Tema 22 – El aprendizaje de los números y el cálculo numérico. Números naturales, enteros, fraccionarios y decimales. Sistemas de numeración. Relación entre los números. Operaciones de cálculo y procedimientos del mismo (cálculo escrito, mental, estimación y calculadora). Intervención educativa.

INTRODUCCIÓN

Los contenidos referentes a matemáticas en Primaria se han organizado en cuatro bloques: el primero de todos corresponde al concepto de número y sus operaciones.

En este tema se pretende dar una panorámica actual de lo que representa el concepto de número, los diferentes tipos de números que existen, su necesidad y principales utilizaciones y sus métodos fundamentales de cálculo.

Se ha de dar especial relevancia tanto al sistema de numeración que se utiliza (el decimal), como a las relaciones y propiedades que aparecen en sus cálculos para el des de un correcto cálculo mental. Con todo ello se busca que el alumnado calcule con fluidez y haga estimaciones razonables, tratando de lograr un equilibrio entre comprensión conceptual y competencia en el cálculo.

LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO.

Concepto de número y de cálculo numérico.

Los números son el concepto que subyace en todo proceso de medición, ordenación operación o comparabilidad de magnitudes escalares. La escuela Pitagórica con su frase “todo es número” quería expresar que el origen de todo cuanto existe en el universo puede ser descrito mediante estos conceptos. Las matemáticas de todos los tiempos no consideran a los números como simples símbolos sino como verdaderas estructuras conceptuales susceptibles de explicar cualquier fenómeno geométrico, físico, químico, tecnológico, etc.

Según el DRAL podemos definir el concepto de número (del latín numerus) como un concepto matemático que indica la cantidad de los elementos de un conjunto o el lugar que ocupa un elemento en una serie.

El gran edificio de los números ha sido consustancial a la propia evolución humana, desde las arcaicas civilizaciones donde ya aparecieron los números naturales, enteros o racionales como instrumento para el progreso de las sociedades hasta la fundamentación de números reales o la aparición de los números complejos que obedece más bien a cuestiones profundas e igualmente útiles para el desarrollo de la tecnología.

El cálculo numérico es el conjunto de operaciones y procedimientos para operar con los números. La palabra cálculo procede del latín “calculus” que no eran sino las pequeñas piedras con las que los romanos realizaban sus cuentas numéricas.

Necesidad y uso de los números.

Distinguimos en este tema cuatro grandes conjuntos de números unos incluidos dentro de otros: los números naturales, los enteros, los racionales (fraccionarios) y los reales (decimales).

El concepto de número nace de la necesidad de saber qué cantidad de elementos se posee, se quieren o se necesitan. Dos conjuntos de objetos son iguales si representan el mismo número. Por ello, los números no son entes concretos que se toquen, pero los objetos que representan sí lo son. Básicamente nacen de la necesidad de contar y tienen su importancia en la EP para la adquisición de la comp matemática que permita posteriormente la transferencia de las actividades de recuento y ordenación a las actividades de la vida diaria.

El concepto de número natural está presente desde el inicio de la actividad en matemáticas en todas las civilizaciones. La necesidad para la introducción de estos números es evidente: poder contar o enumerar elementos por lo que la naturaleza de la noción de número natural está estrechamente ligada al concepto de conjunto. Actualmente los números naturales se utilizan para las mismas funciones que los utilizaría cualquier antigua civilización.

Los números enteros fueron introducidos por las civilizaciones antiguas en el momento en que se plantearon relaciones de debito y comercio. Por lo tanto, estos números son tan arcaicos como las relaciones económicas de las primeras civilizaciones. Otros usos que durante la historia se han dado a estos números son el de medición de determinadas magnitudes: tiempo, temperatura, etc. Así como para la resolución de ecuaciones cuya solución escapa de los números naturales.

La motivación histórica para la introducción de los números racionales es la necesidad de caracterizar la partición de un total en partes iguales o lo que es lo mismo, dar soluciones de ecuaciones de la forma b.x= a. siendo a y b números enteros distintos de cero y x un número a determinar. Dado que en general b no es divisor de a, la anterior ecuación no tiene soluciones en el conjunto Z de los números enteros. Como consecuencia debemos buscar un conjunto más grande en el que plantear y resolver tales ecuaciones.

Las fracciones y números racionales se utilizan igualmente para cálculos de subidas y disminuciones porcentuales, para resolución de problemas de particiones de una cierta cantidad y como operador en ciertos procesos (Ej.: calcular el precio de un coche que sin IVA cuesta 12.000€, calcular las dos quintas partes de una terreno de 24 ha.)

Los números racionales son incluso anteriores en sus orígenes a los números enteros negativos puesto que su naturaleza es la de repartir mientras que la de los otros es de debito. Civilizaciones como la egipcia y la babilónica ya disponían de un complejo fraccionario.

La implantación de los números decimales obedece fundamentalmente a criterios de medición y cálculo de ciertas longitudes sobre magnitudes escalares así como para dar explicación a determinados números como π que aparecen en objetos geométricos tan importantes como la circunferencia y que no proceden de fracción alguna.

LOS NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES DE CÁLCULO

Definición del conjunto de los números naturales

El conjunto de los números naturales está formado por los números 0, 1,2,3,… A este conjunto se le denomina con la letra N y se verifica que es un conjunto infinito pero con primer elemento que es el 1.

Los números naturales sirven ante todo para contar y para ordenar elementos.

En muchas ocasiones el número 0 no se le considera número natural sino entero por cuestiones históricas acerca de la inclusión tardía del cero como compensación a la idea de nada que hasta entonces no se anotaba en los cálculos. Por ello muchos no le suelen otorgar el rango de natural.

En el conjunto de los números naturales son siempre posibles una serie de operaciones (operaciones internas) y otras no. Así, la suma y la multiplicación son siempre posibles, mientras que no lo son siempre la resta y la división.

Operaciones de cálculo con los NN. Propiedades de cálculo.

La suma. Se entiende modernamente como el proceso por el cual se cuentan los elementos de la unión de dos o más conjuntos. Así, dados dos conjuntos A y B con elementos n y m respectivamente, se define la suma de n+m como el número de elementos de conjunto AUB.

Las propiedades que aparecen en N a partir de la operación suma son las siguientes:

· Conmutativa: a+b=b+a.

· Asociativa: a+ (b+c)= (a+b)+c.

· Elemento neutro: es aquel que sumado a cualquier número natural no lo modifica. En la suma es el 0. a+0=0+a=a.

Los términos de la suma se llaman sumandos y el resultado se denomina suma.

El producto o multiplicación. Se define la suma sumandos iguales. Los términos de la multiplicación se llaman factores. Uno indica la cifra que estamos sumando y el otro el número de veces que sumamos esa cifra.

Las propiedades que aparecen en N a partir de la operación producto o multiplicación son:

• Conmutativa: a.b=b.a
• Asociativa: a.(b.c)=(a.b).c
• Elemento neutro: aquel que multiplicado a cualquier número natural no lo varia. En la multiplicación es el 1. a.1=a
• Distributiva respecto de la suma: a. (b+c)= a.b+a.c.

A partir de la multiplicación se puede definir la potencia de números naturales.

Una potencia es una multiplicación iterada de modo que dados a y n naturales, la potencia “a elevado a n” es el producto a.a.a…..a.a, n veces. Al valor a se denomina base de la potencia y al valor n exponente de la misma. Como consecuencia de lo dicho anteriormente, la potenciación será también una operación interna en N y presenta las siguientes propiedades:

• a 0
• a elevado a 1=a.
• a elevado a n por a elevado a m= a elevado a n+m.
• n>m, a elevado a n dividido por a elevado a m = a elevado a n-m.
• a elevado a n y a m= a elevado a n.m.

La operación de radicación o raíz es la operación inversa de la operación de potencia de modo que dados los naturales a y n, la raíz enésima de a es el resultado b si y solo si al elevar el resultado b al exponente n obtenemos el valor a. Es decir:

Al número n lo llamamos índice de la raíz y al valor a lo denominaremos radicando.

Ej.:

La resta, diferencia o sustracción. Convencionalmente restar es quitar, contar hacia atrás.

Los términos de la resta se denominan minuendo (colocado arriba o el primero), sustraendo (colocado debajo o a la derecha), representa la cantidad que hay que quitar al primero y diferencia, que es el resultado.

En los números naturales, la resta de dos números naturales no siempre es un número natural. Por ello se dice que la resta no es una operación interna en N, ya que el resultado puede ser un número que no sea natural (cuando el sustraendo sea mayor que el minuendo).

Las propiedades de la resta son:

• No es una ley de composición interna en N, ya que algunas diferencias no pertenecen a N, y otras sí.
• No es conmutativa.
• No es asociativa.

La división. La división esta asociada a la idea de repartir en un número finito las partes de un todo. Según la teoría aritmética: dados dos NN D y d, dividir D por d significa encontrar otros NN c y r tales que D=d.c+r, siendo r<d.

Al dividir dos NN no siempre se obtiene un número natural, por ello se dice que no es una operación interna en N. no obstante las propiedades fundamentales de la división son:

• Si el resto es cero se dice que la división es exacta, siendo en este caso la operación inversa a la multiplicación.
• Si se multiplica el dividendo y el divisor de una división por un mismo número n, no se modifica el cociente de la división, pero cambia el resto que queda multiplicado también por n.

Los términos de la división son: D: dividendo, d: divisor, c: cociente y r: resto.

Ordenación en el conjunto de los NN.

Dados dos NN a y b, se dice que a es menor o igual que b si existe algún NN c tal que a+c=b. Ej.: 3<5 porque 3+2=5.

LOS NÚMEROS ENTEROS. OPERACIONES DE CÁLCULO.

Definición del conjunto de los NE.

El conjunto de los NE se denota mediante la letra Z y está formado por el conjunto de los NN (que llamaremos enteros positivos), el número cero y los NN con signo menos (llamados negativos). Es conjunto infinito, pero a diferencia del anterior no tiene elemento primero.

Un NE es aquel que resulta de restar dos NN cualesquiera:

• Si restamos el menor del mayor, el resultado es un número positivo.
• Si restamos el mayor del menor, el resultado es un número negativo.

Por tanto las operaciones internas del conjunto Z son la suma, la sustracción y la multiplicación. Sin embargo al dividir dos NE no siempre el resultado es otro número entero, es decir, la división no es una operación interna al conjunto Z.

Operaciones en los NE. Propiedades de cálculo.

Para poder definir de un modo más cómodo las principales operaciones en los NE, damos previamente la definición de valor absoluto de un NE.

Llamamos valor absoluto de un NE a, al número natural que resulta de suprimir el signo a dicho NE. Se simboliza colocando el número entre dos barras. Ej.:/+4/= 4, /-7/= 7. Esto significa obviamente que un mismo valor absoluto corresponde a dos NE diferentes.

La suma y la resta. Al sumar dos NE siempre resulta un NE. Para sumar dos NE:

• Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y el resultado llevará el mismo signo que los sumandos.
• Si tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos y el resultado llevará el signo del número que tenga mayor valor absoluto.

En el cálculo de NE hay que tener presente la prioridad de las operaciones, de forma que siempre, y con carácter general, un paréntesis indica la prioridad de la operación encerrada en dicho paréntesis.

Las propiedades de la suma de NE son las mismas que las de los NN. Además el elemento simétrico o el opuesto de un NE. Para todo a perteneciente a Z, existe un –a perteneciente a Z, de tal forma que a-+a=0.

Para restar NE basta con sumar al primero el opuesto del segundo. De esta forma, al existir números positivos y negativos, la sustracción de NE se convierte en un caso particular de adición.

La multiplicación. Para el producto podemos dar reglas prácticas del siguiente modo:

• Para multiplicar dos NE del mismo signo, se multiplican los valores absolutos de los números y se añade el signo mas (+).
• Para multiplicar dos NE de distinto signo, se multiplican los valores absolutos de los números y se añade el signo menos (-).

La multiplicación de NE tiene las mismas propiedades que la multiplicación de los NN.

La potenciación. Extiende su definición y propiedades y propiedades definiendo la potencia de exponente negativo, del siguiente modo:

La división. En el conjunto de los NE sólo es posible realizar divisiones exactas. Se aplican las mismas reglas de signos que para la multiplicación.

Por último, en el caso de operaciones combinadas entre NE se debe tener presente que cuando se realizan, la multiplicación y la división son prioritarias sobre la suma y resta, de forma que no se puede sumar o restar a un número que está multiplicando o dividiendo. Estas reglas se concretan en:

• Si no hay paréntesis:

a) Se realizan en primer lugar las raíces y potencias, después los productos y cocientes y, por último, las sumas y restas.

b) La realización de varias operaciones de un mismo rango se hará de izquierda a derecha.

• Si hay paréntesis:

a) La realización de los paréntesis es prioritaria, salvo que se eliminen o modifiquen de acuerdo con las propiedades aritméticas.

b) En el caso de paréntesis encajados, tienen prioridad los interiores respecto a los anteriores.

Concepto de múltiplo y divisor. Procedimientos de cálculo: MCD Y mcm de varios números.

A partir de la división exacta aparecen definiciones muy utilizadas en las matemáticas:

• Dados dos enteros a y b, se dice que a es múltiplo de b si existe un entero c tal que a = b.c.
• Dados dos enteros a y b, se dice que b es divisor de a si existe un entero c tal que a = b.c. Por lo tanto la división de a entre b debe ser exacta.
• Un número se dirá primo, cuando sólo es divisible entre el mismo y 1. Si un número no es primo es compuesto.

En estas condiciones se puede definir el MCD y el mcm de dos o más números:

• Dados dos números enteros a y b, se llama MCD de ay b al mayor entero que divide a vez ambos números. Existe una regla muy útil para calcularlo: se tomará el producto de los factores primos comunes con el menor exponente que hayan aparecido en las descomposiciones.
• Dados dos números enteros a y b, se llama mcm de a y b, al menor entero que es múltiplo a la vez de ambos números. Para calcularlo se tomará el producto de todos los factores primos con el mayor exponente que hayan aparecido en las descomposiciones.

Ordenación de los números enteros.

Dados dos números enteros a y b, se dice por definición que a es menor o igual que b, si b-a pertenece al conjunto de los números naturales.

Ej.: -3<-2 porque -2- (-3)= -2+ (+3)= 1 que es un NN.

LOS NÚMEROS RACIONALES O FRACCIONARIOS. OPERACIONES DE CÁLCULO.

Definición del conjunto de los números racionales.

De la necesidad de resolver el problema de la división en todos los casos surge la noción de número fraccionario, de forma que la división de dos números enteros cuyo resultado no sea otro número entero forma un número fraccionario. Una fracción es un par ordenado de números enteros, de manera que el segundo término del par (denominador) divide al primero (numerador).

Se denomina conjunto de fracciones al conjunto de los números enteros Z y conjunto de los números reales menos el cero Z* tal que:

ZxZ*= {a/b, a,b pertenece a Z, b ≠ 0 }

Al conjunto de los números racionales le llamamos Q.

Fracciones equivalentes. Dos fracciones son equivalentes si el producto de medios es igual al producto de extremos:

a/b = c/d si a.d = b.c.

Fracción irreducible. Una fracción a/b decimos que es irreducible si el MCD (a,b) = 1. Es decir a y b son primos entre sí.

Fracción propia. El valor absoluto del numerador es menor que el VA del denominador.

Fracción impropia. El VA del numerador es mayor o igual que el VA del denominador. En este caso siempre existirá una descomposición de la fracción impropia como un número entero más una fracción propia.

Fracción positiva. Si a.b > 0.

Fracción negativa. Si a.b > 0.

Fracción nula o cero. Si a = 0.

Operaciones en los números racionales. Propiedades de cálculo.

Suma y resta. La suma de dos fracciones de igual denominador se define como el resultado de sumar los numeradores y dejar invariante el denominador. La diferencia es restar los numeradores y dejar invariante el denominador. Si tienen distinto denominador se reducen a común denominador (que será el mcm de todos los denominadores) y se aplicarán las normas anteriores. Otra forma de sumar o restar sin aplicar el mcm es:

a/b + c/d = a.d +b.c/b.d.

Para la resta se procede de igual modo que para la suma pero mediante la propiedad del elemento opuesto:

a/b –c/d = a/b + (-c/d).

Las propiedades de la suma son: asociativa, conmutativa, elemento neutro y elemento simétrico.

La multiplicación. El producto de dos fracciones es igual al producto de los numeradores como nuevo numerador y al producto de los denominadores como nuevo denominador. En el cas0 de las fracciones no es posible interpretar el producto de dos fracciones como una suma reiterada de un mismo valor numérico. Ello se justifica en que el número de veces no puede ser fraccionario.

a/b. c/d =a.c/b.d

Las propiedades de la multiplicación son: asociativa, conmutativa, elemento neutro, elemento simétrico y distributiva respecto de la suma.

Potenciación y radicación. La radicación no es más que una potencia de exponente fraccionario:

La división. Consiste en multiplicar el dividendo por el inverso del divisor, convirtiendo por tanto la división en una multiplicación.

a/b : c/d = a.d / b.c.

Ordenación de los números racionales.

Dados dos números racionales se dice por definición que a/b es menor que b/c si b/c – a/b es mayor o igual que 0.

Representación de los números racionales en la recta.

Para representar el punto en el que el número racional a/b debe considerarse en la recta de los enteros, debemos dividir cada unidad en las partes que indique el denominador b y contar, desde el punto 0 de los enteros, tantas partes iguales como indique el numerador a. Si este es positivo, contaremos a la derecha y si es negativo, contaremos hacia la izquierda.

LOS NÚMEROS DECIMALES. OPERACIONES DE CÁLCULO.

Definición y tipos.

Al igual que los diferentes tipos de números los hemos ido definiendo en función del grupo anterior, a continuación vamos a definir el número decimal en referencia al número fraccionario o racional: todo NR tiene un desarrollo decimal que se puede calcular dividiendo su numerador entre su denominador. Esto constituye una inmersión del conjunto de los NR en los decimales que conserva las operaciones de suma y producto a la vez que la ordenación de los números.

Al conjunto de los números decimales se le denota con la letra R.

Los ND se clasifican, por su desarrollo decimal, en tres grupos según su formación. Los dos primeros son desarrollos que aparecen a partir de los NR mientras que el último grupo constituye un nuevo tipo de número no tratado hasta ahora: los números irracionales.

Decimales exactos. Tienen un número finito de cifras decimales. Ej.: 43,27 que es igual a 4327/100

Decimales periódicos. Tienen un número infinito de cifras decimales.

• Periódicos puros. El periodo aparece justo después de la coma: 3,121212…. = 309/99
• Periódicos mixtos. Si entre la coma y el periodo aparece algún número: 4,3414141… = 4298/90

Decimales no exactos ni periódicos (números irracionales). La negación de los anteriores casos nos lleva a un tipo decimales de carácter infinito pero sin contener ninguna estructura periódica. Esta clase de expresiones decimales no corresponden a ningún NR por los que son expresiones irracionales que dan lugar a los NI: 3.1415…, e =2,7071…, ó la raíz de 2 = 1,4142.

Operaciones en los ND. Propiedades de cálculo.

Suma y resta. Al número que tenga la parte decimal más corta se le añadirá ceros hasta que tengan el mismo número de cifras después de la coma. De esta manera se disponen los números en columnas y la coma debajo de la coma. Sólo queda aplicar el algoritmo de la adicción o de la sustracción en N, aplicándole, por tanto las mismas propiedades.

La multiplicación. El procedimiento consiste en realizar la multiplicación de los dos números como si fueran enteros, prescindiendo de la coma, para colocarla finalmente en el producto contando (a partir de la derecha) el número de cifras igual a la suma de las cifras de las partes decimales de los dos factores.

La división. La división de dos decimales se puede reducir siempre a la de un dividendo decimal y un divisor entero, ya que si el divisor tuviera decimales se puede transformar en entero multiplicando por la potencia de diez conveniente ambos números. El algoritmo que se aplica es el mismo que el de la división entera. Se traslada la coma al cociente cuando se la encuentra en el dividendo. Cuando se agotan las cifras del dividendo se continúa la división “bajando ceros”.

Algoritmo para el cálculo de raíces exactas. Explicar el procedimiento para calcular la raíz de 141,61.

SISTEMAS DE NÚMERACIÓN.

Un sistema de numeración es un conjunto de reglas y signos que se emplean para expresar todos los números usando un número finito de símbolos.

A lo largo de la historia se han sucedido innumerables sistemas de numeración dependiendo, fundamentalmente, de la zona geográfica y las culturas predominantes en dichas zonas. Surgen de la necesidad de establecer unos signos convencionales y conocidos por una población determinada que permita asignar cantidades, posiciones, operar, realizar transacciones comerciales, etc.

Las características generales de los sistemas de numeración, son:

• Los signos no representan sólo unidades, sino también grupos de unidades. A cada uno de esos grupos de unidades se le llama unidad de orden superior. Al número de unidades que constituye cada unidad de orden superior se le llama base del sistema de numeración.
• Cualquier número se representa mediante combinaciones de los signos definidos en el sistema de numeración.

Los sistemas de numeración los podemos clasificar en tres grandes grupos: sistemas aditivos, multiplicativos y posicionales. En la actualidad se emplean los posicionales debido a la facilidad de utilización.

El sistema de numeración arábigo que utilizamos actualmente para representar nuestros números es posicional y basado en 10 símbolos (o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). En cuanto a que el sistema de numeración es decimal o de base 10 es consecuencia de la utilización de diez símbolos para escribir cualquier número. No hay ninguna razón intrínseca por la que deban usarse potencias de 10 en lugar de potencias de otros números. La razón más extendida es la simple estructura de nuestras manos en diez dedos. Sin embargo hubo otras culturas que utilizaron sistemas de numeración diferentes como por ejemplo los babilonios que usaron la numeración sexagesimal de la que todavía respetamos en la medida del tiempo o de los ángulos.

El sistema decimal tiene su origen en la India y fue introducido en occidente por los árabes. Posicional significa que cada símbolo que utilizamos significa diferente en función de la posición en la que esté. Ej.: los números 247 724 son diferentes aún cuando se escriben con las mismas cifras. Esto es debido a que cada número es un polinomio de la potencia 10 con coeficientes dados por números desde el 0 hasta el 9. Así:

247= 2.10 +4.10 +7.10

724= 7.10 +2.10 +4.10

De este modo, la posición de una cifra que describe un número entero recibe un nombre. De entre las más destacadas tenemos:

• Al coeficiente de la potencia de diez con grado 0 se le denomina unidades.
• Al coeficiente de la potencia de diez con grado 1 se le denomina decenas.
• Al coeficiente de la potencia de diez con grado 2 se le denomina centenas.
• Al coeficiente de la potencia de diez con grado 3 se le denomina unidades de millar.

Como dijimos anteriormente, toda expresión decimal consta de una parte entera y una decimal. Teniendo en cuenta que la parte decimal de un desarrollo en base 10 se puede también reescribir como un polinomio en potencias de base 10 y exponente negativo, podemos definir nuevas posiciones como son las siguientes:

• Al coeficiente de la potencia de diez con grado -1 se le denomina décimas.
• Al coeficiente de la potencia de diez con grado -2 se le denomina centésimas.
• Al coeficiente de la potencia de diez con grado -3 se le denomina milésimas.
• Al coeficiente de la potencia de diez con grado -4 se le denomina diez milésimas.

Existen como ya hemos dicho otros sistemas de numeración diferentes al que usualmente utilizamos. En la tecnología de los ordenadores informáticos se utilizan también sistemas de numeración con base 2 (binario) que suele utilizar los símbolos 0 y 1 mientras que otra de las bases más interesantes tecnológicamente hablando es la 16 (hexagesimal)

que utiliza los símbolos o,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E.

El número 1001₂ es el 9:

Por otra parte si queremos saber que número binario corresponde al número 431 deberemos dividir reiteradamente entre 2 al número y sus sucesivos cociente y tomar nota del último cociente y sucesivos restos en el orden marcado inverso a como los hemos obtenido. Ej.:

Los astrónomos babilonios usaban un sistema con base 60 (sexagesimal). Un resto de esta práctica es la unidad grado que utilizamos para medir ángulos, dividiendo el círculo en 360 partes. Otra reminiscencia de dicha base es la división de la hora en 60 min y el min en 60 segundos.

RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS.

En la conceptualización de número hemos dejado patente la necesidad histórica de crear signos que, asociados a cantidades u órdenes, permitan operaciones de tipo comercial, administrativo y social.

Así pues, desde los números naturales hasta los fraccionarios, decimales, etc., ha venido existiendo la necesidad de ampliar el campo numérico basándonos para ello en la teoría de conjuntos.

La relación entre los diferentes tipos de números se conceptualiza como una relación de inclusión sucesiva desde los números naturales hasta los racionales:

• Conjunto N: 0,1,2,3,4…
• Conjunto z: …-3,-2,-1,0,1,2,3… El conjunto N coincide con el conjunto z+, . El conjunto N por tanto está incluido en el conjunto Z.
• Conjunto F: si el denominador no divide al numerador. Puede ser negativo o positivo.
• Conjunto Q (números racionales): formados por la unión de los conjuntos Z (todos los números enteros se pueden expresar de forma fraccionaria) y el conjunto F, entendiendo que en este último están incluidos los números decimales a los que por definición se les puede encontrar una fracción decimal correspondiente. Por definición, los conjuntos F y Z están incluidos en el conjunto Q de los números racionales.

PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO. CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y CALCULADORA.

Cálculo escrito.

Todas las propiedades citadas anteriormente sobre cada uno de los conjuntos crean la llamada jerarquía de operaciones en R que sirve para conocer el lugar por el que hay que empezar cualquier cálculo numérico y el orden ha seguir. Si el cálculo es escrito, una ayuda importante suele ser la inclusión de paréntesis y corchetes con el fin de dar las siguientes reglas:

• En cualquier cálculo se efectuarán siempre los paréntesis y corchetes lo primero y dentro de estos nuevamente se buscarán estos elementos.
• En ausencia de paréntesis y corchetes se efectuarán los productos, potencias y divisiones.
• En ausencia de paréntesis, corchetes, productos, potencias y divisiones se efectúan las sumas y restas.

Cálculo mental.

Al mismo tiempo, se pueden ejercitar los cálculos mentales más simples que vayan conformando procesos lógicos mentales conformes a las reglas de cálculo, mediante ejercicios encaminados a ello como puedan ser:

• Operar mentalmente en sumas, restas y multiplicaciones por compensación en todo tipo de números. 74-28=76-30. 11×12=10×12+12.
• Calcula mentalmente un número a partir de un cierto número dado de ellos y mediante las operaciones básicas.
• Cálculos concatenados con números naturales o enteros.
• Búsqueda de dobles, triples, mitades, cuartas partes, etc.
• Buscar múltiplos y divisores.
• Buscar números primos hasta 100.
• Descomposición de números compuestos en productos de varios y en productos de primos.
• Operaciones sencillas de suma y resta con fracciones con el mismo denominador.
• Cálculo de la fracción de un número dado.
• Multiplicar o dividir por la unidad seguida de ceros.

Estimaciones en expresiones decimales: cifras significativas, notación científica y redondeo.

En ocasiones ocurre que la exactitud que deseamos para la cuenta no coincide con el número total de dígitos que se nos plantean inicialmente. En estos casos optaremos por:

a) Aproximación por cifras significativas. Consiste en estimar o aproximar un número decimal dado mediante un número K de cifras significativas determinado. Se mantienen las primeras K cifras del número a partir de la primera distinta de cero (empezando por la izquierda) y sustituir las siguientes por cero. Ej.: 0,09054 = 0,0905.

b) Aproximación mediante notación científica. Este proceso se utiliza cuando el número a utilizar para los cálculos es demasiado grande o demasiado pequeño (entendemos por pequeño cercano a 0). Se escribirá el número en notación científica: 1,495.10⁹ = (1+ 4.10^-1 +9.10^-2 +5.10^-3 ) .10⁹.

c) Proceso de redondeo. Un redondeo de un número decimal hasta cierta posición (decenas, unidades, décimas…) es una aproximación a la expresión decimal finita más cercana que sólo contenga cifras hasta dicha posición. Para ello, se conservarán todas las cifras del número hasta dicha posición pero, en esta última haremos los siguiente:

§ Añadiremos 1 a la cifra de última posición si su siguiente cifra es mayor o igual que cinco.

§ Dejaremos la misma cifra en la última posición si la siguiente es menor que 5.

d) Estimación de raíces. Ej.: raíz de 53 será 7 por defecto y 8 por exceso.

Calculadora

La calculadora es una herramienta de trabajo extraordinariamente útil para llegar con mayor rapidez a determinados resultados. Sin embargo, esta herramienta no debe sustituir al cálculo escrito y mental que el alumno debe ejercitar.

La utilidad principal de la calculadora es el conocimiento de sus principales teclas a partir de ejercicios sencillos a la vez que puede utilizarse en procesos de búsqueda, ensayo-error, comprobación de un cálculo metal antes efectuado, etc. Pero nunca para operar con magnitudes y tamaños que se puedan hacer mentalmente con facilidad.

Los elementos a utilizar en una calculadora en estos niveles son: las teclas de operación suma, resta, multiplicación, división, exponente, raíz y memoria. Es importante hacer hincapié en que la jerarquía de operaciones la debemos introducir nosotros en la calculadora.

Ejercicios adecuados podrían ser:

• Calcula mentalmente y después comprueba tus cálculos con la calculadora.
• Busca con la calculadora el dígito que hay que poner en cada espacio para que se verifique la igualdad 4_5 + 85= 1_13
• Su en tu calculadora no funcionase la tecla cero, como conseguirías que apareciesen los siguientes números: 180, 108, 1080, 104050.
• En la pantalla de la calculadora aparece el número 56329, ¿cómo conseguirías variar el 3 en un 0?, y el 6 en un 8?

INTERVENCIÓN EDUCATIVA

Los diferentes contenidos que se han desarrollado en esta unidad son objeto de aprendizaje en los tres ciclos de la EP. Este hecho se recoge en el análisis de los distintos elementos del currículo de RD 113/2006, de 7 de diciembre, por el se establecen las enseñanzas mínimas de la EP.

Objetivos.

Evidentemente por cuestiones de tiempo, no podemos exponer aquí todos los objetivos, contenidos y criterios de evaluación del área de matemáticas, por lo tanto concretaremos algunos de ellos (los más relacionados con este tema):

1. Utilizar el conocimiento matemático para comprender, valorar y producir informaciones y mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana y reconocer su carácter instrumental para otros campos de conocimiento.
2. Reconocer situaciones de su medio habitual para cuya comprensión o tratamiento se requieran operaciones elementales de cálculo…
3. Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso…
4. Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y medida,…
5. Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo como en la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas.

Contenidos.

Los contenidos que se desarrollan en esta unidad se relacionan fundamentalmente con el bloque de contenido 1. Números y operaciones:

Primer ciclo:

• Lectura y escritura de números. Grafía, nombre y valor de posición de números hasta tres cifras.
• Utilización en situaciones familiares de la suma, la resta la multiplicación.
• Construcción de las tablas de multiplicar del 2, 5 y 10 apoyándose en número de veces, suma de sumandos iguales.

Segundo ciclo:

• Sistema de numeración decimal. Valor de posición de las cifras. Su uso en situaciones reales.
• Utilización en contextos reales de la división para repartir y agrupar.
• Descomposición aditiva y multiplicativa de los números.

Tercer ciclo:

• Números positivos y negativos. Utilización en contextos reales.
• Potencia como productos de factores iguales. Cuadrados y cubos.
• Utilización de la suma, resta, multiplicación y división con distintos tipos de números en situaciones cotidianas y en contextos de resolución de problemas.

Criterios de evaluación

Son un referente fundamental para el desarrollo de la evaluación del proceso de EA que permite valorar la consecución de los objetivos y competencias básicas definidas en el currículo de las diferentes enseñanzas. Algunos de ellos son:

Primer ciclo:

• Formular problemas sencillos en los que se precise contar, leer y escribir números hasta el 999.
• Realizar, en situaciones cotidianas, cálculos numéricos básicos con las operaciones de suma, resta y multiplicación, utilizando procedimientos diversos y estrategias personales.

Segundo ciclo:

• Realizar cálculos numéricos con números naturales, utilizando el conocimiento del sistema de numeración decimal…
• Utilizar estrategias personales de cálculo mental en cálculos relativos a la suma, resta, multiplicación y división simples.

Tercer ciclo:

• Leer, escribir y ordenar, utilizando razonamientos apropiados, distintos tipos de números.
• Utilizar los números decimales, fraccionarios y los porcentajes sencillos para interpretar e intercambiar información en contextos de la vida cotidiana.

Recursos didácticos.

Recursos personales.

Se entienden como todas aquellas interacciones que apoyan y participan en le trabajo de contenidos y objetivos de aprendizaje. Entre ellos resalta el papel del maestro y de los iguales.

Uno de los principales recursos personales es la labor del maestro:

• Enseña las áreas.
• Evalúa el proceso de EA.
• Tutoría y orientación del aprendizaje en colaboración con las familias.
• Atención al desarrollo afectivo, social y moral de los niños.
• Mediador esencial entre el niño y los contenidos al determinar su selección, organización y presentación.

Se destaca también el papel de los compañeros ya que intervienen en la labor de mediación y será una de las funciones del profesor canalizar tal mediación para que sea oportuna y eficaz.

Por último en concordancia con la LOE se destaca el valor de la familia como recurso personal y la necesidad de que desde los centros de escolares se coopere estrechamente con la misma, con el fin de respetar su responsabilidad fundamental.

Recursos ambientales.

Los recursos ambientales comprenden desde la conformación flexible y funcional del espacio del aula, hasta la utilización de los distintos espacios del centro y los ambientes que fuera de él puedan cooperar en el tratamiento de los contenidos.

Destacan los siguientes:

El aula, el colegio, el entorno social (ludotecas, bibliotecas, museos, parques, ferias de ciencia…).

Las salidas fuera del centro desempeñan un importante papel en la enseñanza al facilitar la observación y el encuentro con el medio NSC y laboral y los proceso y fenómenos que en ellos tienen lugar. Ilustran y hacen más comprensibles a los alumnos determinados conocimientos.

Recursos materiales.

En el tratamiento didáctico de las ciencias resultan de especial interés los siguientes materiales: de representación, impresión, audiovisuales e informáticos.

• De representación: regletas, cubos encajables, regletas retroproyectables, ábaco abierto, cartas numéricas, dominó de equivalencias, dominós de sumas, dominó de operaciones, dominó de equivalencias de fracciones, círculo de fracciones, suma 15, el juego del 11.
• Impresos: normativa de la EP, guías didácticas de los proyectos editoriales.
• Audiovisuales: aparatos (visuales, auditivos y audiovisuales) y producciones.
• Informáticos: el ordenador y sus componentes, programas informáticos, páginas web.