) perpendicular común a las rectas R y S. Las intersecciones del plano con las rectas son los puntos A y B que determinan el segmento mínima distancia entre las rectas.

9.5 Distancia entre planos paralelos

Trazamos una recta R perpendicular común a los planos dados y hallamos los puntos de intersección que determinan la distancia entre los planos.

10.- ANGULOS.

10.1.- Ángulo de dos rectas

Para hallar la verdadera magnitud del ángulo formado por dos rectas que se cortan podemos abatir el plano que las contiene sobre uno de los planos de proyección.

10.2.- Ángulo de una recta con los planos de proyección

El ángulo que forma una recta con el plano horizontal de proyección es el que forma la recta con si proyección horizontal. Para obtener la verdadera magnitud basta abatir plano proyectante horizontal que contiene tanto a la recta como a su proyección horizontal.

10.3.- Ángulo de un plano con los planos de proyección

El ángulo que forma un plano con el plano horizontal de proyección es el que forma su recta de máxima pendiente con el plano horizontal. Abatiendo la recta de máxima pendiente sobre el plano horizontal se obtiene la verdadera magnitud del ángulo.

El ángulo que forma un plano con el vertical de proyección es el que forma su recta de máxima inclinación con el plano vertical.

11.- CONCLUSION

Se han visto las generalidades de cada uno, y estos son lo principios básicos para dibujar en diédrico donde hoy en día es muy usado en dibujo técnico.

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Tema 22 – Representación en sistema diédrico