1.- INTRODUCCIÓN
2.- LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO
1.1.- Conceptos previos.
1.2.- El cálculo.
1.3.- Estándares de números.
3.- NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALES.
2.1.- Números naturales (N)
2.2.- Números enteros (Z)
2.3.- Números fraccionarios
2.4.- Los números decimales
4.- SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
3.1.- Definición.
3.2.- Clasificación.
5.- RELACIONES ENTRE LOS NÚMEROS
5.1.- La suma y la resta.
5.2.- La multiplicación y la división.
6.- CÁLCULO ESCRITO, ESTIMADO, MENTAL Y DE LA CALCULADORA
7.- INTERVENCIÓN EDUCATIVA
8.- CONCLUSIÓN
9.- BIBLIOGRAFÍA
1.- INTRODUCCIÓN
En el área de Matemáticas el alumnado desarrolla habilidades para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos…, pero ¿para qué? Para producir e interpretar distintos tipos de información, para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad y para resolver problemas de la vida cotidiana.
Con la entrada en vigor de la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (LOE) y su Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria, el principal objetivo del área para su desarrollo en los alumnos,as se centra desarrollar la competencia matemática.
La construcción de la noción de número y de las operaciones que se pueden realizar con ellos, han sido sin duda formalizaciones matemáticas de extraordinaria importancia para la humanidad.
En el currículo de la Educación Primaria, adquiere su importancia por el relevante significado matemático y por su contribución al desarrollo de la capacidad cognitiva de los alumnos (Decreto 105/1992, de 9 de junio, por el que se establecen las enseñanzas correspondientes a la Educación Primaria en Andalucía).
Tal y como dice el Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre:
“en la Educación Primaria se busca alcanzar una eficaz alfabetización numérica, entendida como la capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones en las que intervengan los números y sus relaciones, permitiendo obtener información efectiva, directamente o a través de la comparación, la estimación y el cálculo mental o escrito”.
2.- LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO
Los niños llegan a la escuela con una gran variedad de conocimientos numéricos que han ido adquiriendo en la vida cotidiana. Es necesario que los docentes conozcan esos preconceptos para poder diseñar estrategias que les permitan cuestionar y reformular esas ideas y favorecer las situaciones que den significado a los números.
1.1.- Conceptos previos.
Concepto de número
Los números son símbolos con los cuales se busca indicar una cantidad.
Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral.
La grafía de los primeros números
La lectura y escritura de los números requieren un cuidado especial en el trabajo que se desarrolle desde la Educación Infantil.
La escritura de los primeros números exige la presencia de un conjunto de reglas que trasladan una imagen mental a una actividad motriz. Este planteamiento supone una enseñanza centrada en destacar las características distintivas, las diferencias y la orientación como un factor necesario para distinguir formas escritas.
Tipos de números
Podemos encontrar distintos tipos de números:
- Naturales
- Enteros
- Racionales
- Reales
- Complejos
- Cuaterniones
- Infinitos
- Transfinitos
- Negativos
- Fundamentales
1.2.- El cálculo.
Es la capacidad de las personas para razonar con conceptos numéricos y matemáticos.
Se conoce con el nombre de algoritmos de cálculo a todos los procedimientos o métodos de los cuales se pueden hacer uso para calcular.
Principios que rigen el cálculo
Los algoritmos de cálculo se sustentan en los principios de la numeración decimal.
- Las cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
- El agrupamiento decimal y valor de posición: Leyendo de derecha a izquierda las cifras representan unidades, decenas, centenas, millares, etc.
- El cero.
- El agrupamiento multiplicativo: Todo número natural es una suma de multiplicaciones ordenadas de sus cifras, de derecha a izquierda por 1, 10, 100, 1000…
En definitiva, todo número natural se pude escribir de varias maneras:
– En forma posicional 423
– Descompuesto:
§ En unidades, decenas, centenas… 4c, 2d, 3u
§ En suma de números acabados en ceros: 400+20+3
§ En suma de productos por la unidad seguida de ceros en orden decreciente… 4×100 + 2×10 + 3
1.3.- Estándares de números.
Las orientaciones curriculares del Nacional Council of Teachers of Matematics (NCTM, 2000) proponen que la educación matemática, con relación al bloque temático de “Números y operaciones”, debe desarrollar el “sentido numérico”.
3.- NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALES.
El conocimiento de los números naturales, decimales y fraccionarios, y su escritura en diferentes sistemas de representación, ocupan una parte muy significativa del aprendizaje de las Matemáticas en la Educación Primaria. Los números son objetos matemáticos relevantes, no sólo por su tradición histórica y su utilidad, fuera de toda duda, sino también por su contribución significativa al desarrollo cognitivo y al pensamiento matemático de los alumnos. Ello supone que deban ser considerados como una parte esencial del currículo matemático en Educación Primaria.
2.1.- Números naturales (N)
Historia
Antes de que surgieran los números el hombre se las ingenió para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 aC. Donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en forma de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, por los Griegos y Romanos.
Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Dedekind. Este los derivó de una serie de postulados que después precisó Peano.
Definición
Los números naturales son cualquier sistema de “objetos” que se usan para informar del cardinal de los conjuntos y para ordenar sus elementos, indicando el lugar que ocupa cada elemento dentro del conjunto.
El sistema más común es el de las palabras: cero, uno, dos, tres… y los símbolos, 0, 1, 2, 3…
Deben tener una estructura específica, que se concreta en los llamados axiomas de Peano, que se basan en ideas muy sencillas:
Axiomas de Peano
· Números naturales: forman un conjunto ordenado
Consideramos como conjunto de los números naturales todo aquel en el cual cada elemento tiene un único siguiente.
· Cardinal: clase de equivalencia
Dos conjuntos de objetos que tienen el mismo cardinal son equivalentes y todos los conjuntos equivalentes forman una misma clase de conjuntos.
· Ordinal: número de orden
Ordenar un conjunto A es ponerlo en bisección con una parte del conjunto ordenado de N, pero atribuyendo a cada elemento de A un número fijo de N, que se llama su número ordinal, o número de orden.
· Definición de orden: operaciones
Una posibilidad es definir la relación de orden en los números naturales a partir de las operaciones.
Dados dos números naturales a y b, a es menor o igual que b, a <, si existe otro número natural d tal que a + b = d. esta relación binaria definida en N cumple las propiedades:
o De orden total.
o Reflexiva.
o Antisimétrica.
o Transitiva.
Uso de los números naturales
Los números naturales son usados para dos propósitos fundamentalmente:
o Para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada.
o Para especificar el tamaño de un conjunto finito.
Representación de los números naturales en la semirrecta numérica
Los números naturales se pueden ubicar en una semirrecta de modo que a cada número le corresponde un punto de la semirrecta, en la cual cada punto se ubica a la misma distancia uno de otro. Para tal efecto, se escoge el origen de la semirrecta como el punto correspondiente a cero y a partir de él se ubican, en orden, los números: 1, 2, 3, 4, …
A esta asociación de los números naturales y puntos ubicados en la recta, se le denomina semirrecta numérica. (dibujo)
2.2.- Números enteros (Z)
Definición
Al ser humano se le presentaron otros problemas: ¿Cómo indicar temperaturas bajo 0? ¿Cómo diferenciar alturas y profundidades de la tierra?
Para responder a estas interrogantes, se formó otro conjunto numérico, en el que podrían expresarse cantidades menores que 0. es el llamado conjunto de los números enteros y que se identifica con el símbolo Z.
De esta manera, el ámbito numérico se nos agranda hacia la izquierda de la recta numérica, donde el 0 es el origen.
Los números enteros son los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.
Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.
(recta numérica)
Los números enteros pueden ser sumados y restados, multiplicados y comparados. Si la división es exacta, también pueden dividirse dentro del mismo conjunto de los enteros.
Enteros positivos
Ubicaremos los enteros que ya conocemos, por convención, a la derecha del 0, y ahora los llamaremos enteros positivos. Estos números no necesitan llevar signo +, pero para identificarlos mejor, los escribiremos con su signo. Al conjunto de los enteros positivos se le reconoce como Z+ .
Enteros negativos
Hacia la izquierda del 0, colocaremos los números enteros negativos. Éstos van a la misma distancia del 0 que los enteros positivos. A los enteros negativos no les puede faltar el signo, se simbolizan como Z– .
2.3.- Números fraccionarios
Historia
Los números fraccionarios son muy antiguos. Fue Leonardo de Pisa (Fibonacci) en su “Liber Aaci” (1202) el primero que empleó la notación actual y explicó los procedimientos del cálculo con fracciones.
Definición
Se conoce como fracción, el quebrado o número fraccionario que expresa 1 o más partes iguales de la unidad central. La fracción está compuesta por 2 términos básicos, el numerador y el denominador 6/4.
El numerador indica cuantas partes se toman de la unidad, mientras que el denominador menciona en cuantas partes se ha dividido la unidad.
Notación
Una fracción se puede escribir de dos formas. La primera es colocando una línea horizontal entre el numerador y el denominador y la otra forma es colocando una línea diagonal entre ambos números.
La lectura de las fracciones es muy sencilla: primero se lee el numerador tal y como decimos comúnmente los números, y posteriormente se lee el denominador. En caso que el denominador sea mayor que 10, se le añade al número la terminación –avo.
8/5 à ocho quintos 8/13 à ocho treceavos.
Tipos de fracciones
Las fracciones se dividen en dos tipos:
· Fracción común: es la fracción cuyo denominador no es la unidad seguida de ceros, 8/3
· Fracción decimal: es la fracción que tiene como denominador la unidad seguida de ceros, 8/10
Otra clasificación, sin importar que sea decimal o común, puede ser:
· Fracciones propias: son las fracciones que tienen el numerador menor que el denominador, 4/8
· Fracciones impropias. Son las fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador, 8/7
· Fracciones unitarias. Son las que tienen el mismo numerador y denominador, 5/5
2.4.- Los números decimales
Historia
Decimos que una fracción es decimal si su denominador es una potencia de 10. Llamaremos números decimales a los racionales para los cuales se puede encontrar una fracción decimal representante.
En 1585 el matemático belga Simón Stevin, en su libro La Disme, propuso fraccionar la unidad en décimas, centésimas, milésimas, etc. Para medir cantidades de magnitudes menores que la unidad. Con este sistema, el resultado de una medida vendría siempre expresado mediante un número entero y fracciones decimales.
También sugirió que, en lugar de usar los denominadores para expresar las partes de la unidad en la parte fraccionaria del número, se podría adoptar un criterio de posición. Este criterio desembocó rápidamente en el actual, que consiste en poner una coma, o un punto, a la derecha de las unidades y escribir a continuación los numeradores de las fracciones decimales siguiendo el orden de décimas, centésimas, milésimas, etc., poniendo ceros cuando falta alguna de esas fracciones.
Ejemplo: en el número 6 + 2/10 + 2/100 se escribe 6,25
El interés de la representación decimal de las fracciones decimales se debe a la posibilidad que proporcionan de utilizar los algoritmos de cálculo definidos para los números naturales. Todas las medidas pueden expresarse mediante números decimales y las operaciones entre ellas se hacen más fáciles.
La aplicación del Sistema Métrico Decimal a nivel internacional, el auge de las calculadoras y ordenadores…, ha venido a incrementar la importancia de estos números.
Distinción entre expresión decimal y número decimal
La expresión 0´75 designa un número decimal, que también se puede escribir en forma de fracción, 75/100, la cual a su vez es equivalente a la fracción irreducible ¾. Son tres formas de escribir y de hablar sobre un número decimal particular.
La expresión o notación decimal se puede usar en todos los racionales que pueden ser representados por una fracción cuyo denominador es una potencia de diez.
Los números decimales, y la notación decimal con la que se expresan son de gran importancia, cualquier número real x se puede acotar por medio de números decimales tan próximos a x como se desee.
Estándares
El NCTM incluye las siguientes expectativas relacionadas con el aprendizaje de las fracciones:
· Comprensión de los números, modos de representación, relaciones entre números y sistemas numéricos.
· Calcular con fluidez y hacer estimaciones razonables.
4.- SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base.
La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10.
El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci).
3.1.- Definición.
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema. Un sistema de numeración puede representarse: N = S + R
Donde: N es el sistema de numeración considerado
S son los símbolos permitidos en el sistema (binario {0,1}
R son las reglas de generación que nos indican qué números son válidos y cuáles son no-válidos en el sistema.
3.2.- Clasificación.
Podemos clasificar los sistemas de numeración en dos grandes tipos:
- Posicionales
El valor de los símbolos que componen el sistema depende del valor que se les ha asignado, y de la posición que ocupan en el número.
- No posicionales
El valor de los signos que componen el sistema es fijo, y no depende de la posición que ocupa el símbolo dentro del número.
Sistemas de numeración posicionales
Los sistemas de numeración utilizados en la actualidad son ponderados o posicionales. El valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.
El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración.
Sistemas de numeración no posicionales
En estos sistemas, el valor de los símbolos que componen el sistema es fijo, y no depende de la posición que ocupa el símbolo dentro del número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden.
5.- RELACIONES ENTRE LOS NÚMEROS
En las Matemáticas, los números son lo más importante. Pero, a la par o inmediatamente después, se hallan las estructuras que éstos conforman. Es muy importante conocer cuales son esas estructuras y su importancia.
– Relaciones
Las relaciones entre los números son leyes que establecen una vinculación entre los elementos de dos conjuntos, al primer conjunto se le denomina dominio y al segundo recorrido.
– Transformaciones
Las transformaciones son leyes, que aplicadas a cada uno de los elementos de un conjunto de entes, los transforma en otros (del mismo conjunto)
– Operaciones
Las operaciones son leyes, que aplicadas a dos o más elementos pertenecientes a uno o más conjuntos, dan por resultado otro en general de otro conjunto.
Estas estructuras constituyen el objeto de estudio del Álgebra y el Cálculo.
5.1.- La suma y la resta.
Las operaciones de sumar y restar están organizadas en torno a las estructuras semánticas de cambio, combinación, comparación e igualación, y deben ser estas, especialmente, las acciones y relaciones entre cantidades numéricas que debemos trabajar en el ámbito de Primaria.
Principios y estándares
Para el primer ciclo de Primaria el NCTM propone los estándares siguientes:
- Comprender los significados de las operaciones y las relaciones entre ellas.
- Calcular de manera fluida y hacer estimaciones razonables.
Desarrollo cognitivo y aprendizaje
El conocimiento de la suma y resta de números naturales debe organizarse alrededor de las siguientes facetas o componentes:
v Los hechos numéricos básicos (tablas de sumar y restar).
v Las técnicas orales de cálculo.
v Las técnicas escritas de cálculo.
v Las propiedades más importantes de dichas operaciones.
v Las situaciones en las que el uso de dichas operaciones es pertinente.
Desarrollo de la comprensión de situaciones aditivas
· Con respecto al grado de contextualización de la situación
Se observa que los niños entienden mejor las situaciones aditivas cuanto más contextualizadas están.
· Con respecto al tamaño de los datos.
A los niños les resulta más difícil interpretar correctamente una situación aditiva cuanto mayor es el tamaño de los números que intervienen en ella.
5.2.- La multiplicación y la división.
La estructura multiplicativa implica tanto las operaciones de multiplicación como de división.
Desde el punto de vista de la enseñanza, los conceptos de multiplicación y división son más complejos que los de adición y sustracción y su aprendizaje requiere de un mayor nivel de abstracción por parte de los niños.
Se pueden organizar las diferentes situaciones y fenómenos en tres tipos de contextos:
– Proporcional simple o razón.
– Comparación.
– Combinación o producto cartesiano.
Principios y estándares
En relación al aprendizaje de la multiplicación y división, para el 2º y 3º ciclo, el NCTM propone el logro de las siguientes expectativas:
· Comprender los significados de las operaciones y cómo se relacionan entre sí.
· Calcular de manera fluida y hacer estimaciones razonables.
Desarrollo evolutivo y aprendizaje
La multiplicación y la división son operaciones que requieren un cierto dominio de los números y de las operaciones de adición y sustracción.
Los dos términos de la multiplicación desempeñan funciones diferentes: uno de ellos es la cantidad que se repite (multiplicando). El otro factor nos dice las veces que se repite la cantidad inicial (multiplicador).
En cuanto al aprendizaje de las técnicas operatorias habría que comenzar por el producto de un dígito por un dígito, respetando las fases manipulativas, gráficas (figurativas), esquemáticas y simbólicas.
En el caso de la división se trata de, “repartir en partes iguales”. El dividendo es la cantidad a repartir, que hace, por tanto referencia a cantidades de magnitudes discretas; por el contrario el divisor es el número de partes en que se reparte la cantidad expresada por el dividendo.
Los requisitos básicos para afrontar las técnicas escritas operatorias de la división son las siguientes:
– Una correcta orientación espacial para las distintas direcciones.
– Mecanización comprensiva de la sumas, resta y multiplicación.
– Práctica en la descomposición de números en órdenes de unidades (unidades, decenas, centenas,…)
6.- CÁLCULO ESCRITO, ESTIMADO, MENTAL Y DE LA CALCULADORA
Cálculo escrito y mental
En la vida cotidiana, uno debe ser capaz de hacer cálculos mentales simples. Sin embargo, la cantidad real de cálculo mental aritmético necesario es muy limitada y está dentro de la capacidad de todos los individuos normales para aprender. Esta habilidad requiere, antes que todo, que la persona memorice y sea capaz de recordar de inmediato ciertos hechos numéricos.
Hay dos tipos de cálculo mental que cualquiera debe realizar:
– La adición de cualquier par de números de dos dígitos cada uno.
– la multiplicación y división de cualquier número por 2, 10 y 100, a uno o dos dígitos significativos.
Estimación
Hay muchas circunstancias en las cuales una respuesta aproximada es tan útil como lo sería una respuesta más precisa. La estimación de respuestas aproximadas con frecuencia sustituye a una medición precisa o a un cálculo cuidadoso. La habilidad para estimar se basa en el sentido de cuál es el grado adecuado de precisión en una situación particular. Entre las destrezas de estimación específicas, cualquiera debe ser capaz de estimar lo siguiente:
– Longitudes y pesos conocidos.
– Distancias y tiempos de viaje a partir de los mapas.
– El tamaño real de los objetos.
Calculadora
Con la aparición de la calculadora electrónica, los estudiantes pueden aprender con facilidad cómo descifrar los pasos para resolver los problemas numéricos ordinarios, qué operaciones usar y cómo comprobar el carácter razonable de sus respuestas.
La ventaja de la calculadora no solamente es pedagógica, tiene muchas ventajas:
– Cuando se desea precisión.
– Cuando los números que se marcan tienen muchos dígitos.
– Cuando la operación tiene varios pasos.
Pero dichas ventajas no se pueden evidenciar a menos que las personas aprendan a utilizar las calculadoras de manera inteligente. El uso de estos instrumentos requiere destreza.
Cualquiera debe ser capaz de emplear una calculadora para hacer lo siguiente:
– Sumar, restar, multiplicar y dividir con números enteros o decimales.
– Encontrar el equivalente decimal de cualquier fracción.
– Calcular qué porcentaje de un número es otro y sacar el porcentaje de cualquier número.
– Encontrar el recíproco de cualquier número.
– Determinar los índices de las magnitudes.
– Convertir unidades compuestas.
7.- INTERVENCIÓN EDUCATIVA
En el Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, dentro del área de Matemáticas lo relacionamos con:
– Objetivos 2 y 6:
2à Reconocer situaciones de su medio natural para cuya comprensión y tratamiento se requieran operaciones elementales de cálculo, formularlas mediante formas sencillas de expresión matemática o resolverlas utilizando los algoritmos correspondientes, valorar el sentido de los resultados y explicar oralmente y por escrito los procesos seguidos.
6à Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo como en la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas.
– Contenidos: Bloque nº 1: Números y operaciones.
– Criterios de evaluación: Leer, escribir y razonar…
En el Decreto 105/1992, de 9 de junio y dentro del área de matemáticas:
– Objetivo nº 2:
Identificar, analizar y resolver situaciones y problemas de su medio, para cuyo tratamiento se requieran la realización de operaciones elementales de cálculo, la utilización de fórmulas sencillas y la realización de los algoritmos correspondientes.
– Contenidos: Bloque nº1: Números.
Bloque nº 2: Sistemas de numeración.
– Criterios de evaluación: Sobre la utilización de estrategias en la resolución de problemas y sobre las actitudes deseables en el aprendizaje matemático.
PONER UNA UNIDAD DIDÁCTICA , ver el tema del CEN para guiarnos
8.- CONCLUSIÓN
Como conocimientos matemáticos, los números y las operaciones numéricas, son elementales por cuanto sirven de elementos básicos para posteriores conocimientos. Son también instrumentos importantes que pueden permitir y facilitar el acceso a conocimientos pertenecientes a otras áreas del saber. Por otra parte responden a necesidades e intereses de los niños de estas edades, para los que tienen también un valor funcional.
Las relaciones entre números se trabajan desde el primer momento con el fin de proporcionar experiencias que pongan en juego los significados que los números adquieren en diversos contextos y las diferentes relaciones que pueden establecerse entre ellos. El objetivo es que los alumnos, a partir de los conocimientos con que llegan a la escuela, comprendan más cabalmente el significado de los números y de los símbolos que los representan y puedan utilizarlos como herramientas para solucionar diversas situaciones problemáticas. Dichas situaciones se plantean con el fin de promover en los niños el desarrollo de una serie de actividades, reflexiones, estrategias y discusiones, que les permitan la construcción de conocimientos nuevos o la búsqueda de la solución a partir de los conocimientos que ya poseen.
9.- BIBLIOGRAFÍA
– Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo de Educación (LOE)
– Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria.
– Decreto 105/1992, de 9 de junio por el que se establecen las enseñanzas correspondientes a la Educación Primaria para Andalucía.
– Orden de 5 de noviembre de 1992, por la que se establecen criterios y orientaciones para la elaboración de Proyectos Curriculares de Centro, la secuenciación de contenidos, así como la distribución horaria en Educación Primaria.
– ALSINA,C: Enseñar matemáticas. Graó. Barcelona, 1995.
– POLYA, G.: Cómo plantear y resolver problemas. Ed. Trillas. México, 1987.