Tema 23 - Representación en perspectiva isométrica y caballera

El hombre se comunica a veces representando lo que ve y para transmitir una información y representarla de forma fiable se basa en un sistema de representación. La representación de los objetos sobre un plano se estudia en geometría descriptiva. Existen varios sistemas de representación para cubrir las necesidades del campo técnico, diseño gráfico, cartográfico, etc.

El paso del espacio al plano se hace proyectando el objeto desde un punto propio o impropio llamado centro de proyección sobre el plano de proyección.

En este tema veremos la representación isométrica y caballera, que tiene vital importancia en la representación de objetos y que es tratado en el currículo de tecnología de la ESO, viendo los conceptos básicos y representaciones con los alumnos para su posterior aplicación con los proyectos.

Para no perder mucho tiempo haciendo los dibujos, se explican lo procedimientos y en algunos casos se hace el dibujo correspondiente.

2.- CONCEPTOS.

Veamos unos conceptos antes de desarrollar el tema.

La proyección surge a la hora de representar un objeto utilizando la perspectiva, de modo definimos el centro de proyección como al punto donde está situado el foco de la proyección. Las rectas o rayos luminosos que parten del foco se llaman rayos proyectantes y donde se encuentra la imagen proyectada se llama plano de proyección.

Hay dos tipos de proyección según el ángulo de incidencia de los rayos proyectantes sobre el plano de proyección. Así tenemos la proyección cónica, donde los rayos proyectantes parten de un centro a distancia finita, y la proyección cilíndrica donde el centro de proyección se sitúa en el infinito y los rayos llegan al plano paralelos, y si los rayos llegan perpendiculares al plano de proyección la perspectiva es ortogonal y si es con un ángulo diferente a 90º es proyección oblicua.

Se llama sistema de representación al conjunto de principios que determina la representación plana de un objeto tridimensional.

Todo sistema de representación debe ser reversible, es decir de debe poder obtener las proyecciones de un cuerpo y al revés, a partir de ellas reconstruir el cuerpo.

Los sistemas de representación se clasifican en sistemas de medida, como el diédrico y el acotado o en sistemas perspectivos como el axonométrico y el cónico.

El sistema axonométrico se descompone en perspectiva axonométrica ortogonal con las variantes de isométrica, dimétrica y trimétrica y la perspectiva oblicua con las variantes de caballera y militar.

En el presente tema estudiaremos las perspectivas isométrica y caballera que se diferencian en la posición de los ejes del sistema con respecto al plano del dibujo y de la forma de hacer las proyecciones. En isométrica la proyección es cilíndrica ortogonal y en caballera es oblicua.

3. PERSPECTIVA ISOMETRICA.

Se llama sistema de ejes coordenados ortogonales, al formado por tres rectas X Y y Z, perpendiculares entre si dos a dos, siendo cada una de ellas perpendiculares al plano determinado por las otras dos.

Las rectas se llaman ejes coordenados y los planos que determinan, planos coordenados, los cuales, al cortarse dividen al espacio en ocho triedros trirrectángulos. En función de los valores de los ángulos se dan estas variantes:

En isométrica los ángulos a, b y g son iguales, en dimétrica se cumple que son dos iguales y en trimétrico los tres son distintos.

Por tanto en isométrica los ángulos son de 120º y las trazas del plano forman un triángulo equilátero. El coeficiente de reducción es igual para los 3 ejes y es la perspectiva más representada por dar un aspecto más proporcionado a la realidad.

3.1.- COEFICIENTE DE REDUCION.

En un sistema isométrico toda recta que sea paralela a uno de los ejes del sistema al proyectarla sobre el plano del dibujo se reduce en la misma proporción que dicho eje y como los 3 ejes del triedro forman 35,16º el coeficiente es el mismo con un valor de coseno de 35, 16 igual a 0.816.

En isométrico se puede representar sin reducción con lo que la perspectiva sería un 22 % más grande.

3.2- REPRESENTACIÓN DEL PUNTO EN ISOMÉTRICA

Cada punto del espacio tiene en el dibujo cuatro proyecciones, la a prima A` llamada proyección directa que es la proyección ortogonal del punto A sobre el plano de dibujo y a prima 1 , b prima 1 y c prima 1 llamadas proyecciones axonométricas, sobre el plano XY, XZ y ZY respectivamente.

Para determinar un punto cualquiera en el espacio basta con dos de sus cuatro proyecciones, ya que conocidas dos de ellas se sacan las otras dos. Tal y como se muestra aquí. Figura 4.

3.3.- REPRESENTACIÓN DE LA RECTA EN ISOMÉTRICA

Para determinar las proyecciones de una recta, basta con unir las proyecciones homónimas de dos de sus puntos. Así uniendo las proyecciones de dos puntos M y N, de una recta r, obtenemos r prima 1, r prima 2 y r prima 3 y .

Igual que el punto, la recta tiene 4 proyecciones de las que sólo 2 son necesarias para poder determinar la recta. Cuando nos den dos proyecciones de una recta podemos hallar las restantes a partir de las proyecciones de dos puntos que estén contenidos en las proyecciones axonométricas de la recta. Para cada punto obtenemos por medio del paralelepípedo de referencia, sus restantes proyecciones.

Las posiciones particulares de una recta pueden ser: contenida en un plano, una recta que corta a un eje, una recta que pasa por el origen, una recta perpendicular al plano de dibujo y una recta paralela a un plano coordenado.

3.4.- REPRESENTACIÓN DEL PLANO EN ISOMÉTRICA

Un plano en sistema axonométrico viene definido por sus trazas. Así en el sistema diédrico las dos trazas de un plano se cortan en un punto de la línea de tierra, en este sistema las tres trazas se cortan dos a dos en un punto de cada eje.

Un plano oblicuo corta a los planos del sistema según tres rectas que representan sus trazas. La traza del plano a, con el plano XOY es alfa 1 , la traza del plano ZOX es alfa 2 a_2,y la traza del plano ZOY es a_3.Así de dos trazas cualesquiera se define un plano. Para que una recta esté situada en un plano, sus trazas deben estar situadas en las homónimas del plano o a la inversa, para que un plano contenga a una recta, sus trazas deben pasar por las trazas homónimas de la recta.

Las posiciones particulares del plano son estos 6 casos: Plano que pasa por un eje, plano que pasa por el origen, plano paralelo a uno de los coordenados, plano paralelo a un eje, plano perpendicular al de proyección y el plano paralelo al de proyección.

3.5- REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN ISOMÉTRICA

La proyección de una circunferencia es una elipse en cada uno de los planos. Una circunferencia, situada en una cara de una pieza, se proyecta según una elipse. Se trata de hallar la perspectiva de la circunferencia de centro O y radio R, situada en cada uno de los tres planos XOY, ZOX, y ZOY o en planos paralelos.

Se supone dos diámetros perpendiculares AB y CD y se supone también un cuadrado circunscrito a la circunferencia cuyos puntos de tangencia son los extremos A, B, C y D de los diámetros.

La representación de la circunferencia en el plano XOY se haría así. Por el punto O₁ situado en el plano XOY se trazan los diámetros conjugado de la elipse, paralelo al eje X y el paralelo al eje y siendo las distancias del punto O₁ a cada vértice, el radio de la circunferencia y se obtiene así el rombo N, M, P y Q, que es la perspectiva del cuadrado circunscrito. Y después se construye la elipse según los métodos del dibujo geométrico. Tal y como se muestra en esta figura. Figura 8

3.6- REPRESENTACIÓN DE CUERPOS EN ISOMÉTRICA.

Para representar cuerpos geométricos simples en isométrica se empieza haciendo la base del cuerpo sobre el plano XOY, para luego sacar la altura según líneas paralelas al eje Z y terminar la perspectiva con las caras laterales y cara superior.

4.- PERPECTIVA CABALLERA.

Se entiende por perspectiva caballera la proyección los cuando los rayos proyectantes forman, con el plano del cuadro, un ángulo distinto a 90º. Se trata de una proyección axonométrica oblicua.

La posición de los cuerpos se considera con una de sus caras paralelas al plano de proyección, así dicha cara y sus paralelas se proyectan en verdadera magnitud.

Los ejes del sistema son las aristas del triedro trirrectángulo, teniendo así los ejes X, Y y Z. Si consideramos el plano del cuadro al plano ZOX, los ejes X y Z, coinciden con sus proyecciones, pero el eje Y es perpendicular al plano del cuadro.

La representación de los ejes es el X horizontal y el Z vertical perpendiculares entre sí, y el eje Y, forma un ángulo phi respecto del eje X.

Al hacer las proyecciones sobre los ejes X y Z no se deforma la magnitud, con lo que todas las medidas o cotas que se lleven sobre estos ejes o sobre rectas paralelas a ellos se dibujarán en verdadera magnitud. Si la cota real de la pieza es 20 mm, se llevan 20 mm. sin reducción ninguna.

El eje Y una vez proyectado si que sufre deformación por lo que las medidas que se lleven sobre este eje si que se verán modificadas por un coeficiente de reducción.

Por tanto para dibujar se necesita saber la dirección en que se proyecta el eje Y, es decir el ángulo fi llamado ángulo de fuga que es ángulo que proyectado forma con el eje X.

En caballera la dirección oblicua de los rayos proyectantes al objeto o al triedro, influye sobre la forma de proyección pero no sobre las medidas, con lo que no se altera el coeficiente de reducción del eje perpendicular al plano de proyección.

El valor del ángulo puede ser cualquiera, pero se rechazan los valores de 0º, 90º, 180º y 270º. Los valores mas usuales del ángulo de fuga son 45, 135, 225 y 315 grados. En definitiva el ángulo de fuga dependerá de lo que se quiera enseñar por eso se colocará de una manera u otra. En la figura siguiente se ven los eje en isométrica con el ángulo phi Figura 11.

4.1.- COEFICIENTES DE REDUCCIÓN

Las rectas paralelas a los ejes X y Z, se proyectan en verdadera magnitud y las rectas paralelas al eje Y se hacen reducidas según el valor del coeficiente de reducción.

Se llama coeficiente de reducción, y se representa por u, al valor de la cotangente trigonométrica del ángulo que forma la dirección de proyección con el plano del cuadro. El coeficiente indica la razón entre el segmento ya proyectado y el segmento real del espacio. Los valores de reducción mas usados son 0.5 , 0.6 y 0.7. La norma indica que para un valor de ángulo de proyección de 45º, el coeficiente sea de 0.5

4.2.- PERSPECTIVA MILITAR.

Es un tipo de perspectiva caballera y se da cuando el plano del cuadro se hace coincidir con el plano horizontal XOY. El eje Z se representa vertical y los ejes X e Y perpendiculares entre sí. El coeficiente de reducción suele variar entre 1 y 0.5, y el ángulo que forma el eje Y con el Z entre 120º y 150º. Esta perspectiva tiene la ventaja de que la planta del objeto se proyecta en verdadera magnitud, pudiéndose medir sobre ella. Es una representación ideal para dibujar en planos horizontales por eso se utiliza en representación de viviendas, planos de ciudades, etc., dando una impresión aérea de la zona.

4.3.- REPRESENTACIÓN DEL PUNTO EN CABALLERA.

El punto en perspectiva caballera tiene también 4 proyecciones. Supongamos un punto P del espacio con coordenadas, x, y z, y con un ángulo de reducción sigma .

Para representar un punto en perspectiva caballera, basta con llevar sobre los ejes X y Z las coordenadas directa de los mismos, y sobre el eje Y, la coordenada correspondiente después de aplicarle el coeficiente de reducción.

Para sacar la coordenada en el eje Y, se hace con un triángulo de semejanza, y así llevaríamos las medidas sobre el eje Y. Entonces sobre los ejes tenemos los puntos N, M y L, y por medio de paralelas a los ejes sacamos las proyecciones p prima, p segunda y p tercera , y . La proyección P se obtiene completando el paralelepípedo a partir esas proyecciones, tal y como se muestra en esta figura. Figura 14

4.4.- REPRESENTACIÓN DE RECTA Y PLANO EN CABALLERA.

Los procedimientos para representar una recta y un plano son como los explicados en isométrica.

La recta tiene 4 proyecciones y queda definida por dos puntos. Sus tres trazas están determinadas por la intersección de la proyección directa sobre cada una de las proyecciones axonométricas, y todo punto situado en la recta tiene sus proyecciones en las proyecciones homónimas de la recta.

Respecto al plano, se representa por dos de sus tres trazas, que se cortan dos a dos sobre cada uno de los ejes, determinando el triángulo de trazas, con un vértice en cada eje. Las posiciones de la recta y el plano son iguales que las vistas en isométrica.

4.5.- REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN CABALLERA.

Sobre el plano XOZ la circunferencia conserva su magnitud y proyectada es otra igual pero en los ejes YOZ y XOY proyectada es una elipse.

El trazado de la proyección de la elipse se hace con este procedimiento.

Primero se hacen los diámetros conjugados de la elipse por el origen O, de forma que el diámetro paralelo al eje Y se reduce según el coeficiente.

Después por paralelas se dibuja el romboide con lados paralelos a los diámetros conjugados de la elipse. Y finalmente se traza a mano alzada o con plantilla de curvas la elipse inscrita en un romboide. Si no hubiera coeficiente de reducción en vez de una elipse se podría dibujar un óvalo.

4.6.- REPRESENTACIÓN DE FIGURAS EN CABALLERA.

Para representar piezas se empieza por la base del cuerpo sobre el plano que está situada, luego se saca la altura según un línea paralela al eje Z, y después se sacan las caras laterales y cara superior, con lo que las dimensiones paralelas al eje Y, estarán afectadas por el coeficiente de reducción.

5.- CONCLUSION

Se han visto las características más importantes para poder dibujar sobre estos sistemas, y debemos coger aquel que sea más adecuado según lo que queramos dibujar y que cara o parte queramos mostrar. También debemos tener en cuenta los coeficientes de reducción en ambos sistemas que son muy importantes para dar la sensación de proporcionalidad y tridimensionalidad.

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Tema 23 – Representación en perspectiva isométrica y caballera