1 concepte de sistema
2 Elements components d’un sistema de control
3 tipus de sistemes de control
3.1 SISTEMES DE CONTROL EN llaç obert
3.2 SISTEMES DE CONTROL EN llaç tancat
4 funció de transferència d’un sistema
5 representació dels sistemes de control
Comparadors
Combinació entre línies d’actuació
Combinació bàsica de blocs
Transposició i ramificació de nusos
6 estudi de l’estabilitat en un sistema de control
6.1 Metode de Routh
6.2 Metode de Bode
7 Com s’enfoca un projecte de sistemes de control
1 concepte de sistema
Un sistema de control és un conjunt de components que actuen conjuntament i que persegueixen un objectiu determinat (manteniment d’una temperatura, pressió…).
Els sistemes de control tenen unes entrades i unes sortides. Les entrades són els estímuls o les excitacions que s’apliquen externament al sistema amb el fi d’obtenir d’aquest una resposta especificada. Les sortides són les respostes obtingudes dels sistemes de control. Un sistema es representa simplificadament:
L’estudi d’un sistema consisteix a obtenir la relació entre les sortides i les entrades. O sigui:
Si(t)=fi(e1(t), e2(t),…,em(t))
Malgrat tot, en la pràctica estudiem una sola de les sortides, i de les variables d’entrada ens fixem en aquella que actua de manera més directa, considerant la resta com pertorbacions. Simplificant:
S(t)=f(e(t)).
2 Elements components d’un sistema de control
Generador del senyal de referència: dispositiu capaç de generar una senyal d’igual o diferent magnitud que la senyal de sortida del sistema que es vol controlar. Aquesta senyal, relacionada directament amb el valor de sortida, és l’encarregada d’imposar el valor desitjat a la sortida.
La senyal de referència es canalitza cap a un dispositiu comparador, amb la finalitat de ser comparada amb la senyal que tenim a la sortida , a través del llaç de realimentació, i detectar el possible error.
Les senyals més utilitzades com a variables de referència solen ser: tensió o intensitat elèctrica, pressió pneumàtica o posició mecànica.
Transductor de la senyal de sortida: dispositiu capaç de mesurar en cada instant el valor de la magnitud de sortida i proporcionar una senyal proporcional a aquest valor. Normalment consta de dues parts:
El captador (sensor) : Capta directament la magnitud mesurada (pressió, nivell, cabal, velocitat, posició, il·luminació, Tª…) amb objecte de transformar-la en una altra magnitud de valor proporcional. Normalment desplaçament lineal o angular.
El transmissor: transforma la magnitud vista pel captador a una altra magnitud que sol ser elèctrica o pneumàtica. Aquesta senyal es la enviada al comparador per a que sigui comparada amb la senyal de referència.
El comparador (detector d’error): Compara la senyal de referència amb la senyal realimentada (es resten), el resultat constitueix l’error de funcionament o desviació de la sortida respecte del valor previst. Físicament pot ser un amplificador diferencial, un potenciòmetre…
El controlador (corrector d’error): amplifica i modifica la senyal d’error amb la finalitat de que l’acció de control sobre el sistema sigui més eficaç i presenti millors característiques de funcionament en quant a precisió, estabilitat, temps de resposta i sobreoscil·lacions. Els correctors d’error més utilitzats són: el proporcional derivatiu P.D., proporcional integral P.I., proporcional integral-derivatiu P.I.D.
A vegades el controlador agrupa en un sol mòdul: el generador del punt de consigna, el comparador, i l’algoritme de control (P, PD, PID…).
L’amplificador de control (amplificador de potència): amplifica la senyal del corrector fins a uns nivells que siguin capaços d’activar els elements de control. (Amp. magnètics, amp. transistoritzats, relés, tyristors i triacs, etc… )
L’element final de control (actuadors): Té l’objectiu de modificar el comportament de la planta o procés, actua directament per a que la variable de sortida tingui el valor desitjat. Les variables que activen aquests elements acostumen a ser del tipus d’intensitat elèctrica, cabal de líquid o vapor… .Com a elements de control destaquen els servomotors elèctrics, hidropneumàtics, resistències…
La planta o procés és el lloc on es desitja realitzar una acció de control: habitació, forn, dipòsit…
Un exemple d’un sistema de control seria una regulació automàtica d’una magnitud de sortida sobre una planta o procés, per exemple la temperatura, que roman constant o que varia lentament amb el temps i on la tasca fonamental consisteix en mantenir el valor desitjat a la sortida malgrat les pertorbacions presents. Per automatitzar aquest sistema ens caldrà disposar d’elements de medició de temperatura (transductors com PTC, o NTC…), que captin aquesta magnitud, la comparin amb una senyal d’entrada (temperatura desitjada) apreciïn si hi ha o no un error a través dels elements comparadors (potenciòmetre, amplificador operacional…) i proporcionin una informació a un controlador, en aquest cas de tipus elèctric. El controlador analitzarà la informació que li és proporcionada, i actuarà en conseqüència activant o desactivant un element de control, que en aquest cas pot ser un reòstat o una estufa.
Aquest sistema de control s’anomena de llaç tancat ja que la sortida té un efecte directe sobre la acció de control.
L’adaptació i amplificació de senyal es pot fer abans o després del comparador, dependrà de les característiques del nostre sistema, tot i que és més usual fer-ho abans, a fi de condicionar les senyals dels transductors, que acostumen a ser dèbils.
Altres exemples d’aplicació de controls automàtics: A més de la importància en vehicles espacials, guiatge de projectils, pilotatge d’avions, també són molt importants en operacions industrials: control de pressió, temperatura, humitat, viscositat, flux, velocitat…i en processos productius: maquinat, maniobra i muntatge de peces…
Qualsevol sistema de control requereix: Que sigui estable i que la velocitat de resposta sigui raonablement alta , presentant un amortiment raonable. A més ha de poder reduir a zero o a un valor baix els errors.
Els sistemes automàtics permeten un funcionament òptim de sistemes dinàmics , milloren la qualitat i abarateixen els costos de producció, augmenten el ritme de producció, alliberen de la complexitat de moltes rutines, de tasques manuals repetitives, etc…
L’aplicació microelectrònica i l’ordinador han aconseguit un augment i una optimització de la productivitat en tots els processos.
3 tipus de sistemes de control
Són sistemes en els que una variable de sortida és ajustada per a tenir un valor prefixat, mitjançant una determinada acció de control.
Segons la forma en que es realitza l’acció de control, tenim:
sistema de control en anell obert.
sistema de control en anell tancat.
Segons la forma com es realitzen les operacions de control, tenim:
sistema de control analògic
sistema de control digital (ordinadors, microprocessadors, …)
3.1 SISTEMES DE CONTROL EN llaç obert
Són aquells sistemes en que la variable d’entrada o referència exerceix una acció de control sobre la variable de sortida, però el valor de sortida no exerceix cap efecte sobre l’acció de control.
Ex) rentadora: funciona amb temps prefixats, no es mesura la netedat de la roba.
L’exactitud del sistema dependrà de la seva cal·libració.
En presència de pertorbacions, aquest sistema en a.o. no compleixen les funcions assignades. (Hem d’evitar doncs, la presència de pertorbacions).
3.2 SISTEMES DE CONTROL EN llaç tancat
Són aquells sistemes en que l’acció de control depèn tant de la variable d’entrada com de la variable de sortida.
Això implica fer ús de l’efecte de realimentació de la variable de sortida a l’entrada del sistema, amb l’objectiu de reduir l’error que pogués produir-se en la variable de sortida.
Un altre sistema de representació és:
Un transductor s’encarrega de captar una senyal d’entrada i transformar-la en una altra magnitud d’entrada de més fàcil manipulació ( el més normal són senyals pneumàtiques entre 3 i 15 psi o entre 0.2 i 1kg/cm2, o elèctriques entre 1 i 5v o 4 a 20 mA). ex: transductor de Tª a tensió.
L’instrument encarregat de detectar la senyal de sortida per a utilitzar-la de nou és el captador.
El següent pas consisteix en comparar la senyal realimentada amb una senyal de referència provinent del transductor. Aquesta operació es realitza mitjançant un comparador , l’operació proporciona a la seva sortida una senyal d’error, que és la que activarà el controlador , aquests ha d’actuar de manera que corregeixi els efectes de la pertorbació el més ràpid, estable i exacte possible. Per tant, aquest element ha de tenir òptimament ajustat els paràmetres per a una resposta desitjada.
Els elements de control més utilitzats són: controladors mecànics, hidràulics, pneumàtics o elèctrics. Depenent del tipus de senyal que transmeti la informació.
Ex) imaginem un sistema de control tèrmic manual en el qual es vol mantenir la Tª de l’aigua d’un dipòsit a un valor constant. Un termòmetre a la sortida de la canonada ens indica la temperatura en aquest instant (la Tª de sortida és la variable controlada). L’operari, observant el termòmetre, reduirà l’entrada de vapor si la Tª és major que la consignada o obrirà la vàlvula de pas de vapor si la Tª és menor .
La realimentació es realitza: Comparant la lectura del valor de sortida (variable controlada) amb el valor de consigna (Tª desitjada), la diferència ens proporciona la senyal d’error.
L’acció de control consisteix: donar més o menys pas de vapor: variable controladora. En aquest cas l’operació es realitza de manera manual.
4 funció de transferència d’un sistema
En l’anàlisi d’un sistema de control s’observa que cada un dels elements : transductors, amplificadors… es caracteritzen per tenir unes entrades i sortides variables amb el temps.
Aquestes variables tindran forma d’equacions diferencials en funció del temps. Per a la resolució d’aquestes equacions diferencials s’utilitza la transformada de Laplace.
Per a determinar la resposta d’un element en el temps, s’apliquen senyals conegudes a l’entrada ,normalment una senyal en forma d’escaló, i s’avalua la senyal que apareix a la sortida (anomenada resposta transitòria). El coneixement de la resposta de l’element partint de la senyal d’entrada, ens permetrà definir un comportament matemàtic de l’element: funció de transferència.
Així doncs, conegudes les equacions que defineixen el comportament d’un sistema, aquest es pot estudiar en el domini de Laplace. Això ens permetrà, que si són conegudes les relacions entrades-sortides de cada un dels blocs, poden deduir-se altres relacions entrada-sortida per als mateixos en el domini de Laplace.
G(s)=C(s)/R(s) funció de transferència.
C(s)= tranformada de Laplace de c(t).
R(s)= tranformada de Laplace de r(t).
La funció de transferència s’obté transformant a domini complexe de Laplace, l’equació diferencia que definia el comportament dels sistema en domini temporal.
G(s)=C(s)/R(s) = (bo . sm + b1.sm-1 + …+ bm-1.s +bm )/ (ao . sn + a1.sn-1 + …+ an-1.s +an ) = N(s)/D(s)
Hem passat d’una equació diferencia a una equació algebraica.
N(s): equació del numerador.
D(s): equació del denominador. També coneguda com equació característica.
Igualant D(s) a zero trobarem les arrels de l’equació (polos), aquests valors ens determinaran l’estabilitat del sistema. Així com la naturalesa de la resposta a qualsevol tipus d’entrada.
El sistema es estable si els pols estan en el semiplà positiu del sistema de Laplace.
5 representació dels sistemes de control
S’utilitzen diagrames de bloc que ens indiquen clarament el flux de la senyal.
Comparadors
Combinació entre línies d’actuació
Combinació bàsica de blocs
Transposició i ramificació de nusos
6 estudi de l’estabilitat en un sistema de control
L’estabilitat d’un sistema es determina per la seva resposta a entrades o pertorbacions.
Podem definir un sistema estable com aquell que la seva resposta a l’impuls tendeix a zero a mesura que el temps es fa infinit.
Per a determinar l’estabilitat d’un sistema s’utilitzen varis mètodes:
Metode de Routh: ens indica si un sistema és estable o inestable però no ens proporciona informació sobre lo prop o lluny que estem de l’estabilitat. Ens proporciona l’estabilitat absoluta.
Metode del diagrama de Bode: Representem per una banda el guany i per l’altre la fase en funció de la freqüència. Ens proporciona l’estabilitat relativa.
6.1 Metode de Routh
Routh ens indica si hi ha o no arrels positives en una equació polinòmica del grau que sigui, sense necessitat de resoldre-la. Veure un exemple.
6.2 Metode de Bode
Entenem per resposta en freqüència d’un sistema a la resposta en règim permanent d’un sistema davant una entrada sinusoïdal d’amplitud constant i freqüència variable.
La característica de la resposta en freqüència d’un sistema es pot obtenir directament de la F.T. substituint s per jw. (On w és la freqüència de la senyal).
X(t): entrada del sistema.
Y(t): sortida del sistema.
G(s): funció de transferència en el domini de Laplace.
Si X(t) és una funció sinusoïdal de la forma X(t) = X sen wt. La sortida serà una senyal sinusoïdal de mateixa freqüència i però diferent amplitud i angle de fase. La resposta pot estar donada per l’expressió G(jw)= M |fase
M: relació d’amplituds entre entrada i sortida.
Fase: desplaçament de fase entre entrada i sortida.
La sortida Y = X.(G(s))
La fase = |G(jw) mostra el desfàs que introdueix l’element.
|G(jw)| =|Y(jw)/X(jw)|
|G(jw) = |Y(jw)/X(jw)
(veure un exemple)
7 Com s’enfoca un projecte de sistemes de control
Enfocament bàsic del projecte de sistemes de control: En la pràctica involucra necessàriament procediment de tanteig. El més normal es que es parteixi d’una planta donada i d’unes especificacions que s’han de complir. El primer pas es establir un model matemàtic del sistema, una formula matemàtica que representi amb més o menys exactitud el sistema, El segon pas es establir un projecte matemàtic que proporcioni la solució a la versió matemàtica del problema. El tercer pas es simular el sistema amb un ordinador per a verificar el comportament a les diverses senyals i pertorbacions. Habitualment la configuració inicial del sistema no és satisfactòria i s’ha de tornar a redissenyar el sistema i tornar a realitzar l’anàlisi. Aquest procés es repeteix fins a obtenir el sistema satisfactori. Aleshores es pot construir un prototip del sistema físic, el procés és l’invers del que hem realitzat fins ara, un prototip és un sistema físic que representa amb més o menys exactitud un sistema matemàtic. Es prova i s’avaluen els resultats, si és satisfactori el disseny està complert, si no s’ha de modificar el prototip fins a trobar la solució satisfactòria.