Tema 23A – Las magnitudes y su medida. Unidades e instrumentos de medida. Estimación y aproximación en las mediciones. Recursos didácticos e intervención educativa.

1.- INTRODUCCIÓN

2.- LAS MAGNITUDES Y SU MEDIDA.

2.1.- Concepto de magnitud, medida y unidad.

2.2.- Proceso de medición.

2.3.- Desarrollo evolutivo.

2.4.- Estándares para la Matemática escolar.

2.5.- Las magnitudes y su medida en el currículo.

3.- UNIDADES E INSTRUMENTOS DE MEDIDAS

3.1.- Sistema Internacional de Unidades.

3.2.- Instrumentos de medida.

4.- ESTIMACIÓN Y APROXIMACIÓN EN LAS MEDICIONES

5.- RECURSOS DIDÁCTICOS E INTERVENCIÓN EDUCATIVA

5.1.- Recursos didácticos.

5.2.- Intervención educativa.

6.- CONCLUSIÓN

7.- BIBLIOGRAFÍA

1.- INTRODUCCIÓN

El área de Matemáticas se orienta hacia el desarrollo de las capacidades y habilidades instrumentales que perfeccionen y aumenten las posibilidades de conocimiento de los alumnos y alumnas.

Las experiencias matemáticas serán de naturaleza esencialmente intuitiva y estarán vinculadas a la manipulación de objetos concretos y a la actuación en situaciones particulares.

A lo largo de la educación obligatoria, las Matemáticas han de desempeñar un papel formativo básico de capacidades intelectuales, un papel aplicado, funcional, a los problemas y situaciones de la vida diaria y un papel instrumental en cuanto armazón formalizador de conocimientos en otras materias.

El estudio de las magnitudes y su medida es importante en el currículo de matemáticas de Educación Primaria. Debido a su aplicabilidad y uso extendido en una gran cantidad de actividades de la vida diaria. El estudio de la medición también ofrece oportunidad de aplicar otros contenidos matemáticos. Permite establecer conexiones entre diversas partes de las matemáticas y entre las matemáticas y otras áreas diferentes.

La medida de magnitudes pone en juego un conjunto de destrezas prácticas y un lenguaje cuyo dominio y comprensión no es fácil para los niños y niñas de Primaria.

Estas enseñanzas están recogidas en el Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria, en el Bloque 2 del área de Matemáticas. Y en el Decreto 105/1992, de 9 de junio por el que se establecen las enseñanzas correspondientes a la Educación Primaria para Andalucía en los bloques 4 y 5 del área de Matemáticas.

Las nociones de medidas y sus aplicaciones sobre las magnitudes conforman una parte esencial del aprendizaje matemático (Decreto 105/1992).

2.- LAS MAGNITUDES Y SU MEDIDA.

El desarrollo histórico de la medida está unido al desarrollo de las nociones numéricas, pero el momento determinante lo constituye el establecimiento del Sistema Métrico Decimal y el Sistema Internacional de Medidas.

Las magnitudes y su medida, abarcan desde la realidad cotidiana a las ciencias, están presentes en los diferentes campos científicos.

2.1.- Concepto de magnitud, medida y unidad.

Cuando distintos observadores cuentan los cambios que experimentan algunos objetos o sus propiedades,es frecuente  comprobar   que algunas de ellas no son interpretadas (propiedades) o relatados (cambios ) de la misma forma por todos ellos  . Son resultados subjetivos, dependen del observador.

Ej . La dificultad de un problema.   

Si una propiedad, la dificultad, no se puede medir, no es una magnitud . 

Y si la observación de un fenómeno, no da  lugar a una información cuantitativa, dicha información será incompleta.

        Así pues, llamaremos magnitudes, a las propiedades físicas              que se pueden medir.

        Es por lo tanto necesario saber relacionar los resultados de estas mediciones,  así como operar con ellos. Las matemáticas son parte del lenguaje que necesitamos para comprender los fenómenos físicos.

Medir

        Es comparar una magnitud con otra, tomada de manera arbitraria como referencia, denominada patrón y expresar cuántas veces la contiene.

Al resultado de medir lo llamamos Medida.

Unidades

Al patrón de medir le llamamos también Unidad de medida.

Debe cumplir estas condiciones:

1º.- Ser inalterable, esto es, no ha de cambiar con el tiempo ni en función de quién realice la medida.

2º.- Ser universal, es decir utilizada por todos los países.

3º.- Ha de ser fácilmente reproducible.

Reuniendo las unidades patrón que los científicos han estimado más convenientes, por razones que aquí no mencionaremos, se han creado los denominados Sistemas de Unidades .

Nos fijaremos en el llamado Sistema Internacional ( S.I.)

Este nombre se adoptó en el año 1960 en la XI Conferencia General de Pesos y Medidas, celebrada en París buscando en él un sistema universal , unificado y coherente que toma como

2.2.- Proceso de medición.

En el proceso de medición se ven implicadas una mezcla de importantes destrezas sensoriales y perceptivas, con aspectos de geometría y aritmética. También se ven implicados en el proceso aspectos psicológicos. El proceso sigue secuencialmente las siguientes etapas: la percepción, la comparación y la aplicación de un estándar de medida (objeto, instrumento de medición y unidad).

· Percepción

La medición comienza con la percepción de lo que debe ser medido. El profesor deberá exponer a los niños a muchos estímulos y muchas propiedades de los objetos que eventualmente deben medir.

· Comparación

La comparación de los objetos que pueden colocarse próximos es también una consecuencia natural de las percepciones.

· Buscar un referente

Necesitamos algún estándar de medida, un referente que pueda ser usado sucesivamente y al que podamos acudir en cualquier momento. El estándar de medida permite medidas precisas y consistentes en diferentes áreas geográficas.

Con la adopción del SI, disponemos de un sistema de unidades estándares relacionadas y que han sustituido a los estándares locales arbitrarios. Han sido precisos varios cientos de años para que el sistema encuentre amplia aceptación en el mundo, pero al final se ha conseguido.

2.3.- Desarrollo evolutivo.

La medida de una magnitud es un acto que los niños no pueden realizar de una forma fácil y espontánea. El acto de medir requiere u importante desarrollo lógico, desarrollo de capacidad de estimaciones, clasificaciones y seriaciones. La práctica de la medida con instrumentos estandarizados se ha de retrasar hasta bien avanzada la Enseñanza Primaria (5º y 6º), permitiendo hasta entonces una aproximación más cualitativa a la medida.

Casi toda la investigación correspondiente al desarrollo de las nociones de medida procede de estudios efectuados por Piaget.

Principio de conservación de la longitud.

Se refiere a la capacidad que tienen algunas características de los cuerpos, de no cambiar aunque se les manipule y se produzcan cambios de situación en los mismos. Ej.:

Esta propiedad referida, por ejemplo al número, hace que un cambio en la disposición de unas canicas puestas en fila pueda llevar al niño a pensar que el número de ellas ha cambiado si se las dispone con una separación mayor.

Está relacionado con el principio de reversibilidad, es decir, el conocimiento de que muchos cambios son reversibles y que, mediante la acción adecuada, se puede volver a la situación inicial.

La adquisición del principio de conservación se puede facilitar planificando y realizando en clase tareas adecuadas que deben llevar al niño a:

– Diferenciar acciones reversibles y no reversibles sobre objetos.

– Reconocer qué propiedades cambian y cuáles no cuando se realizan determinadas acciones sobre los objetos.

– Diseñar sencillos experimentos referidos a propiedades concretas sobre objetos concretos.

Principio de conservación de la superficie

El desarrollo del proceso de medida ha estado caracterizado por tanteos, a base de ensayos y error.

No puede decirse que el niño haya alcanzado una comprensión plenamente operativa de las nociones de medida hasta llegar a los comienzos de esta etapa, que Piaget sitúa en la etapa de pensamiento formal, hacia los 11 o 12 años de edad.

2.4.- Estándares para la Matemática escolar.

El Nacional Council of Teachers of Matematics (Congreso Nacional de Maestros de Matemáticas) (NCTM, 2000) en sus Estándares Curriculares y de Evaluación Matemática propone los siguientes objetivos para el estudio de la medición:

– Comprender los atributos medibles de los objetos y las unidades, sistemas y procesos de medición.

– Aplicar técnicas apropiadas y herramientas para realizar mediciones.

2.5.- Las magnitudes y su medida en el currículo.

Las magnitudes y su medida constituyen una parte fundamental del conocimiento matemático de la Educación Primaria; por un lado está su valor funcional, debido a su aplicabilidad en diferentes campos y situaciones, y por otro, porque constituyen nociones organizadoras que ponen en relación múltiples conocimientos y son, a su vez, elementos básicos de otros conocimientos matemáticos.

En la Educación Primaria se introducen las ideas de magnitud y medida y se desarrollan sistemas de medidas convencionales como el Sistema Métrico Decimal, y no se aborda utilizar fórmulas, se trata de facilitar situaciones en la que los alumnos pongan en juego las nociones de longitud, amplitud, capacidad, masa, tiempo, dinero, superficie y volumen.

En el tratamiento de la medida se conjugan dos aspectos complementarios: la cualidad o magnitud y la medida de la cualidad para lo que es necesario utilizar conocimientos y destrezas del campo numérico y geométrico. Se debe prestar atención a las magnitudes lineales.

En el Real Decreto 1513/2006, dentro del área de Matemáticas, lo relacionamos con la competencia matemática y con el objetivo 5 que dice: utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo y medida.

Con el Bloque 2 de los contenidos: La medida: estimación y cálculo de magnitudes (longitud, peso, masa, capacidad, medidas del tiempo, sistema monetario).

Con los criterios de evaluación, lo relacionamos con el 4: realizar medidas y estimaciones utilizando instrumentos y unidades de medidas usuales.

En el Decreto 105/1992, dentro del área de Matemáticas, lo relacionamos con el objetivo 3: Utilizar instrumentos sencillos de cálculo y medida.

Con los contenidos del Bloque 4 y 5:

Bloque 4.- Medidas.

– Elaboración, conocimiento y utilización de estrategias de medida, como sistema para estimar magnitudes continuas.

– Necesidad y funciones de la medida. Noción de unidad métrica. Características de la misma.

– Detección de propiedades básicas en el proceso de medición: Conservación y transitividad.

– Realización de aproximaciones y estimación de resultados en situaciones prácticas de medición.

– Conocimiento y uso de sistemas de medida, con unidades convencionales y no convencionales.

Bloque 5.- Magnitudes.

– Las magnitudes como propiedades físicas, susceptibles de cuantificación, sobre las que pueden realizarse operaciones matemáticas.

– Reconocimiento e identificación de magnitudes: longitud, superficie, capacidad, peso y tiempo.

Con los criterios de evaluación sobre la utilización de criterios matemáticos y sobre la adquisición de conocimientos matemáticos.

3.- UNIDADES E INSTRUMENTOS DE MEDIDAS

Actualmente rige en todo el mundo el Sistema Internacional (SI) de unidades.

Además de homogeneizar las transacciones científicas, técnicas y comerciales, una de las mayores ventajas de un sistema coherente de unidades como el SI es que facilita la comparación de valores y las relaciones entre diferentes magnitudes.

3.1.- Sistema Internacional de Unidades.

A lo largo de la historia el hombre ha venido empleando diversos tipos de sistemas de unidades. El origen del SI puede situarse en 1791, durante la Revolución Francesa. Se acordó:

– La base de numeración, eligiendo la decimal o base 10.

– La unidad de longitud, se llamaría “metro”.

– Sólo habría una unidad básica para todos los tamaños.

– Los múltiplos y submúltiplos del metro se aplicarían también a las demás unidades.

– Se acordó la unidad de peso y se llamaría un gramo. Finalmente por razones prácticas se construyó un kilogramo.

– Se decimalizó el tiempo, usando como unidad el día, sus múltiplos y submúltiplos.

Unidades fundamentales

El SI trabaja sobre siete magnitudes fundamentales (longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura absoluta, intensidad luminosa y cantidad de sustancia) de las que se determinan sus correspondientes unidades fundamentales (metro, kilogramo, segundo, amperio, kelvin, candela y mol). De estas siete unidades se definen las derivadas (culombio, julio, newton, pascal, voltio, ohm, etc), además de otras suplementarias de estas últimas.

Una de las principales características, que constituye la gran ventaja del SI, es que sus unidades están basadas en fenómenos físicos fundamentales. La única excepción es la unidad de la magnitud masa, el kilogramo, que es el cilindro de platino e iridio almacenado en una caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas.

El Sistema Internacional de Unidades consta de siete unidades básicas, también denominadas unidades fundamentales. Son las unidades utilizadas para expresar las magnitudes físicas definidas como fundamentales, a partir de las cuales se definen las demás:

Las unidades básicas tienen múltiplos y submúltiplos, que se expresan mediante prefijos. Así, por ejemplo, la expresión kilo indica “mil” y, por lo tanto, 1 km son 1000 m, del mismo modo que mili indica “milésima” y, por ejemplo, 1 mA es 0,001 A.

Nota sobre el kilogramo

La denominación de esta unidad induce a error dado que se puede interpretar como múltiplo del gramo. Sin embargo, se corresponde con la masa de un objeto patrón, único caso en el que se mantiene este método.

Las unidades derivadas del SI.

Con esta denominación se hace referencia a las unidades utilizadas para expresar magnitudes físicas que son resultado de combinar magnitudes físicas tomadas como fundamentales.

Ejemplos de unidades derivadas

– Unidad de volumen o metro cúbico, resultado de combinar tres veces la longitud, una de las magnitudes fundamentales.

– Unidad de densidad o cantidad de masa por unidad de volumen, resultado de combinar la masa (magnitud fundamental) con el volumen (magnitud derivada). Se expresa en kilogramos por metro cúbico y no tiene nombre propio.

– Unidad de fuerza, magnitud que se define a partir de la Segunda ley de Newton (Fuerza = masa × aceleración). La masa es una de las magnitudes fundamentales pero la aceleración es derivada. Por tanto, la unidad resultante (kg × m × s^-2) es derivada. Esta unidad derivada tiene nombre propio, newton.

En cualquier caso, siempre es posible establecer una relación entre las unidades derivadas y las básicas o fundamentales mediante las correspondientes ecuaciones dimensionales.

El concepto no debe confundirse con los múltiplos y submúltiplos, los que son utilizados tanto en las unidades fundamentales como en las unidades derivadas, sino que debe relacionarse siempre a las magnitudes que se expresan. Si estas son longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura, cantidad de sustancia o intensidad luminosa, se trata de una magnitud fundamental, y todas las demás son derivadas.

3.2.- Instrumentos de medida.

Instrumentos para medir la longitud:

• La regla graduada: permite medir longitudes en objetos pequeños.
• El flexómetro o cinta métrica: permite medir objetos mayores que la regla.
• El micrómetro: se usa para medir grosores. La precisión es menor que una décima de milímetro.
• El calibrador o pie de rey: permite medir objetos pequeños con una precisión de décimas de milímetro.

Instrumentos de medida del tiempo

El tiempo se mide en referencia a los movimientos de la Tierra en el espacio. El instrumento de medida de tiempo es el reloj y existen varios tipos: de sol, de arena, de cuarzo, digital, atómico.

Instrumentos de medida de la temperatura

Para hacerlo de forma correcta se utiliza el termómetro. La mayoría de los termómetros se basan en la propiedad que tiene el mercurio u otra sustancia de dilatarse al recibir el calor: de mercurio, clínico (no baja si no se le fuerza), digital, de máxima y mínima.

Instrumentos de medida de masa

Las masas se miden en balanzas: de granatorio, digital…

Instrumentos para medir otras magnitudes

– Volumen: probetas, matraz perforado…

– Presión: barómetros, manómetros…

– Ángulos: transportador, sextante…

– Magnitudes eléctricas: voltímetro, amperímetro…

4.- ESTIMACIÓN Y APROXIMACIÓN EN LAS MEDICIONES (Isidoro Segovia)

Estimar una cantidad es el proceso de obtener una medida sin la ayuda de instrumentos, es realizar juicios subjetivos sobre la medida de los objetos.

Las actividades de estimación de medidas se deben considerar como uno de los componentes del proceso de medir.

En la Educación Primaria, es importante hacer hincapié en los contenidos que sustentan los cálculos y la estimación en diversos contextos. Así, se pueden desarrollar en los estudiantes habilidades cognitivas que les permitan, además de emplear los cálculos y la estimación en la resolución de problemas, utilizar la estimación para verificar lo razonable de los resultados.

Las actividades de estimación y aproximación constituyen una aplicación temprana del sentido numérico, pues centran la atención de los alumnos en los atributos a medir, el proceso de la medida, el tamaño de las unidades y el valor de los referentes. Por lo tanto, la estimación y la aproximación de medidas contribuyen al desarrollo del sentido espacial, de los conceptos numéricos y de las habilidades.

5.- RECURSOS DIDÁCTICOS E INTERVENCIÓN EDUCATIVA

Bajo las palabras “recursos didácticos” se agrupan todos aquellos objetos, aparatos o medios de comunicación que puedan ayudar a descubrir, entender o consolidar conceptos fundamentales en las diversas fases del aprendizaje escolar.

El contacto con las magnitudes físicas, en un primer momento se tiene que llevar a cabo de manera intuitiva, explorando con los sentidos, para ayudarles a comprender los atributos que se miden y lo que significa medir.

El estudio de la medida en Educación Primaria requiere el uso de materiales concretos para que los niños comprendan los rasgos de los objetos que se miden y dominen los instrumentos correspondientes.

Un atributo medible es una característica de un objeto que se puede cuantificar. El primer paso en el estudio de la medida será reconocer que los objetos tienen atributos que son medibles. Los niños del primer ciclo de primaria comienzan comparando y ordenando objetos usando un lenguaje sencillo como más largo y más corto. La longitud debe ser el centro de atención en este primer ciclo aunque también se puede iniciar el peso y el tiempo. A partir de tercer ciclo se comienza el estudio del área, el perímetro, volumen, temperatura y amplitud angular.

5.1.- Recursos didácticos.

Hay un número mínimo de materiales didácticos adecuados para trabajar en la escuela primaria “La Medida”, como pueden ser:

5.2.- Intervención educativa.

Metodología

El tratamiento didáctico de las magnitudes supone considerar dos fases:

– La percepción y el reconocimiento de la magnitud, cuya importancia estriba en la consideración de las magnitudes como atributos o propiedades de colecciones de objetos susceptibles de ser medidos.

– La noción de medida de magnitudes, que constituye un elemento de referencia en la construcción de nuevos conocimientos matemáticos.

A pesar de que en todas las magnitudes estas dos fases deben estar siempre presentes, diferenciaremos entre magnitudes lineales y no lineales en la Educación Primaria. Las primeras constituyen una consolidación del Sistema de Numeración Decimal, mientras que las segundas son una extensión de este sistema de numeración que se inicia en esta etapa educativa y se completará más tarde en la Educación Secundaria Obligatoria.

Las magnitudes y la medida ocupa un lugar esencial la resolución de problemas, que debe estar centra en:

– Problemas prácticos sobre experiencias sensoriales en relación con la cualidad (búsqueda de situaciones de medida de una magnitud en una casa, en la escuela…).

– Problemas de enunciado verbal en relación con las situaciones de medida, estos problemas pueden ser, además de los de enunciado verbal, manipulativos, lúdicos, sobre situaciones familiares o personales…

Debemos tratar la medición en sus tres vertientes básicas: precisión, aproximación y estimación.

La no linealidad de las magnitudes supone que son medidas más complejas y difíciles de comprender y dominar que las magnitudes lineales, por lo que reciben un tratamiento menos profundo, en los niveles superiores de Primaria.

El papel del maestro en la enseñanza de las magnitudes y su medida

Durante la Educación Primaria esperamos que los alumnos,as:

– Comprendan qué es medir

– Realicen diversas mediciones

– Operen con cantidades

¿Qué enseñar en cada ciclo ?

Los objetivos anteriores se aplicarán a los contenidos de cada magnitud como se detalla a continuación según los ciclos:

Primer ciclo:

Los alumnos de primer ciclo trabajarán en situaciones experimentales las magnitudes longitud, masa, capacidad e intervalos de tiempo con unidades no convencionales (en longitud, por ejemplo, pies, manos, varillas,…; en capacidad: jarras, tazas, cucharas,…; en peso: clavos, tuercas, bolsas de arena, en tiempo: velas, palmadas, etc.).

Reconocerán las unidades convencionales de uso más común: metro, cm, litro, kilogramo, pesos y monedas, minutos, hora, día y año, y sus mitades y cuartos. Aprenderán a leer con propiedad los instrumentos: regla, reloj, balanza y vaso graduado.

En ángulos, trabajarán con giros: vuelta, media vuelta y cuarto de vuelta e identificarán este último como ángulo recto, sabiendo realizar comparaciones en base al mismo (mayores, iguales, menores que un recto).

Resolverán problemas comparando, sumando y restando cantidades sencillas expresadas con números naturales o en fracciones de uso corriente.

Segundo ciclo

En el ciclo 2 se profundizará la estimación y la experimentación sobre las magnitudes citadas para el primer ciclo, ampliándose al conocimiento de unidades del SI de uso habitual.

Se incorporará la comparación, equivalencia y ordenamiento de superficies calculando sus áreas en forma estimada y con unidades arbitrarias (lentejas, cuadraditos de distinto tamaño, papel punteado, etc.) llegándose al centímetro, metro cuadrado, hectómetro cuadrado (cuadra) y kilómetro cuadrado como unidades convencionales.

A través de la resolución de situaciones se enfatizará la discriminación entre perímetro y área.

Se iniciará el tratamiento de la medición de ángulos en base a unidades no convencionales (conectándose con lo visto en el primer ciclo) e introduciéndose como unidad el grado.

Se rigorizará el uso de instrumentos incorporándose el transportador para la medición de ángulos y apoyo a la comprensión del sistema sexagesimal que se verá ejemplificado también, a través de relación segundos, minutos y horas.

Se podrá trabajar con la comparación, equivalencia y ordenamiento de volúmenes de cuerpos mediante el uso de unidades no convencionales, por cubicación o llenado de cuerpos (noción de volumen interior o capacidad) o a través del cálculo del agua desplazada (noción de volumen complementario o desplazado)

Los alumnos apreciarán el concepto de error y precisión desde el punto de vista de la medida y resolverán problemas operando con decimales y fracciones, recurriendo a equivalencias entre unidades.

Se introducirá al alumno en la construcción de fórmulas elementales para el cálculo de perímetros (en particular la longitud de la circunferencia) y áreas del rectángulo, cuadrado, paralelogramo y triángulo.

Tercer ciclo

Se trabajará la medición de áreas de polígonos y círculos, y áreas y volúmenes de los cuerpos poliedros y redondos, atendiendo a la discriminación entre el área y el volumen.

Se compararán y ordenarán superficies y volúmenes con diferentes estrategias, llegándose a utilizar las unidades convencionales establecidas por el SI.

Se elaborarán las fórmulas para el cálculo de volúmenes de prismas, cilindros, pirámides y conos.

Se trabajará con la fórmula del área y el volumen de una esfera.

Se establecerán las equivalencias entre unidades de capacidad, volumen y peso a través de la experimentación.

Los alumnos rigorizarán sus estimaciones, mediciones y cálculos teniendo en cuenta los conceptos de error permitido y precisión .

6.- CONCLUSIÓN

Es importante establecer relaciones con los elementos del entorno próximo del niño,a para que éste se desenvuelva mejor en él y adquiera habilidades y destrezas útiles para su vida diaria. De este modo se hace necesario el considerar las magnitudes como cualidades propias de los objetos que son susceptibles de ser medidas, por lo que debe ser percibidas por los niños,as.

Medir supone comparar con un patrón o unidad que debe ser universal y que facilite la comparación de valores. Esta universalidad la trata de dar el Sistema Internacional de Unidades.

Dentro del proceso de medición debemos incluir la estimación y la aproximación, ya que a veces es muy difícil asignar un número exacto a una magnitud.

En definitiva la inclusión de las magnitudes y sus medidas en el currículo de Educación Primaria, concretamente dentro de las matemáticas va a suponer para el alumno,a una nueva forma de acercamiento a la realidad (Decreto 105/92).

7.- BIBLIOGRAFÍA

– Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria.

– Decreto 105/1992, de 9 de junio por el que se establecen las enseñanzas correspondientes a la Educación Primaria para Andalucía.

– CASTRO, E. Y CASTRO, E.: Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Síntesis, Madrid, 2001.

– NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS (NTMC): Estándates curriculares y de evaluación para la educación matemática. S.A.E.M. Thales (Traducido al castellano) Sevilla, 1991.

– OLMO, M.A., MORENO, F Y GIL, F.: Superficie y volumen. Síntesis, Madrid, 1989.

– WIKIPEDIA. La enciclopedia libre. w.w.w.wikipedia.org