1.- INTRODUCCIÓN
2.- EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA.
2.1.- Desarrollo evolutivo.
2.2.- Modelo de Van Hiele para el aprendizaje geométrico.
2.3.- Estándares en Geometría.
3.- ELEMENTOS, FORMAS Y RELACIONES GEOMÉTRICAS EN EL ENTORNO: CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN.
3.1.- Elementos geométricos.
3.2.- Formas geométricas.
3.3.- Relaciones geométricas.
3.4.- Sistemas de representación.
4.- INTERVENCIÓN EDUCATIVA.
5.- CONCLUSIÓN.
6.- BIBLIOGRAFÍA.
1.- INTRODUCCIÓN
En el área de Matemáticas el alumnado desarrolla habilidades para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos…, pero ¿para qué? Para producir e interpretar distintos tipos de información, para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad y para resolver problemas de la vida cotidiana.
Con la entrada en vigor de la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (LOE) y su Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria, el principal objetivo del área para su desarrollo en los alumnos,as se centra desarrollar la competencia matemática.
Los conocimientos sobre el espacio ocupan un lugar importante dentro de los aprendizajes de los alumnos y alumnas. La realidad está llena de objetos con formas y dimensiones, concretamente con formas geométricas que se pueden sistematizar, conceptualizar y representar; y que van a contribuir al desarrollo intelectual de los alumnos y alumnas de Primaria.
Por lo tanto, lo importante en esta etapa es que los alumnos y alumas explores patrones y relaciones, descubran propiedades de las figuras para desarrollar su percepción espacial y generen habilidades y nociones geométricas útiles para su acción en el medio (Decreto 105/1992, de 9 de junio, por el que se establecen las enseñanzas correspondientes a la Educación Primaria en Andalucía).
El estudio de la Geometría durante muchos años ha estado relegado a un segundo plano dentro de los planes educativos y currículos de Matemáticas. Es a partir de los años ochenta cuando se empieza a ver una demanda y un cambio dentro de los currículos.
Se proponen desde distintos ámbitos una geometría manipulativa y cercana al alumnado, lo que implicará un mayor interés hacia la Geometría, en particular, y a las matemáticas en general.
2.- EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA.
2.1.- Desarrollo evolutivo.
Desarrollo de los conceptos espaciales según Piaget.
Piaget, propone una teoría del desarrollo de los conceptos espaciales en el niño distinguiendo entre:
– Percepción, que se define como el “conocimiento de objetos resultante del contacto directo con ellos”.
– Representación, o imagen mental, que “comporta la evocación de objetos en ausencia de ellos”.
Los estadios de desarrollo por los que atraviesa el niño, en relación con la percepción espacial son los siguientes:
– Estadio sensoriomotor: las capacidades de percepción del niño se desarrollan hasta los dos años.
– Período de operaciones concretas: la capacidad de reconstrucción de imágenes espaciales comienza hacia los dos años, y en la mayoría de los casos es perfeccionada desde los siete años en adelante.
En cada no de estos estadios de desarrollo, Piaget distingue una progresiva diferenciación de propiedades geométricas:
- Topológicas
Son propiedades globales independientes de la forma o el tamaño, como son las siguientes: cercanía, separación, ordenación, cerramiento, continuidad.
- Proyectivas
La capacidad del niño para predecir qué aspecto presentará un objeto al ser visto desde diversos ángulos.
- Euclídeas
Las relativas a tamaños, distancias y direcciones.
El desarrollo de las nociones espaciales
Las primeras nociones de posición relativa que aprenden los niños pequeños son las de encima, debajo, detrás, delante y entre.
El desarrollo de sistemas de referencia
Un factor importante en el desarrollo de la apreciación espacial es la capacidad para utilizar algún sistema de referencia. Piaget e Inhelder consideran que la conceptualización de “marco de referencia” fundamental para orientarse, ubicarse y para el movimiento de objetos.
Un elemento importante para servirse satisfactoriamente de los sistemas de referencia es la conciencia de la dirección. Greenes sostiene que las relaciones espaciales se exploran inicialmente a lo largo del eje vertical, o sea, mirando de arriba y abajo.
Se desarrollan después las relaciones de orientación horizontal. La noción de orientación horizontal tarda más en desarrollarse que la orientación vertical.
La variable tamaño del espacio
Las investigaciones psicológicas muestran que el niño va estructurando sectores más amplios del espacio a medida que incrementa la magnitud de sus propios desplazamientos. Brousseau distingue tres valores de la variable “tamaño del espacio”: microespacio, mesoespacio y macroespacio.
- El microespacio, corresponde a un sector del espacio próximo al sujeto y que contiene objetos accesibles tanto a la visión, como a la manipulación.
- El mesoespacio, es una parte del espacio accesible a una visión global, obtenida a partir de percepciones sucesivas. Contiene objetos fijos, no manipulables.
- El macroespacio, corresponde a un sector del espacio más amplio. Podemos distinguir tres tipos de macroespacios: el urbano, el rural y el marítimo.
2.2.- Modelo de Van Hiele para el aprendizaje geométrico.
Las ideas básicas son:
– El aprendizaje de la Geometría se hace pasando por unos determinados niveles de pensamiento y conocimiento.
– Que no van asociados a la edad.
– Que sólo alcanzado un nivel se puede pasar al siguiente.
Conceptos previos
En la base del aprendizaje de la Geometría, hay dos elementos importantes:
– El lenguaje utilizado.
– La significatividad de los contenidos.
Niveles de conocimiento
El modelo de aprendizaje geométrico diseñado por los Van Hiele consta de cinco niveles de conocimiento.
– Nivel 0: Visualización o reconocimiento.
– Nivel 1: Análisis.
– Nivel 2: Ordenación o clasificación.
– Nivel 3: Deducción formal.
– Nivel 4: Rigor.
o Nivel 0: visualización o reconocimiento, las características fundamentales de este nivel son:
§ Los objetos se perciben en su totalidad como una unidad.
§ Se describen por su apariencia física mediante descripciones meramente visuales y asemejándoles a elementos familiares del entorno.
Pueden en esta etapa aprender vocabulario geométrico, identificar formas geométricas determinadas entre un conjunto de ellas y reproducir una figura dada.
o Nivel 1: análisis, las características fundamentales de este nivel son:
§ Se perciben las componentes y propiedades.
§ De una manera informal pueden describir las figuras por sus propiedades.
§ Inician el razonamiento matemático.
o Nivel 2: ordenación o clasificación, las características fundamentales de este nivel son:
§ Se describen las figuras de manera formal.
§ Realizan clasificaciones lógicas de manera formal.
§ Siguen las demostraciones.
§ Establece relaciones entre figuras y reconoce clases de figuras.
o Nivel 3: deducción formal, las características fundamentales de este nivel son:
§ Ya se realizan deducciones y demostraciones lógicas y formales.
§ Se comprenden y manejan las relaciones entre propiedades.
§ Se comprenden cómo se puede llegar a los mismos resultados partiendo de proposiciones o premisas distintas.
Adquiriendo este nivel, al tener un alto nivel de razonamiento lógico, se tiene una visión globalizadora de las Matemáticas.
o Nivel 4: rigor, las características fundamentales de este nivel son:
§ Se conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos.
§ Se puede trabajar la Geometría de manera abstracta.
Evaluación del modelo
Es necesario establecer unos criterios para valorar este modelo. Uno de los test más conocidos es el de Salman Usinskin, que se compone de 25 preguntas, asociadas a los cinco niveles con igual número de preguntas.
2.3.- Estándares en Geometría.
El Nacional Council of Teachers of Matematics (NCTM,2000) en sus Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática, intenta dar respuesta a las demandas actuales de la sociedad.
Geometría
La NCTM de EEUU en su obra Principios y Estándares para las Matemáticas Escolares establece que:
- Analizar las características y propiedades de los objetos de dos y tres dimensiones y desarrollar argumentos sobre las relaciones geométricas.
- Especificar posiciones de los objetos en el espacio y describir relaciones espaciales usando la geometría de coordenadas y otros sistemas de representación.
- Aplicar transformaciones geométricas y usar la simetría para analizar situaciones matemáticas.
- Usar la visualización, el razonamiento espacial y la modelización geométrica para resolver problemas.
Orientación espacial
La NCTM de EEUU en su obra Principios y Estándares para las Matemáticas Escolares establece que:
- Describir posiciones y movimientos usando el lenguaje.
- Construir y usar sistemas de coordenadas.
- Encontrar la distancia entre puntos en las direcciones horizontal y vertical.
3.- ELEMENTOS, FORMAS Y RELACIONES GEOMÉTRICAS EN EL ENTORNO: CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN.
La Geometría estudia las formas de las figuras y los cuerpos geométricos. En la vida cotidiana encontramos modelos y ejemplificaciones físicas de esos objetos ideales de los que se ocupa la Geometría.
El ser humano refleja en su quehacer diario y en sus obras de arte esas imágenes ideales que obtiene de la observación de la Naturaleza.
El entorno artístico y arquitectónico ha sido un importante factor de desarrollo de la Geometría.
3.1.- Elementos geométricos
El espacio del niño está lleno de elementos geométricos, con significado concreto para él: puertas, ventanas, mesas, pelotas… en su entorno cotidiano aprende a organizar mentalmente el espacio que le rodea, a orientarse en este espacio.
El estudio debe partir de su entorno próximo y familiar por ser fuente inagotable de objetos susceptibles de observación y manipulación. Mediante actividades manipulativas, el profesor puede fomentar el desarrollo de los conceptos geométricos contemplados en el currículo de esta etapa educativa.
Los conceptos geométricos son bastante abstractos. Los objetos geométricos básicos (punto, línea y superficie…) son nociones aparentemente muy elementales, pero que en realidad son muy complejos, por su elevado nivel de abstracción.
- Punto.
El punto, como ente geométrico sin dimensiones, simple indicador de la posición en el espacio.
- Recta.
Los alumnos de estas edades no captan con facilidad el carácter infinito de la recta.
Existen rectas secantes, que son las que se cortan en un punto, rectas perpendiculares que son las que forman ángulos de 90º y rectas paralelas que nunca se cortan.
- Semirrecta.
Cada una de las partes en las que se divide una recta.
- Segmentos.
- Ángulo.
No es fácil comprender la independencia del ángulo respecto a la longitud de sus lados.
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Estos ejemplos vienen a indicar la dificultad de enseñanza de la geometría en Primaria, por la contradicción existente entre el fuerte carácter abstracto de esta materia y la necesidad de aproximarla de una forma intuitiva, experimental a los alumnos, lo que obliga a una simplificación de sus elementos conceptuales.
3.2.- Formas geométricas.
Curvas y regiones
Una curva plana se puede describir como el conjunto de puntos que un lápiz traza al ser desplazado por el plano sin ser levantado. Si el lápiz nunca pasa dos veces por un mismo punto se dice que la curva es simple. Si el lápiz se levanta en el mismo punto en que comenzó a trazar se dice que la curva es cerrada.
Circunferencia y círculo (Poner ejemplos con dibujos)
- La circunferencia es una curva cerrada, convexa, tal que la distancia de cualquiera de sus puntos a otro fijo es constante. El punto fijo se llama centro y la distancia constante radio.
- El arco de la circunferencia: parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.
- Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
- Semicircunferencia: cada una de las partes en las que se divide la circunferencia a través del diámetro.
- Círculo: superficie plana limitada por una circunferencia.
- Sector circular: región del círculo comprendida entre dos radios y el arco.
- Segmento circular: región del círculo comprendida entre un arco y su cuerda.
- Semicírculo: la región limitada por un diámetro y su arco.
Polígonos(Poner ejemplos con dibujos)
Un polígono es una figura plana limitada por segmentos.
El punto de unión de cada par de segmentos se denomina ángulo.
El número de lados y por tanto el número de ángulos ha de ser mayor o igual que 3.
La diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos.
Un polígono es convexo si todos los ángulos interiores son mayores de 180º, y cóncavo si son menores de 180º.
Un polígono es regular si todos sus lados y ángulos son iguales.
Los polígonos suelen nombrarse por el número de lados (poner ejemplos)
Triángulos (Poner ejemplos con dibujos)
Un triángulo es un polígono de tres lados rectilíneos y tres ángulos. Los triángulos se clasifican atendiendo a sus lados y a sus ángulos.
- Atendiendo a sus lados
- Equiláteros: son los que tienen sus tres lados iguales.
- Isósceles: son los que tienen dos lados iguales.
- Escaleno: son los que sus tres lados son desiguales.
· Atendiendo a sus ángulos
o Rectángulos: son los que tienen un ángulo recto (90º)
o Acutángulos: son los que tienen sus tres ángulos agudos.
o Obtusángulos: son los que tienen un ángulo obtuso.
Los cuadriláteros y su clasificación (Poner ejemplos con dibujos)
Después de los triángulos, los polígonos más sencillos, por tener menor número de lados, son los cuadriláteros.
Para clasificarlos hay que estudiar las características comunes:
– Paralelismo de lados.
– Igualdad de lados.
– Igualdad de ángulos.
– Número de ángulos rectos.
– Posición relativa de las diagonales.
– Concavidad o convexidad.
Tipos de cuadriláteros:
- Paralelogramos: Un paralelogramo es un polígono formado por cuatro lados, paralelos dos a dos.
Los paralelogramos se clasifican según sus ángulos en paralelogramos rectángulos y paralelogramos no rectángulos.
o Paralelogramos rectángulos, cuyos ángulos son todos ángulo rectos: el cuadrado (todos sus lados son iguales), y el rectángulo (iguales los lados opuestos).
· Trapecios: Son cuadriláteros que tienen dos lados opuestos paralelos y se les llaman bases. Hay 3 clases de trapecios: trapecio escaleno, trapecio isósceles y trapecio rectangular.
A.- Trapecio escaleno.- Es aquel que tiene sus lados no paralelos desiguales.
B.- Trapecio isósceles.- Es aquel que tiene sus lados no paralelo desiguales.
C.- Trapecio rectangular.- Es aquel que tiene dos ángulos rectos.
· Trapezoides: Son cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo al otro. Hay dos clases de trapezoides:
A.- Trapezoide simétrico.- Si una de sus diagonales es mediatriz de la otra.
B.- Trapecio asimétrico.- Es aquel que no tiene ninguna simetría.
3.3.- Relaciones geométricas.
Los modelos espaciales que encontramos en el entorno, se pueden representar a través de formas, figuras y relaciones geométricas fundamentales. Para comprender el mundo los niños se basan en su percepción y aunque los objetos reales no concuerdan exactamente con una forma geométrica exacta, sí se aproximan.
Las relaciones que se establecen entre los elementos y las formas geométricas son fundamentales en la percepción del entorno, por ejemplo, las formas triangulares maximizan la rigidez, las superficies lisas disminuyen la sensación de turbulencias, etc.
Las relaciones geométricas también se pueden expresar a través de símbolos y números. Los sistemas de coordenadas son un medio común de relacionar los números con la geometría.
Sobre cualquier superficie plana se pueden especificar las localizaciones con coordenadas.
La interpretación matemática de las formas geométricas también incluye la descripción gráfica de las relaciones numéricas y simbólicas.
Las formas geométricas, nos permiten identificar patrones, como por ejemplo de tamaños relativos, índices de cambio, etc.
3.4.- Sistemas de representación.
Un objetivo central en la educación geométrica en los primeros niveles educativos es la orientación espacial.
La organización lógica del espacio exterior, el desarrollo de una lógica geométrica, es básica para el adecuado desarrollo de la lógica general del individuo. Las capacidades lógicas se consiguen partiendo de una base lógica previa, que es geométrica en gran medida.
Es importante en este primer ciclo progresar en la capacidad de establecer puntos de referencia en el entorno que permitan al alumnado situarse y desplazarse por él.
Así se van formando las primeras nociones topológicas: junto-separado, abierto-cerrado, recto-curvo, constituyen la base sobre la que se asienta la progresiva estructuración del espacio.
A partir de aquí, aprende a distinguir formas, a calcular objetivamente distancias y longitudes y a determinar las posiciones de los cuerpos en el espacio.
Transformaciones geométricas
Movimientos rígidos del plano (Poner ejemplos con dibujos)
Una transformación del plano se dice que es un movimiento rígido si y sólo si la distancia entre cualquier par de puntos Py Q es la misma que la distancia entre sus imágenes en dicha transformación, esto es PQ = P´Q´. También se llaman isometrías debido a que conservan la forma y medidas de las figuras.
Hay tres movimientos rígidos del plano básico: traslaciones, giros y simetrías.
- Traslaciones
Una traslación es el movimiento rígido en el que todos los puntos del plano se mueven en la misma dirección y la misma distancia.
- Giros
El giro o rotación es otro de los movimientos rígidos básicos, consiste en girar todos los puntos del plano alrededor de un punto fijo (centro del giro).
- Simetrías
La simetría puede describirse como la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos del cuerpo o figura con relación a un centro, un eje o un plano.
- Centro de simetría: punto de figura tal que cualquier recta que por él pase ha de encontrar a ambos lados y a la misma distancia puntos correspondientes.
- Eje de simetría: recta que, al ser tomada como eje de giro de una figura o cuerpo, hace que se superpongan todos los puntos análogos.
- Plano de simetría: es el que divide una figura o cuerpo en dos partes, de tal modo que cada una de ellas es la imagen especular de la otra.
Localización y representaciones espaciales
La geometría elemental se centra en las formas y figuras geométricas. Una parte relevante de la geometría se ocupa de la posición y el movimiento en el espacio. La reflexión sobre las localizaciones y movimientos nos proporciona una manera de describir el mundo y poner un cierto orden en el entorno. Estas experiencias sirven de base para introducir los sistemas de coordenadas y las escalas de los mapas.
- El dibujo: se debe introducir el dibujo como una forma de interiorización geométrica. Es importante la representación con diferentes perspectivas.
- Los planos: un sistema de representación de gran utilidad formativa son los planos. Pueden plantearse actividades como:
- Comparar el plano con la realidad.
- Situar distintos elementos.
- Reproducir un recorrido real sobre el plano y viceversa.
- Buscar recorridos equivalentes entre dos puntos determinados.
- Buscar el recorrido más corto entre dos puntos.
- Definir las pistas para ir de un lugar a otro.
Los planos pueden enriquecerse con la introducción de coordenadas, lo que hace más sofisticado y preciso el sistema de representación. Existen distintos sistemas de coordenadas:
§ Sistema de coordenadas cartesianas: René Descartes, introdujo el sistema de coordenadas bien conocido basado en el par de ejes ortogonales que definen un origen y un segmento unidad para medir distancias sobre los ejes.
§ Sistema de coordenadas polares: un sistema similar, aunque basado sobre ángulos medidos a partir de una línea base es el sistema de coordenadas polares.
§ Sistemas globales de coordenadas para el posicionamiento de puntos sobre la superficie de la tierra: el sistema de coordenadas más usado en la actualidad es la latitud, longitud y altura. El meridiano origen (Greenwich) y el ecuador son los planos de referencia usados para definir la latitud y la longitud.
- Los mapas: un mapa es una representación de la Tierra, o de una parte de ella, generalmente hecha sobre una hoja de papel. La escala de un mapa o de un plano indica la razón existente entre la medida de las distancias en él representadas y las distancias reales sobre el terreno.
4.- INTERVENCIÓN EDUCATIVA.
En el Real Decreto 1513/2006, las relaciones espaciales y la geometría se contemplará en el objetivo 7 del área de Matemáticas que nos habla de identificar formas geométricas del entorno natural y cultural.
En el bloque de contenidos 3, que trata sobre la situación en el espacio, distancias y giros, formas planas y espaciales, regularidades y simetrías.
En los criterios de evaluación estaría relacionado con reconocer del entorno objetos y formas geométricas.
En el Decreto 105/92, nos lo relaciona con el objetivo 5 del área de Matemáticas, que nos dice identificar formas geométricas de su entorno inmediato.
En el bloque de contenidos 6, conocimiento, orientación y representación espacial y dentro de este bloque nociones como: nociones topológicas básicas, las diversas perspectivas, desarrollo de sistemas de referencia, formas del espacio y formas geométricas.
En los criterios de evaluación, sobre la utilización de conocimientos matemáticos y sobre la adquisición de contenidos matemáticos.
De acuerdo con el currículo del área de Matemáticas, el centro en su Proyecto Curricular establecerá el currículo para todos los ciclos, los profesores en su aula elaborará una programación. La Unidad Didáctica que ahora vamos a desarrollar (o la sesión) está dentro de esa programación.
DESARROLLAR UNA U.D O SESIÓN
5.- CONCLUSIÓN.
La percepción de objetos y dimensiones del espacio, partiendo desde sus percepciones intuitivas hasta la progresiva construcción de nociones topológicas, proyectivas y euclidianas, van a permitir al alumno una mejor adaptación y utilización del espacio.
Dentro de esta percepción de objetos y dimensiones ocupa un importante lugar la manipulación y el descubrimiento de las propiedades, generando habilidades y nociones geométricas útiles. Estas habilidades y nociones contribuyen a su vez al desarrollo de nociones numéricas y métricas, despertando interés por los conocimientos matemáticos.
6.- BIBLIOGRAFÍA.
- Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (LOE).
- Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria
- Decreto 105/92, de 9 de junio por el que se establecen las enseñanzas correspondientes a la Educación Primaria.
- ALSINA, C. Materiales para construir la geometría. Editorial Síntesis. Madrid, 1987.
- CASTELLNUOVO, E. La matemática. Geometría. Ed. Cutres, Barcelona, 1981.
- COLL, C.; PALACIOS, J.; MARCHESI, Á: Desarrollo psicológico y educación. Alianza Editorial, 2001