Ampliación Tema 25

Lecturas seleccionadas para completar o adaptar el tema:

1. El desarrollo del pensamiento lógico-matemático.

2. La iniciación matemática en educación infantil.

3. Las metodologías para el desarrollo del pensamiento lógico-matemático.

Un concepto es una agrupación de objetos, acontecimientos o situaciones que:

· Permite reunir todo tipo de entes discriminablemente diferentes en una misma clase, expresándolos como equivalentes.

· Esta agrupación conlleva la separación de sus componentes de otros entes, considerados como no equivalentes.

· Se expresa, en toda cultura, mediante un símbolo o signo de lenguaje.

Los conceptos pueden ser, de modo general, de estos dos tipos:

– Conceptos naturales cuando las agrupaciones quedan definidas por características que dependen de la función asignada por el hombre, o de su hábitat, o de su comportamiento.

– Conceptos formales cuando las agrupaciones quedan definidas por características pura y esencialmente objetivas.

La formación de los conceptos entraña el seguimiento de los pasos y etapas siguientes:

· Los estímulos del mundo exterior alcanzan nuestros sentidos y tienen lugar sobre ellos un proceso de filtración motivado por la naturaleza, tanto de los estímulos como del receptor.

· Los estímulos ya seleccionados llegan a las correspondientes

áreas del cerebro produciendo una señal o sensación.

· La interpretación que damos a todas estas sensaciones, en nuestra percepción, es el percepto.

· A partir del percepto se logra la formación del concepto mediante estas etapas:

– Discriminación: Los perceptos se diferencian reconociendo las cualidades comunes y distintas de los mismos. Así se va estableciendo una clasificación inicial pues nombrar un percepto es clasificarlo, en parte.

– Generalización: Con experiencias estimulantes, se confrontan activamente los perceptos diferenciados. Así se completa la clasificación inicial anterior, generalizándolos.

– Abstracción: Las cualidades comunes entre los perceptos se van haciendo más funcionales y menos perceptuales, o sea, menos ligadas a cada percepto concreto. El producto final de esta abstracción es ya el concepto.

La aparición de los conceptos en el niño y la niña presenta estas características:

· Los conceptos, por lo general, no se desarrollan repentinamente en su forma definitiva.

· Los conceptos, normalmente, se ensanchan y profundizan según progresa el niño y niña en su desarrollo evolutivo físico e intelectual.

· Sin duda alguna, existe cierta concatenación entre los conceptos, es decir, los conceptos ya establecidos influyen en la adquisición de otros conceptos subsiguientes.

· En su mayoría, la formación de los conceptos se realiza mediante actividades de ensayo/error, a través de las cuales se determina si un nuevo concepto es incluible o no en una hipótesis establecida.

· El lenguaje y los símbolos intervienen en la conceptualización, porque actúan como marco de referencia, y capacitan al niño y niña para la adquisición de los conceptos.

La cronología de la aparición de los conceptos en el niño y la niña presenta tres niveles:

– Preconceptos: El niño y la niña son capaces de disociar los objetos de sus propiedades, sobre la base de su conducta.

Se establecen ya a partir de los 2 años.

Conceptos contrastados con la realidad: Son esquemas mentales más elaborados que los anteriores. Se caracterizan por la necesidad de experimentarlos y de contrastarlos con la realidad. Por tanto, a las edades que indicamos, solamente se podrán elaborar aquellos conceptos que sean derivables de la experimentación y contacto directo con la realidad.

Se establecen ya hacia los 6 años.

Conceptos reales: Se establecen alrededor de los 12 años.

A estas edades, los conceptos son ya generalizaciones y abstracciones que no precisan el contacto directo con la realidad.

Los conceptos matemáticos

Los conceptos matemáticos constituyen un tipo especial dentro de los conceptos formales: Son generalizaciones de las relaciones entre cierta clase de “datos”, haciendo abstracción total de los objetos y fenómenos particulares en que se presentan.

Los conceptos matemáticos no pueden lograrse únicamente por la acción directa del entorno cotidiano, sino solamente de manera indirecta desde otros conceptos que ya se hayan alcanzado.

Estas características especiales de los conceptos matemáticos les hace, en alto grado, dependientes de los maestros o maestras, de su didáctica concreta y de la observación atenta, activa y muy experimental con que responda el niño o la niña.

En la adquisición de los conceptos matemáticos, intervienen de modo claro y evidente, los factores siguientes:

Ø Es más sencillo descubrir un concepto simple (triángulo), que un concepto compuesto (triángulo verde más triángulo verde grande).

Ø El descubrimiento y adquisición de un concepto simple requiere menos experiencias y ensayos que el de un concepto compuesto.

Ø Cuanto mayor es el número de características irrelevantes o distractores presentados (otras formas, colores, tamaños, etc), más difícil resulta la adquisición de un concepto.

Ø En las primeras edades y niveles conviene un bajo número de distractores, pero a medida que el concepto se vaya consolidando es útil ampliar el número de distractores, para que el niño y la niña consigan extraer las propiedades conceptuales con una mayor independencia de cada caso concreto e, incluso, del mismo maestro o maestra.

Ø Para ayudar al niño y niña a desarrollar los conceptos matemáticos es necesario enseñarles el lenguaje de la matemática, sus relaciones, sus procedimientos, sus métodos, su lógica, sus símbolos propios, su operatividad y cálculo, etc.

Ø Hay variables difíciles de controlar porque están relacionadas con el mismo niño o niña, y que influyen en la adquisición de estos conceptos.

Ø Cuanta mayor sea la capacidad discriminatoria del niño y de la niña, respecto de las características relevantes, más fácil será la adquisición del concepto.

Ø Se mejorará la adquisición de los conceptos conjuntivos (grande “y” amarillo) mediante la presentación inicial de ejemplares positivos.

Ø Se mejora la adquisición de los conceptos disyuntivos (grande “o” amarillo) mediante la presentación inicial de ejemplares negativos, o mediante la alternancia de ejemplares negativos y positivos.

Ø La manipulación, experimentación y observación activa son base imprescindible para la adquisición de los conceptos matemáticos, en general, y de modo muy particular en Educación Infantil.

Entre los conceptos matemáticos básicos para ser trabajados asiduamente en la etapa de Educación Infantil se encuentran los siguientes:

Concepto de objeto-materia:

– A través de relaciones: niño-demás niños.

– A través de relaciones: niño-objeto.

– A través de relaciones: objeto-objeto.

El razonamiento lógico:

o Se irá desarrollando en el niño, de modo globalizado, al tratar los conceptos anteriores.

o Sobre todo, a través de relaciones: objeto-objeto.

o Se apoyará, fundamentalmente, en las acciones sobre las colecciones y agrupamientos de objetos.

o Tendrá su mejor ayuda en la maduración personal del niño y de la niña, a lo largo de la etapa de Educación Infantil.

Concepto de número con:

– Sus agrupaciones y significado.

– Sus aspectos: cardinal y ordinal, al realizar clasificaciones y seriaciones.

– Sus operaciones y aritmética.

– Sus aplicaciones a la vida real.

Conceptos sobre espacio y geometría:

– Mediante percepciones y representaciones.

– Mediante análisis de posiciones de puntos, líneas, objetos, etc.

– A través de movimientos rígidos, donde las propiedades métricas de los cuerpos permanecen constantes (lados, ángulos, paralelismo, perpendicularidad, etc.): espacio euclidiano.

– A través de transformaciones proyectivas, donde las propiedades de los cuerpos sufren deformaciones que dependen de la posición relativa del objeto y su transformado (sombras, etc.): espacio proyectivo.

– A través de transformaciones topológicas, donde los cuerpos sufren deformaciones tan violentas que se pierden las propiedades métricas y proyectivas (proximidad, separación, encerramiento o clausura, orden o sucesión espacial, continuidad, etc.) sin llegar al rompimiento: espacio topológico.

– Hoy se estima que los primeros conceptos infantiles sobre el espacio son de carácter topológico.

Concepto de longitud, superficie y capacidad/volumen:

– A través de comparaciones y relaciones.

– A través de la medida de objetos reales.

– Mediante el uso de unidades convencionales diversas.

– Mediante el uso de unidades de sistemas ya establecidos.

Concepto de tiempo:

– A través de estímulos sucesivos.

– A través de estímulos contínuos que cesan.

– Mediante comparación de estímulos contínuos.

– Realizando medidas de tiempo real y su expresión en unidades.

Concepto de peso:

– A través de comparaciones sistemáticas.

– A través de clasificaciones.

– A través de ordenaciones.

– Realizando medidas sin unidades patrón (con arena, etc.).

– Realizando medidas con unidades patrón.

Para un mejor análisis de la iniciación matemática en el niño y niña de cero a seis años necesitamos partir de los siguientes supuestos de la matemática:

· La matemática es una materia en la que menos se puede prescindir de un iniciador, porque está constituida por unos conocimientos y procedimientos a los que difícilmente se accede sin la guía de un buen maestro o maestra en ellos.

· La matemática exige un esfuerzo mental añadido, porque desemboca siempre en actividades mentales que exigen un alto grado de abstracción, pues, aunque de cero a seis años hay que partir siempre de lo concreto, la intención debe ser superarlo y buscar en ello lo general.

· Precisamente, por desembocar en lo general y recorrer el camino de la abstracción, la matemática:

o Se construye esquemáticamente, formal y sistemáticamente.

o Se organiza a partir de axiomas.

o Se decanta y se comunica mediante lenguajes y códigos especiales, como son: los símbolos, las figuras, los diagramas, los algoritmos, las estructuras, etc.

· La matemática es una materia sumamente acumulativa. Unas actividades exigen otras previas, lo cual requiere comprensión lógica y memoria comprensiva de los contenidos anteriores. Es decir, saber razonar y saber aplicar los conceptos o los procedimientos en acción.

· La matemática es una de las materias más concretas y que menos permite disimular la ignorancia propia.

· La matemática, hoy, está en el transfondo de todas las materias. Por ello es imprescindible su conocimiento activo y aplicativo.

· La matemática debe ayudar a asegurar que los seres humanos nos comportemos en el mundo de acuerdo con unas leyes lógicas, no contradictorias y coordinadas entre sí, tanto en el orden natural, como en el familiar, social, político, mundial, etc.

· La matemática, más que una materia, es un bien común al que todos tienen derecho y que la sociedad espera de la escuela, porque constituye una dimensión necesaria para la formación de la persona en el mundo de hoy.

· La matemática promueve virtualidades que son metas educativas, de tal modo que su valor formativo puede superar quizá su propia utilidad, si es que fuese posible considerar y sopesar separadamente dichos factores.

· El alto valor formativo de la matemática viene probado por los efectos siguientes:

a) En el ámbito de la formación intelectual, la matemática nos enseña:

– A reflexionar sobre las situaciones.

– A considerar y aislar lo esencial de lo accesorio.

– A desarrollar el juicio, distinguiendo lo probado, demostrado y cierto, de lo posible y de lo imposible o falso.

– A organizar el pensamiento, ordenando las ideas, elaborando esquemas, realizando consecuencias y distinguiendo medios, causas y efectos.

– A formar el espíritu científico en sus vertientes de: objetividad, exactitud, precisión y espíritu crítico.

b) En el ámbito de la formación moral y estética, la matemática fomenta:

– La necesidad de rigor, de discernimiento y de claridad en la verificación de pruebas, así como la discusión formativa.

– El gusto por el orden, la concisión, la exactitud y la verdad.

– El habito de conocer, indagar y comprender los principios de las cosas.

– El descubrimiento y la sensibilización por la belleza de las formas y la organización en la naturaleza y en la técnica.

– El habito de la aceptación del mejor criterio probado y la constatación irrefutable del acierto.

· La matemática fuerza a plantearse diversidad de requerimientos según el tipo de alumno o alumna, pues unos son más lentos y otros más rápidos en sus diversas actuaciones matemáticas, lo cual exige una metodología fina y apropiada para cada niño, niña o grupo de niños y niñas.

· La matemática, como el lenguaje, es una actividad en la que los niños y niñas se desenvuelven con normalidad, si ponemos a su disposición los medios oportunos par una correcta iniciación. No obstante su práctica asidua en la vida, quizá sea la matemática uno de los símbolos donde más errores se cometen.

· El niño y niña son sensibles al mundo de las matemáticas. En todo lo que crean y en lo que hacen tienen presente el mundo de los números. Su manera de ser y su modo de comportarse les empujan hacia el cálculo:

– Su sentido de la propiedad.

– Su afán por el coleccionismo.

– Su gusto por repetir.

– Su deseo de observar.

– Su necesidad de ordenar.

– Y hasta el uso que ellos hacen como soportes formales en sus juegos.

– Etc.

Principios didácticos para la iniciación matemática en educación infantil

Lograr una motivación adecuada es fundamental para el proceso didáctico en Educación Infantil. Se puede lograr más fácilmente que el niño y niña se sientan motivados:

– Si se atribuye sentido a lo que se les pide que hagan.

– Si hay una distancia óptima entre lo que saben y lo que se propone como nuevo.

– Si tienen la cantidad y calidad de ayuda pedagógica necesaria y suficiente.

– Si el error se utiliza como fuente de aprendizaje y no tanto como algo negativo que es necesario eliminar, sin más.

Los contenidos de enseñanza y aprendizaje deben partir siempre de experiencias directas, de este modo:

· Experiencias con materiales manipulativos concretos.

· Experiencias que partan del juego según el tipo que corresponda, juego de ejercicio, simbólico o de reglas, conforme veremos en su momento oportuno.

· Experiencias con procedimientos y acciones bien organizadas, según pautas muy claras que dirijan la actuación de cada niño y niña.

· Experiencias que sigan un orden de prioridades para mejor lograr la construcción y significación de los conceptos matemáticos que correspondan.

Mediante la verbalización el niño y l niña evocan las actividades realizadas, ya sea de modo vivencial o mediante materiales manipulativos. Por esta razón conviene proponerla como medio didáctico después de realizadas dichas actividades.

Mediante el dibujo se expresan gráficamente las funciones de representación. El niño y niña dibujan su modelo interno, es decir, la representación mental propia que han elaborado. Ello significa que dibujan el objeto no como lo ven en una posición concreta, sino que diseñan todo lo que saben de dicho objeto. En lugar de reproducir un objeto desde un solo punto de vista, lo dibujan

simultáneamente desde todos ellos, de modo que representan imágenes en las que superficies de objetos tridimensionales aparecen como desarrolladas sobre un plano único. Es muy importante tener en cuenta todo esto para la correcta interpretación evaluativa de los conceptos que se vayan adquiriendo.

En la toma de contacto de cada niño y cada niña con la experiencia será necesario conseguir lo siguiente:

– Alcanzar el conocimiento de los objetos y sus cualidades o atributos.

– Realizar el descubrimiento de lo esencial, según sus posibilidades.

– Lograr la generalización y abstracción conceptuales propias.

Toda experiencia con materiales manipulativos curriculares debe seguir el método del descubrimiento, lo cual exige cumplir los “principios básicos del aprendizaje de la matemática” que son, según Dienes, son los siguientes:

¨ Principio de constructividad: La construcción, la manipulación, el juego, deberá ser siempre el primer contacto con las realidades matemáticas, pues el niño y niña ven y entienden por las manos.

¨ Principio dinámico: El aprendizaje va, de la experiencia a la categorización, mediante ciclos que se suceden regularmente. Cada ciclo consta de tres etapas:

¨ Etapa preliminar. Con los juegos de ejercicios y juegos simbólicos, que inician el proceso de interiorización.

¨ Etapa constructiva: Con los juegos de reglas, mediante los cuales, buscando regularidades se descubren reglas de comportamiento.

¨ Etapa de anclaje: En la que se logra la aplicación del concepto y mejor fijación del mismo.

¨ Principio de variabilidad perceptiva: Para abstraer una estructura matemática debemos encontrarla en situaciones diferentes. Esto exige la utilización de diversidad de materiales manipulativos sobre los mismos contenidos lógicos y matemáticos que trabajemos.

¨ Principio de variabilidad matemática: Cada concepto envuelve distintas variables esenciales. Para alcanzar la completa generalización del concepto es necesario trabajar con cada una de estas variables de modo independiente, dejando las demás variables constantes.

El proceso para que los principios anteriores logren la formación del pensamiento abstracto-simbólico, exige estas fases:

· Fase manipulativa: Por sencillo que sea un concepto matemático debe pasar inicialmente por su manipulación más acomodada.

· Fase verbal: El niño y la niña deben explicar, a su manera, lo realizado y conseguido.

Esta verbalización marca el inicio de la comprensión e interiorización de los conceptos.

· Fase ideográfica: El niño y niña deben traducir de manera plástica cuanto hayan descubierto en su investigación:

§ Con plastilina, etc.

§ Sobre papel grande de embalar.

§ Sobre fichas, según su propio nivel.

· Fase simbólica: Cuando sea el modo oportuno, el niño y la niña deberán expresar sus experiencias con símbolos matemáticos, si su utilización es ciertamente significativa para ellos. Todo esto supone ya un logro más en la abstracción matemática.

El desarrollo óptimo de la experimentación propuesta a los niños y niñas en el “método del descubrimiento”, exige el orden y proceso siguientes, para los distintos ejercicios y materiales manipulativos que indicamos:

1. Ejercicios con los propios niños y niñas.

Su objetivo será vivenciar, desde el propio yo del niño y de la niña, el significado de sus acciones.

2. Ejercicios con materiales manipulativos:

– Ambientales.

– Estructurados.

3. Ejercicios realizados:

– Sobre papel grande, de embalar.

– En el suelo.

4. Ejercicios en fichas individuales de trabajo.

Se realizarán a partir del momento que se considere oportuno y posible, para cada niño y niña.

El método del descubrimiento a partir de la experiencia exige establecer gran variedad de ejercicios de aprendizaje o actividades. Mialaret propone para ellas los tipos siguientes:

* Actividades de iniciación:

Se realizarán cuando:

– Se presente un nuevo material o nuevo contenido.

– Se inicien nuevas actuaciones con el material.

– Se incluyan ciertas novedades o particularidades.

* Actividades de aplicación:

Versarán sobre lo introducido en las actividades de iniciación. Se realizarán de modo individual, una vez lograda su comprensión.

* Actividades de fijación o entrenamiento:

Presentarán la duración que cada niño y niña precisen hasta conseguir una suficiente asimilación.

* Actividades de control:

Mediante ellas conoceremos el momento de paso a otras nuevas experiencias. Estas actividades pueden realizarse:

– De modo individual.

– En pequeño grupo.

– En gran grupo.

– Dentro o fuera de la “puesta en común”.

Para lograr una abstracción coordinada con sus diferentes tipos, deberá seguirse este orden, de acuerdo con su complejidad creciente:

1º Abstracción física.

Realizada como proceso mental que permite extraer una característica física concreta entre diferentes y variados objetos.

2º Abstracción funcional.

Realizada como proceso mental que permite extraer una misma característica funcional entre diferentes y variados objetos.

3º Abstracción lógico-matemática.

Realizada como proceso mental que permite establecer relaciones de tipo lógico-matemático entre diferentes y variados objetos.

4º Abstracción inclusiva.

Realizada como proceso mental que permite extraer una misma característica fundamental entre diferentes y variados objetos por el hecho de estar todos ellos incluidos en un concepto superior.

Metodología para una correcta iniciación matemática en educación infantil

Como consecuencia de todo lo dicho hasta aquí y con el fin de realizar una correcta iniciación matemática debemos tener en cuenta, metodológicamente, cuanto sigue:

1) La correcta iniciación en la matemática y su aprendizaje sistemático se inscriben dentro de los derechos del alumno, que necesariamente ha de satisfacer la escuela desde los primeros niveles.

· Esta corrección exige su iniciación desde los comienzos educativos, pues su encaje posterior sufriría decisivamente si no se hace a su tiempo.

· Hay momentos educativos que, una vez “pasados”, ya no logran recuperarse nunca.

2) La iniciación matemática, al igual que la iniciación a la lectoescritura, deberá realizarse, al menos, con tanto cuidado, atención y celo, como se hace con otros ritos sociales de iniciación.

3) La iniciación matemática realizada correctamente, de modo constructivo y significativo, debe poner las bases para que el niño y niña:

· Se apropien de las invenciones que han costado miles de años a la humanidad.

· Puedan manejar todo el tesoro científico, técnico, etc., acumulado a lo largo del tiempo.

4) La iniciación matemática ha de ser una construcción mental vivida y experimentada paso a paso. Para conseguirlo con normalidad:

· Debe esta básicamente motivada mediante los materiales manipulativos curriculares, apropiados a tal fin.

· Debe ser fuertemente motivadora, estando conectada con la realidad que se vive, a través de las actividades oportunas.

· Debe lograr una progresiva asunción de los conceptos matemáticos, de modo que se consiga un creciente nivel de dominio de ellos sobre la vida.

5) Además, durante el desarrollo de toda la iniciación matemática se deberá tener siempre muy en cuenta que:

· Se ha de cultivar el razonamiento lógico desde la base.

· No se deberá favorecer el culto a la buena y rápida respuesta, sin más.

· Se debe aprovechar los errores de los niños y niñas como fuente de aprendizaje para descubrir:

§ Las sub-lógicas operantes.

§ El fallo en el proceso realizado.

§ El punto en que se inició la desviación del razonamiento correcto.

Se debe analizar, también, la actuación del maestro o maestra en el proceso de enseñanza/aprendizaje, comprobando:

§ La motivación lograda.

§ El vocabulario empleado.

§ La presentación, el tratamiento y el manipulado de los materiales curriculares y didácticos frente a los niños y niñas.

§ El diseño, calidad, acomodación, ordenación y cantidad de las actividades propuestas.

§ El establecimiento concreto de las situaciones problemáticas o de aplicabilidad a la vida.

6) Es necesario evitar una excesiva mitificación de los términos que se usan en la iniciación matemática.

· Trabajar la matemática, ciertamente, que va a obligar al niño y niña a aprender muchas palabras nuevas.

· El camino a seguir en la iniciación de estos términos nuevos será ofrecerlos:

§ En contextos muy significativos.

§ Con la intensidad oportuna.

§ Con la extensión conveniente.

§ Con la insistencia necesaria para que cada niño y niña los asimile correctamente.

§ Se hará del mismo modo que con otras palabras, como: clase, recreo, compañero, compañera, etc., que los niños o niñas no suelen conocer hasta que no vienen al colegio y que, sin necesidad de explicaciones especiales, las van incorporando correctamente a su vocabulario.

7) En la iniciación matemática, se podrán saltar fases previas y se podrán seguir ritmos más o menos lentos/rápidos, según lo vaya

exigiendo cada niño y niña. Todo esto hace conveniente plantear una metodología a través de procesos muy bien agrupados, donde cada “escalón” esté diferenciado del anterior por un solo aspecto propio.

· Así, en el escalón didáctico en el que el niño y niña no avancen podrá estudiarse la dificultad típica y concreta que presenta, y solucionarla de manera específica.

8) La metodología para una iniciación matemática correcta, teniendo en cuenta las bases de la Educación Infantil y de acuerdo con los supuestos anteriores, deberá ser:

· Globalizada, por cuanto se refiere al modo de programar los contenidos el maestro y maestra.

· Globalizante, en clara referencia al modo de actuar el maestro y maestra en todo momento.

· Globalizadora, respecto al modo de percibir cada niño y niña la enseñanza recibida.

9) Por su carácter globalizador, la etapa de Educación Infantil, de cero a seis años, deberá realizarse y lograr un desarrollo paralelo y armónico en cuanto hace referencia a la iniciación matemática y a la del lenguaje.

· Es necesario cuidar todo esto grandemente ya que se malogran muchos procesos mentales, nociones o conceptos matemáticos sólo por problemas en el lenguaje que se ha empleado.

CONCLUSIÓN

El maestro y maestra de Educación Infantil que quieran realizar una correcta iniciación matemática deberán ser muy creativos, activos y dinámicos, empatizar perfectamente con todos los niños y niñas según la edad de éstos y, a la vez, mantenerse muy al día en su formación psicopedagógica y científica. Todo ello supone, sin duda alguna, un “arte” singular, vivido en el día a día.

Cada vez más, la comprensión de los conceptos matemáticos como actividad escolar en Educación Infantil, depende de planteamientos metodológicos adecuados que permitan al niño generar ideas desde la observación, la imaginación, la intuición y el razonamiento lógico. A este afán de comprensión hay que añadir la necesidad de extensión, de los conceptos adquiridos, al entorno inmediato en el que el alumno se desenvuelve, con el claro objetivo de aplicar correctamente las relaciones descubiertas, y descubrir otras nuevas que aporten al conocimiento amplitud intelectual. Este reto a la enseñanza muestra palmariamente la necesidad de aprender “haciendo”, teniendo como base el desafío, los ejemplos y contraejemplos abiertos a la contrastación y canalización de sus ideas. Exigencia de aprendizaje que puede verse amenazada por una falta de prudencia en la decisión de una metodología didáctica; cuyos procedimientos deben apoyarse, principalmente, en la curiosidad y en la necesidad, a través de cuatro etapas que, en nuestra opinión, constituyen el acto didáctico como actuación en el aula, para la clara y ortodoxa comprensión de los conceptos y relaciones, el enriquecimiento intelectual y la satisfacción personal: Etapa de Elaboración, Etapa de Enunciación, Etapa de Concretización y Etapa de Transferencia o Abstracción.

I. Factores intervinientes en el desarrollo del pensamiento lógico- matemático.

El pensamiento lógico infantil se enmarca en el aspecto sensomotriz y se desarrolla, principalmente, a través de los sentidos. La multitud de experiencias que el niño realiza -consciente de su percepción- consigo mismo, en relación con los demás y con los objetos del mundo circundante, transfieren a su mente unos hechos sobre los que elabora una serie de ideas a las que podemos llamar “creencias”. De estas percepciones no podemos decir, por su construcción lógica infantil, que sean matemáticas. El contenido matemático no existe; lo que existe es una interpretación matemática de esas adquisiciones. Esta interpretación se va consiguiendo, en principio, a través de experiencias en las que el acto intelectual se construye mediante una dinámica de relaciones sobre la cantidad y la posición de los objetos en el espacio y en el tiempo. Es por eso, por lo que cada vez más se señala la diferencia entre contenido y conocimiento; con contenido hacemos referencia a lo que se enseña y, con conocimiento, a lo

que se aprende. Un paso más nos llevará a estudiar la fiabilidad y validez de ese conocimiento. De momento, tengamos presente esta sencilla distinción.

El desarrollo de cuatro capacidades favorece el pensamiento lógico-matemático:

· La observación: Se debe potenciar sin imponer a la atención del niño lo que el adulto quiere que vea; es más una libre expresión de lo que realmente él puede ver. La observación se canalizará libremente y respetando la acción del sujeto, mediante juegos cuidadosamente dirigidos a la percepción de propiedades y a la relación entre ellas. Esta capacidad de observación se ve aumentada cuando se actúa con gusto y tranquilidad y se ve disminuida cuando existe tensión en el sujeto que realiza la actividad. Según Krivenko (1990), hay que tener presentes tres factores que intervienen de forma directa en su desarrollo: El factor tiempo, el factor cantidad y el factor diversidad.

· La imaginación. Entendida como acción creativa, se potencia con actividades que permiten una pluralidad de alternativas a la acción del sujeto. Ayuda al aprendizaje matemático por la variabilidad de situaciones a las que se transfiere una misma interpretación. En ocasiones se suele confundir con la fantasía. Cuando, bajo un punto de vista matemático hablamos de imaginación , no queremos decir que se le permita al alumno todo lo que se le ocurra; más bien, que consigamos que se le ocurra todo aquello que se puede permitir según los principios, técnicas y modelos de la matemática.

· La intuición: Las actividades dirigidas al desarrollo de la intuición no deben provocar técnicas adivinatorias; el decir por decir no desarrolla pensamiento alguno. La arbitrariedad no forma parte de la actuación lógica. El sujeto intuye cuando llega a la verdad sin necesidad de razonamiento.

· El razonamiento lógico: El razonamiento es la forma del pensamiento mediante la cual, partiendo de uno o varios juicios verdaderos, denominados premisas, llegamos a una conclusión conforme a ciertas reglas de inferencia. Para Bertrand Russell (1988) la lógica y la matemática están tan ligadas que afirma: “la lógica es la juventud de la matemática y la matemática la madurez de la lógica”. La referencia al razonamiento lógico se hace desde la dimensión intelectual que es capaz de generar ideas en la estrategia de actuación ante un determinado desafío. El desarrollo del pensamiento es resultado de la influencia que ejerce en el sujeto la actividad escolar y familiar. Toda actividad que intente cumplir este objetivo se dirigirá a estimular en el alumno la capacidad para generar ideas y expresarlas. Si no se les escucha es imposible desarrollar pensamiento alguno. Muchas veces lo que hacemos únicamente es conseguir que escuchen nuestros pensamientos, ¿que creemos ya formados y correctos?, cuando lo importante es dirigir los suyos propios. Es por eso por lo que la mayoría de los niños y las niñas tienen por único argumento razonado: “Él /ella lo

dijo (Ipse dixit) – refiriéndose al profesor/a-”, cuando lo importante es cambiar esa expresión arcaica por otra más moderna, y que el argumento de cada escolar sea: “Yo puedo verlo (I can see it)”.

Estos cuatro factores ayudan a entender el pensamiento lógico-matemático desde tres categorías básicas:

· Capacidad para generar ideas cuya expresión e interpretación sobre lo que se concluya sea: verdad para todos o mentira para todos.

· Utilización de la representación o conjunto de representaciones con las que el lenguaje matemático hace referencia a esas ideas.

· Comprender el entorno que nos rodea, con mayor profundidad, mediante la aplicación de los conceptos aprendidos.

Sobre estas indicaciones cabe advertir la importancia del orden en el que se han expuesto. Obsérvese que, en muchas ocasiones, se suele confundir la idea matemática con la representación de esa idea. Se le ofrece al niño, en primer lugar, el símbolo, dibujo, signo o representación cualquiera sobre el concepto en cuestión haciendo que el sujeto intente comprender el significado de lo que se ha representado. Estas experiencias son perturbadoras para el desarrollo del pensamiento lógico-matemático. Se ha demostrado suficientemente que el símbolo o el nombre convencional es el punto de llegada y no el punto de partida, por lo que, en primer lugar, se debe trabajar sobre la comprensión del concepto, propiedades y relaciones.

Otra cuestión importante sobre la formación del conocimiento matemático es la necesaria distinción entre: la representación del concepto y la interpretación de éste a través de su representación. Se suele creer que cuantos más símbolos reconozca el niño más sabe sobre matemáticas y, aunque esto se aleja mucho de la realidad en la que se desenvuelve esta ciencia no faltan en las escuelas falsas analogías didácticas: “El dos es un patito” o “La culebra es una curva” o…. Tales expresiones pueden implicar el reconocimiento de una forma con un nombre, por asociación entre distintas experiencias del niño, pero en ningún modo contribuye al desarrollo del pensamiento matemático, debido a que miente sobre el contenido intelectual al que se refiere, por ejemplo, el concepto dos: Nunca designa a UN “patito”. En resumen, lo que favorece la formación del conocimiento lógico-matemático es la capacidad de interpretación matemática, y no la cantidad de símbolos que es capaz de recordar por asociación de formas.

II. Fundamentos de metodología didáctica en la formación del conocimiento lógico- matemático

Actualmente se ha comprobado la necesidad de subordinar la enseñanza al aprendizaje. Lo importante es ir descubriendo cómo aprenden para que podamos crear técnicas válidas de cómo enseñar. Garantizando que se cumple la influencia señalada se hace obligado partir de dos fundamentos principales:

Por un lado, que sea el alumno el constructor de sus propios conocimientos. Por otro, que la comprensión de los conceptos sea anterior al enunciado convencional que se ha adquirido por tradición; primero comprender, después enunciar. Para que estos fundamentos no sean desnaturalizados se tiende a evitar, por parte del profesor/a, toda información verbal no comprendida por el alumno, partiendo en todo momento del vocabulario que ellos utilizan. En esta metodología las palabras correctivas: “bien” o “mal” carecen de sentido. Si decir mal obstaculiza el desarrollo personal, decir bien interrumpe el proceso intelectual: y todo ello porque un alumno o grupo de alumnos han dicho algo que se corresponde con lo que el profesor espera oír. Esta forma de proceder hace gala cada vez más de una psicología del convencimiento dirigida a enseñar que el trabajo escolar consiste en adivinar lo más rápidamente que se pueda lo que el responsable de esa enseñanza obliga a ver y a expresar. Evidentemente, la escuela en unos años les muestra que la participación es cosa de unos pocos que formulan correctamente lo que el profesor/a ha creído conveniente seleccionar. Esta constitución de corrupción intelectual produce un efecto adivinatorio e inhibidor, y toda creatividad que por naturaleza heredó el niño se convierte en nociva para lo que debería ser investigación y descubrimiento; la esperanza de saber degenera pronto a la decadencia de la razón del programa que ha sido creado por solidaridad a los maestros que no saben qué hacer sin él, cuando la verdadera ventaja de llamarse maestro viene reforzada por seguir al niño y no al programa. Por eso está afectada de falsedad la búsqueda de la razón del profesor en el hacer matemático: porque en este hacer más que la razón existen los razonamientos; y éstos son consecuencia del arte de preguntar, de la inclusión de desafíos, de ejemplos y contraejemplos que eduquen un temperamento intelectual capaz de comprender la matemática a través de la necesidad de pensar.

Generalmente se ha aceptado que el aprendizaje de la matemática en la etapa infantil se refería al número y a la cantidad, apoyadas principalmente sus actividades en el orden y la seriación, siendo el contar el trabajo más preciado para la actividad matemática. Hoy, la naturaleza de la enseñanza de la matemática se muestra diferente: como expresión, como un nuevo lenguaje y un nuevo modo de pensar con sus aplicaciones prácticas a su entorno circundante. Aunque la asociación matemática y número suele ser habitual, se hace necesario indicar que no siempre que aparece la matemática se refiere al número, del mismo modo que el hecho de utilizar números nada puede decir del hacer matemático, si este hacer no ha sido generado por una acción lógica del pensamiento.

El desarrollo del pensamiento lógico-matemático se puede recorrer didácticamente:

a) Estableciendo relaciones y clasificaciones entre y con los objetos que le rodean.

b) Ayudarles en la elaboración de las nociones espacio-temporales, forma, número, estructuras lógicas, cuya adquisición es indispensable para el desarrollo de la inteligencia.

c) Impulsar a los niños a averiguar cosas, a observar, a experimentar, a interpretar hechos, a aplicar sus conocimientos a nuevas situaciones o problemas

d) Desarrollar el gusto por una actividad del pensamiento a la que irá llamando matemática.

e) Despertar la curiosidad por comprender un nuevo modo de expresión.

f) Guiarle en el descubrimiento mediante la investigación que le impulse a la creatividad.

g) Proporcionarles técnicas y conceptos matemáticos sin desnaturalización y en su auténtica ortodoxia.

Los procedimientos que se utilicen para la consecución de los objetivos presentados anteriormente serán válidos en tanto se apoyen lo más posible en el juego, obteniendo como resultado experiencias fructíferas que aseguren la fiabilidad del conocimiento lógico y matemático.

Dienes (1977), plantea cuatro principios básicos para el aprendizaje de la matemática, son los siguientes:

Principio dinámico. El aprendizaje marcha de la experiencia al acto de categorización, a través de ciclos que se suceden regularmente uno a otro. Cada ciclo consta, aproximadamente, de tres etapas: una etapa del juego preliminar poco estructurada; una etapa constructiva intermedia más estructurada seguida del discernimiento; y, una etapa de anclaje en la cual la visión nueva se fija en su sitio con más firmeza.

Principio de construcción. Según el cual la construcción debe siempre preceder al análisis. La construcción, la manipulación y el juego constituyen para el niño el primer contacto con las realidades matemáticas.

El principio de variabilidad perceptiva. Establece que para abstraer efectivamente una estructura matemática debemos encontrarla en una cantidad de estructuras diferentes para percibir sus propiedades puramente estructurales. De ese modo se llega a prescindir de las cualidades accidentales para abstraer lo esencial.

El principio de la variabilidad matemática. Que establece que como cada concepto matemático envuelve variables esenciales, todas esas variables matemáticas deben hacerse variar si ha de alcanzarse la completa generalización del concepto. La aplicación del principio de la variabilidad matemática asegura una generalización eficiente.

Utilización didáctica de materiales y recursos

Cada vez más, la comprensión de los conceptos se empareja a la manipulación de materiales capaces de generar ideas válidas sin desnaturalizar el contenido matemático. A este afán de comprensión hay que añadir la necesidad de extensión de los conceptos adquiridos al entorno inmediato en el que el niño se desenvuelve, con el claro objetivo de aplicar correctamente las relaciones

descubiertas, y descubrir otras nuevas que aporten al conocimiento amplitud intelectual.

El planteamiento didáctico se dirige a utilizar el contenido como medio para obtener conocimiento (Fernández Bravo, 1995ª). Por eso, aprender no consiste en repetir las informaciones escuchadas o leídas, sino en comprender las relaciones básicas mediante la contrastación de las ideas: Adquirir hábitos de pensamiento, desarrollar la capacidad creativa, descubrir relaciones, transferir ideas a otras nuevas situaciones, observar hechos, intuir conceptos, imaginar situaciones o, buscar nuevas formas de hacer donde, aparentemente, siempre había una y sólo una.

La utilización de materiales y recursos es consecuente en su hacer didáctico con la interpretación que se tenga de la matemática. Que los materiales “didácticos” se apliquen para el desarrollo del pensamiento lógico-matemático, no significa que cubran los altos desafíos educativos para la intelectualización y aplicación de los conceptos y relaciones. Es la didáctica utilizada la que nos conducirá, o no, al cumplimiento de tales objetivos.

El empleo del material es sin duda más que necesario. Pero si ha de ser fructífero y no perturbador debe llevar implícito un fuerte conocimiento de los fenómenos intelectuales que se pueden conseguir y de cómo se consiguen.

El material no debe ser mostrado, sino utilizado. Lo que se debe mostrar a la consciencia del alumno es el conjunto de ideas que, de su manipulación, se generan en la mente, y canalizarlas, en tanto que han sido descubiertas por el niño, en el procedimiento matemático.

Una cosa es “enseñar” una situación matemática y que el niño aprenda, y otra, muy distinta, es permitir que el niño manipule, observe, descubra y llegue a elaborar su propio pensamiento. No debemos imponer ningún modo particular para la realización de las distintas actividades. Saber sugerir para que el educando intuya, es lo propio. Como el trabajo activo va dirigido al niño es él quien debe realizar la experiencia y él, quien llegue al descubrimiento por sus propios medios: concediéndole la posibilidad de jugar con las respuestas antes de escoger una de ellas; y, eliminando los condicionantes que sujetan la opción de argumentar sus libres decisiones en la elaboración de estrategias para la resolución de los conflictos cognitivos que se le puedan plantear en relación con el material. Así, la matemática se presenta como algo de lo que se disfruta al mismo tiempo que se hace uso de ella.

Etapas del acto didáctico.

Existen cuatro etapas fundamentales en el acto didáctico (Fernández Bravo, 1995b): Elaboración, Enunciación, Concretización y Transferencia o Abstracción. Este orden de presentación de las etapas es irreemplazable.

· Etapa de Elaboración. En esta etapa se debe conseguir la intelectualización de la/s estrategia/s, concepto/s, procedimiento/s que hayan sido propuestos como tema de estudio.

El profesor/a, respetando el trabajo del educando y el vocabulario por él empleado, creará, a partir de las ideas observadas, desafíos precisos que sirvan para canalizarlas dentro de la investigación que esté realizando en su camino de búsqueda. Tal planteamiento, supone evitar la información verbal, así como las palabras correctivas: “bien” o “mal”; utilizando, en todo momento, ejemplos y contraejemplos que aporten continuidad a la pluralidad de respuestas que escuchemos. Estas respuestas, ya correctas o incorrectas, se forman a través de un diálogo entre todos y de un diálogo interior, y deben ser recogidas, como hipótesis, desde la motivación de comprobarlas por sus propios medios para establecer conclusiones válidas. La curiosidad por las cosas surge por la actualización de las necesidades de nuestros alumnos; necesidades, no solamente físicas o intelectuales sino también operativas en el pensamiento para buscar soluciones a las dudas que se reflejan en focos concretos de las situaciones propuestas.

Esta etapa subraya el carácter cualitativo del aprendizaje. El respeto al niño es obligación permanente para que su originalidad y creatividad tome forma en las estrategias de construcción del concepto o relación. Y es en esta etapa, más que en ninguna otra, donde el educador pondrá a prueba el dominio que tiene sobre el tema. Un domino sin el cual se perderá fácilmente.

· Etapa de Enunciación. El lenguaje, que desempeña un papel fundamental en la formación del conocimiento lógico-matemático, se convierte muchas veces en obstáculo para el aprendizaje. Los niños no comprenden nuestro lenguaje. Si partimos de nuestras expresiones les obligaremos a repetir sonidos no ligados a su experiencia. Estas expresiones darán lugar a confusión y se verá aumentada la complejidad para la comprensión de los conceptos y la adquisición de otros nuevos. Por esto, llegados al punto en que el niño ha comprendido a partir de la generación mental de una serie de ideas expresadas libremente con su particular vocabulario, se hace necesario enunciar o simbolizar lo que ha comprendido, respecto a la nomenclatura o simbología correctas: los convencionalismos.

Este es el objetivo de esta etapa: poner nombre o enunciar con una correcta nomenclatura y simbología. Por ello, la etapa anterior es de exagerada importancia y debe tener su particular evaluación para no considerar intelectualizado todo lo que en ella se ha visto, sino todo lo que en ella, ciertamente, se ha intelectualizado.

En esta etapa, se puede orientar al sujeto de esta forma: “Eso que tú dices … se dice…”, “Eso que tú escribes como… se escribe…”, “Lo que tú llamas… se llama…”, “Lo que tú expresas de la forma… se expresa…”, “Lo que tú indicas con… se indica…” (…)

· Etapa de Concretización. Es la etapa en la que el educando aplica, a situaciones conocidas y ejemplos claros ligados a su experiencia, la estrategia, el concepto o la relación comprendida con su nomenclatura y simbología correctas. Se proponen actividades similares a las realizadas para que el alumno aplique el conocimiento adquirido, y evaluar en qué medida ha disminuido el desafío presentado en la situación propuesta en la etapa de Elaboración.

· Etapa de Transferencia o Abstracción. Etapa en la que el niño aplica los conocimientos adquiridos a cualquier situación u objeto independiente de su experiencia. Es capaz de generalizar la identificación de una operación o concepto y aplicarlo correctamente a una situación novedosa, tanto en la adquisición de nuevos contenidos, como en la interrelación con el mundo que le rodea. En muchas ocasiones, no se puede estudiar después de la etapa de Concretización; se confundiría con ella y su independencia como etapa no sería significativa. Existen niños que reproducen, sin dificultad alguna, formas de figuras inmediatamente después de haberlas trabajado, y, sin embargo, muchos de ellos no reconocen esas formas en los objetos del entorno en el que desenvuelven su actividad cotidiana, unos días más tarde. Se puede decir, que estos alumnos no han asimilado la relación o conjunto de relaciones trabajadas con anterioridad sobre el concepto. Si esto ocurre, el educador revisará la preparación de las etapas anteriores y su actuación en ellas, desde una investigación-acción.

La etapa más difícil para el educador es la etapa de Elaboración y, sin embargo, debe ser la que le resulte más fácil al educando. Las etapas presentadas no se pueden ver como cuatro pasos distintos sino como un todo ligado en el PROCESO DIDÁCTICO. Las características de la actuación del educador y su incidencia en la actuación del niño de estas edades se pueden resumir de la siguiente manera:

El/la profesor/a tiene que…

· Observar las respuestas de los niños sin esperar la respuesta deseada.

· Permitir, mediante y ejemplos y contraejemplos, que el niño corrija sus errores.

· Evitar la información verbal y las palabras correctivas: “Bien”, “Mal”, o formulaciones con la misma finalidad.

· Respetar las respuestas, conduciendo, mediante preguntas, el camino de investigación que ha propuesto el sujeto.

· Enunciar y/o simbolizar la relación, estrategia, estructura lingüística o procedimiento que se estén trabajando con la nomenclatura correcta, después, y sólo después, de su comprensión.

El/la niño/a tiene que…

· Ver su trabajo como un juego.

· Dudar sobre lo que está aprendiendo.

· Jugar con las respuestas antes de escoger una de ellas.

· Tener la completa seguridad de que no importa equivocarse.

· Conquistar el concepto; luchar por su comprensión.

· Dar explicaciones razonadas.

· Trabajar lógica y matemáticamente.

· Transferir los conocimientos adquiridos a otras nuevas situaciones.

La fiabilidad de lo que el profesor/a enseña se corresponde con la validez de lo que el alumno/a es capaz de crear. Por eso, llamaremos avance didáctico a lo que consiga obtener un mayor rendimiento con un menor esfuerzo.

Bibliografía

· DIENES, Z.P. (1977): Las seis etapas del aprendizaje de la matemática. Barcelona. Teide.

· FERNÁNDEZ BRAVO, J.A. (1995a): Didáctica de la matemática en la educación infantil. Madrid. Ediciones pedagógicas.

· FERNÁNDEZ BRAVO, J.A. (1995b): Las cuatro etapas del acto didáctico.

Revista Comunidad Educativa, núm. 228

· RUSSELL, B. (1988): Introducción a la Filosofía de la Matemática. Barcelona. Paidós.