A. DESARROLLO.
1. INTRODUCCIÓN.
2. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
3. DIFERENTES CLASES Y MÉTODOS DE RESOLUCIÓN.
3.1. Problemas de estructura aditiva.
3.2. Problemas de estructura multiplicativa.
4. PLANIFICACIÓN, GESTIÓN DE LOS RECURSOS, REPRESENTACIÓN, INTERPRETACIÓN Y VALORACIÓN DE LOS RESULTADOS.
4.1. La planificación.
4.2. La gestión de los recursos, representación e interpretación.
4.3. Valoración de resultados.
5. ESTRATEGIAS DE INTERVENCIÓN EDUCATIVA. PREGUNTAS CLAVES.
6. COMENTARIOS FINALES.
B. RECURSOS.
7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
8. REFERENCIAS WEB.
A. DESARROLLO.
1. INTRODUCCIÓN.
La educación es uno de los factores que más influye en el avance y progreso de personas y sociedades. Además de proveer conocimientos, la educación enriquece la cultura, el espíritu, los valores y todo aquello que nos caracteriza como seres humanos.
En las economías modernas el conocimiento se ha convertido en uno de los factores más importantes de la producción. Las sociedades que más han avanzado en lo económico y en lo social son las que han logrado cimentar su progreso en el conocimiento, tanto el que se transmite con la escolarización, como el que se genera a través de la investigación.
Los niños y las niñas deben aprender matemáticas utilizándolas en contextos funcionales relacionados con situaciones de la vida diaria, planteadas a modo de situaciones problemáticas, para adquirir progresivamente conocimientos más complejos. Para ello es necesario que conozca las diferentes clases y métodos de resolución de problemas, pues desde el conocimiento metacognitivo de los procedimientos llegará a la adquisición y fortalecimiento de estructuras intelectuales más complejas.
La resolución de problemas tiene, al menos, tres vertientes complementarias asociadas al desarrollo de esta competencia: la planificación, la gestión de los recursos y la valoración de los resultados. Este contenido constituye la principal aportación que desde el área de matemáticas se puede hacer a la autonomía e iniciativa personal.
En el artículo 17 de la Ley Orgánica 8/2013 del 9 de diciembre para la Mejora de la Calidad Educativa (en adelante LOMCE), se contemplan los objetivos de la Educación Primaria. Destacándose el objetivo g) totalmente relacionado con el área de matemáticas:
g) “Desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse en la resolución de problemas que requieran la realización de operaciones elementales de cálculo, conocimientos geográficos y estimaciones, así como ser capaces de aplicarlos a las situaciones de su vida cotidiana.
2. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
El maestro tiene como objetivo durante la etapa de Primaria, que los niños y niñas resuelvan problemas, con los instrumentos matemáticos necesarios, para que sepan aplicarlos en la vida cotidiana del día a día.
Así pues, la resolución de problemas es la actividad más complicada e importante que se plantea en la vida cotidiana en general y en el área de Matemáticas en particular. Los contenidos del área cobran sentido desde el momento en que es necesario aplicarlos para poder resolver una situación comunicativa.
La Orden________ en su Anexo I, refleja para el área de matemáticas uno de los objetivos relacionados directamente con la resolución de problemas:
Objetivo 1. Plantear y resolver de manera individual o en grupo problemas extraídos de la vida cotidiana, de otras ciencias o de las propias matemáticas, eligiendo y utilizando diferentes estrategias, justificando el proceso de resolución, interpretando resultados y aplicándolos a nuevas situaciones para poder actuar de manera más eficiente en el medio social.
Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la actividad matemática y deben ser soporte principal del aprendizaje matemático a lo largo de la etapa, puesto que constituyen la piedra angular de la educación matemática, considerados, no sólo como contenido procedimental, sino también como el contexto en el cual los conceptos y las actitudes pueden ser aprendidos.
La triple función educativa de la resolución de problemas proporciona un inmenso valor didáctico al contenido.
– En primer lugar, la resolución de problemas, proporciona significatividad, globalidad y funcionalidad a los conceptos matemáticos.
– En segundo, ayuda a valorar la utilidad de los conocimientos matemáticos en la vida cotidiana.
– En tercer lugar, y no por ello menos importante, contribuye al desarrollo de actitudes como la flexibilidad en la búsqueda de soluciones alternativas, la exploración de nuevas posibilidades, la valoración de distintos puntos de vista, la confianza en las propias habilidades y la autoestima.
El profesor George Polya de la Universidad de Stanford, generalizó un método para involucrar a los estudiantes en la solución de problemas, que consta de cuatro pasos:
- Entender el problema.
- Configurar un plan
- Ejecutar el plan
- Mirar hacia atrás
1ª Paso. Entender el problema.
Este paso tiene una importancia capital, pues no es posible resolver un problema si no se ha comprendido. Consiste en el análisis del enunciado en el que se indique las partes del problema, la incógnita, los datos y las condiciones o restricciones.
2º Paso. Configurar un plan.
Elaborar un plan de acción para resolver el problema implica establecer una conexión entre los datos, las condiciones y el requerimiento del problema. El trabajo del maestro o maestra en este paso consiste en proporcionar una serie de estrategias típicas de los procesos de resolución de los problemas denominados heurísticos o estrategias heurísticas.
Algunas de las estrategias heurísticas que se pueden trabajar en Educación Primaria son:
- Trabajar en sentido inverso (o hacia atrás). Consiste en comenzar a resolver el problema a partir de la meta y tratar de transformarla en datos, yendo de la meta al principio.
- Subir la cuesta. Consiste en avanzar desde el estado inicial a otro que esta más cerca de la meta, de modo que la persona que lo resuelve evalúa el nuevo estado, pudiendo elegir aquél que lo sitúe más próximo a la meta.
- Resolver un problema similar más simple. Consiste en resolver el problema con números más sencillos, con menos elementos, etc., con el fin de sacar conclusiones que se puedan aplicar al problema original.
- Ensayo y error. Consiste en elegir un resultado y comprobar si es una solución del problema. Si la comprobación en insatisfactoria, se intensa otra opción.
3er. Paso. Ejecutar el plan. Consiste en llevar a cabo el plan establecido. Durante este proceso se debe comprobar que cada una de las acciones que se realiza es correcta. Cuando surge una dificultad que impida seguir avanzando es conveniente volver al principio, recordar las ideas y empezar de nuevo.
4º Paso. Mirar hacia atrás Consiste en comprobar y analizar la solución obtenida: si satisface las condiciones del problema, si es posible y razonable, si podría existir otra solución diferente, más sencilla, etc. En esta fase es importante la verbalización de la solución. También se debe hacer una reflexión sobre todo el proceso seguido para llegar a la solución así como generalizar la aplicación de los resultados.
A partir de los planteamientos de Polya, autores matemáticos contemporáneos como Schoenfeld (1985), han propuesto diferentes métodos de resolución de problemas.
3. DIFERENTES CLASES Y MÉTODOS DE RESOLUCIÓN.
Tal y como hemos visto, los métodos de resolución de problemas establecen una serie de pasos o etapas que sirven para enfatizar el pensamiento consciente y para aproximarse analíticamente a la solución. También sirven para ofrecer una descripción de los procesos mentales de la persona que resuelve el problema.
Antes de proponer un problema a los alumnos o a las alumnas, es necesario considerar los conocimientos, los procedimientos y las estrategias que se requieren para su resolución, y si son acordes con el grado de desarrollo de sus estructuras cognitivas.
Clases de problemas.
En general, podemos decir que no hay unanimidad a la hora de clasificar los problemas y los criterios de clasificación de las mismas obedecen a la finalidad de los estudios realizados por sus autores.
En la resolución de los mismos se une la necesidad de poner en correlación tanto competencias lingüísticas como matemáticas. Este hecho justifica que le prestemos una especial dedicación en este apartado del tema. Se trata de Problemas presentados en forma escrita, a menudo problemas muy sencillos, que colocan la Matemática en el contexto del «mundo real».
En el desarrollo de este tema seguiremos la clasificación que realizan sobre dichos problemas, Puig y Cerdán (1988):
- Problemas de una etapa. Problemas en los que para alcanzar la solución es necesaria una operación aritmética
- Problemas de más de una etapa. Problemas en los que para alcanzar la solución son necesarias una o más operaciones aritméticas
En función del tipo de operación aritmética implicada, los problemas de una etapa se clasifican en:
- Problemas de estructura aditiva, si la operación es la suma o la resta.
- Problemas de estructura multiplicativa, si la operación es la multiplicación o la división.
En los problemas de más de una etapa puede haber componentes de estructura aditiva y componentes de estructura multiplicativa.
3.1.1. Problemas de estructura aditiva.
Este tipo de problemas también son conocidos como problemas aditivos de enunciado verbal (PAEV).
Desde el punto de vista de su estructura semántica, los problemas de estructura aditiva de una etapa se clasifican en cuatro grandes grupos:
– Problemas de cambio.
– Problemas de combinación.
– Problemas de comparación.
– Problemas de igualdad.
Esta clasificación guarda relación con los niveles evolutivos de los niños y las niñas de edades de primaria en la resolución de problemas aritméticos, que veremos más adelante, de ahí su importancia.
a) Problemas de cambio se caracterizan por la presencia de una acción, que modifica una cantidad inicial y da como resultado el incremento o decremento de la misma. Pueden resolverse juntando o separando objetos.
b) Problemas de combinación. Los problemas de combinación son aquellos en los que se describe una relación entre conjuntos. Responden al esquema “parte-parte-todo”.
c) Problemas de comparación. Dentro de la categoría de comparación se incluyen los problemas que presentan una relación estática entre dos cantidades. La relación viene establecida por las expresiones “más que” o “menos que”.
d) Problemas de igualación. Estos problemas se caracterizan también porque existe una comparación entre las distintas cantidades que se relacionan.
En los problemas de igualación existen elementos tanto de los problemas de comparación y como de los de cambio. La comparación viene establecida por medio del comparativo de igualad definido con la expresión “tantos como” y el cambio está dado por una acción implícita basada en la comparación de dos cantidades distintas.
3.1.2. Problemas de estructura multiplicativa.
En los últimos años se ha abordado la resolución de problemas verbales multiplicativos con el fin de elaborar una clasificación de los mismos, indagar las estrategias que utilizan los alumnos cuando los resuelven y a la vez determinar su grado de dificultad. Son varias las clasificaciones que se han realizado, pero en general podemos agruparlas como sigue:
a) Desde el modelo intuitivo, cuando los niños están aprendiendo las nociones de multiplicación y división, clasificamos a los problemas en situaciones simétricas y asimétricas, dependiendo si el papel del multiplicando y el multiplicador son iguales o diferentes, respectivamente.
b) En función de las cantidades involucradas en el problema, distinguimos entre extensivos o intensivos.
c) De acuerdo a su estructura semántica: de razón, comparación y combinación. Los niños al enfrentarse a problemas verbales multiplicativos con diferente estructura semántica, utilizan diferentes procedimientos de solución y que, a la vez, dichos problemas representan para el niño diferentes niveles de dificultad.
d) Vergnaud, (1983), identifica tres tipos de problemas de acuerdo a las estructuras multiplicativas: isomorfismo de medidas, producto de medidas y proporción múltiple.
1) El Isomorfismo de medidas ó función lineal es una estructura que consiste en una proporción simple y directa entre dos espacios de medidas.
2) El producto de medidas que consiste en la composición cartesiana de dos espacios de medida diferentes generando un tercero.
3) En cuanto a la estructura de proporción múltiple, un espacio de medida es proporcional a los otros dos espacios los cuales son diferentes e independientes entre si.
ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN.
· Problemas de estructura aditiva.
El aprendizaje de la suma y la resta comienza en la etapa infantil de una manera informal, a través de situaciones cotidianas y está presente, con diferentes grados de abstracción, a lo largo de la escolaridad obligatoria, a medida que se introducen los sistemas numéricos.
Los niños y las niñas pueden presentar múltiples procedimientos de resolución de los problemas en función de diferentes factores y, aunque existe un gran abanico de posibilidades en procesos de resolución, habitualmente se observa que existen tres estrategias básicas empleadas por el alumnado de edades de Ecuación Primaria para la ejecución y resolución de problemas de suma y resta:
Las estrategias suponen diferentes niveles de abstracción, desde utilizar objetos, a emplear una abstracción matemática, como es el manejo abstracto de los números. Por ello, las primeras estrategias que utilizan los niños son de modelación directa, posteriormente son reemplazadas por estrategias de contar, que a su vez son sustituidas más tarde por el uso de hechos numéricos.
Estrategias de modelización. La modelación consiste en utilizar objetos (fichas, palitos, canicas, etc.) o los dedos para modelizar la acción, es decir para representar los elementos de los conjuntos y ejecutar con ellos las acciones descritas en el problema.
Estrategias de la secuencia numérica. Las estrategias de contar son más eficientes y menos mecánicas que las de modelación directa. El uso de estas estrategias significa un cambio madurativo ya que el niño/a se ha dado cuenta de que no es necesario construir la secuencia completa para contar.
Estrategias de hechos numéricos. Un hecho numérico es una relación entre números. Con esta estrategia los niños utilizan hechos numéricos que recuperan de la memoria.
· Problemas de estructura multiplicativa
Para resolver problemas de estructura multiplicativa los niños utilizan tres tipos de estrategias: modelación directa, estrategias basadas en el conteo, la suma y la resta, y hechos numéricos derivados.
ESTRATEGIAS DE MODELACIÓN DIRECTA.
Son las primeras estrategias que utilizan los niño/as para resolver problemas de estructura multiplicativa. Consiste en utilizar objetos para representar los conjuntos y modelar con ellos las acciones y relaciones descritas en el problema.
Para resolver los problemas de división utilizan dos estrategias distintas: “medida” y “reparto”.
· Agrupamiento. Consiste en formar conjuntos, cada uno con igual número de elementos, y después contar el número total de elementos.
· Modelos de reparto. Esta estrategia se utiliza para resolver problemas de “división partitiva”. Este tipo de problemas consiste en repartir una cantidad en un número determinado de partes iguales, es decir, los datos son el número total de elementos y el número de conjuntos, y la incógnita es el número de elementos de cada conjunto.
· Modelo de cuotas o de medida. Esta estrategia es utilizada por los niños para resolver problemas de “división medida”. En este tipo de problemas los datos son el número total de elementos y el número de elementos de cada conjunto. La incógnita es el número de conjuntos.
· Estrategias basadas en el conteo, la suma y la resta. Estas estrategias van reemplazando paulatinamente a las estrategias de modelación directa. Las estrategias que utilizan los niños para resolver los problemas de estructura multiplicativa son: “conteo a saltos”, “suma reiterada”, “conteo hacia atrás a saltos”, “resta reiterada” y “ensayo y error”.
· Conteo a saltos. Consiste en contar hacia delante de 2 en 2, de 3 en 3, etc. Esta estrategia se utiliza para resolver los problemas de multiplicación y de división medida. En los problemas de multiplicación la amplitud de los saltos corresponde al número de elementos de cada conjunto (este número también es el de partida), y el número de saltos que hay que dar corresponde al número de conjuntos.
· Suma reiterada. Esta estrategia es similar a la anterior, pero en lugar de saltos se realiza una suma repetida. El sumando que se repite equivale a la amplitud de los saltos, y el número de veces que se repite corresponde al número de saltos que hay que dar.
· Conteo hacia atrás a saltos. Esta estrategia se usa para resolver los problemas de división medida.
· Resta reiterada. Esta estrategia es similar a la anterior, pero en lugar de saltos hacia atrás se realiza una resta reiterada. El sustraendo de esta resta equivale a la amplitud de los saltos, y el número de veces que se reitera la resta corresponde al número de saltos que hay que dar.
· Ensayo y error. En los problemas de división partitiva el número de elementos de cada conjunto es desconocido, y para usar una estrategia de conteo a saltos (o de suma reiterada) es necesario estimar dicho número.
Hecho derivados. Al igual que ocurre con la suma, los niños aprenden algunos hechos numéricos antes de conocer las tablas de multiplicar. Estos hechos, así como los que derivan de ellos, los utiliza el niño para resolver problemas de estructura multiplicativa.
4. PLANIFICACIÓN, GESTIÓN DE LOS RECURSOS, REPRESENTACIÓN, INTERPRETACIÓN Y VALORACIÓN DE LOS RESULTADOS.
La resolución de problemas facilita, como instrumento, el desarrollo de cada una de las competencias básicas que se desarrollan en el curriculum, de ahí su importancia en el aula.
4.1. LA PLANIFICACIÓN.
Está aquí asociada a la comprensión en detalle de la situación planteada para trazar un plan y buscar estrategias y, en definitiva, para tomar decisiones.
La resolución de ejercicios y problemas es un proceso clave en la enseñanza de las matemáticas, mediante el cual los alumnos experimentan la potencia y la utilidad de las matemáticas en el mundo que los rodea, por ello se hace necesario obtener esa planificación en torno a la comprensión del problema para trazar estrategias de resolución sirvan como referentes estos ítems:
a) El conocimiento de una estrategia general para abordar la resolución de cualquier problema.
b) Utilización de un pensamiento lógico no asociado estrictamente a las operaciones aritméticas.
c) El aprendizaje de unos elementos lógicos de distribución espacial.
d) El gusto de la exploración matemática.
e) Apertura de pensamiento para llegar a entender que un problema puede tener una, muchas o ninguna solución, sin que por ello sea más o menos valioso.
4.2 La gestión de los recursos, su representación e interpretación.
Una vez que se ha estipulado la planificación como medio de acercamiento y toma de decisiones a la hora de afrontar la resolución de problemas es hora de que entre en acción la gestión de los recursos como forma de optimización de los procesos de resolución de problemas y así surgirán en este sentido los heurísticos específicos como operaciones mentales.
El alumno ha de tener una serie de conocimientos básicos que le permitan afrontar la resolución de un problema.
– Conocimientos lingüísticos. Habilidad lectora y dominio gramatical.
– Conocimientos semánticos y contextuales. Contenido matemático.
– Conocimientos del esquema o estructura: especialmente el esquema semántico de las relaciones matemáticas.
– Conocimiento de estrategias: generales y específicos.
3.3 Valoración de los resultados.
Como colofón a lo que se podría denominar el enfoque del tratamiento de la resolución de problemas en primaria tendríamos la necesidad de valorar el resultado del proceso descrito anteriormente de tal forma que produzca una mejora palpable en los futuros resultados obtenidos por los alumnos/as así como ampliar el abanico de posibilidades. Tendríamos en este proceso de valoración un punto culminante donde la resolución de problemas cobraría todo su significado para las más diversas situaciones.
De esta forma el plano de la resolución de problemas transcendería del plano matemático al de cualquier situación y promovería en nuestros alumnos y alumnas una verdadera reflexión sobre los procesos de aprendizajes que han seguido así como las posibilidades de su uso en la vida cotidiana.
5. ESTRATEGIAS DE INTERVENCIÓN EDUCATIVA.
Tomando como referencia el Real Decreto 126/2014, de 28 de Febrero, estableceremos una serie de orientaciones metodológicas para la resolución de los problemas:
ü Priorizar experiencias del alumnado.
ü Incluir actividades de aprendizaje matemático en situaciones educativas reales.
ü Utilizar en diversas situaciones distintos códigos y modos de expresión.
Dentro de la intervención educativa, trazaremos una doble perspectiva, por un lado un primer acercamiento de forma general, donde se asentarán las bases para una propuesta más específica en torno al apartado del tema que nos ocupa. Así:
Una intervención educativa de resolución de problemas ha de tener como finalidad el logro de unos objetivos. Se pretende que interioricen y que desarrollen una serie de capacidades que les lleven a ser buenos resolutores de problemas
Otro aspecto que se debe tener en cuenta es la necesidad de tiempo o Temporalización. Es conveniente disponer dentro del horario escolar de un “espacio” que podamos dedicar al desarrollo de esta actividad, en el cual la actitud, tanto del alumno7a como del profesor/a, al abordar la resolución de problemas, sea diferente.
Será necesario garantizar que se trabajen las diferentes tipologías de problemas propias de la etapa educativa. Un porcentaje muy alto de los problemas que se trabajan en Educación Primaria lo constituyen los problemas aritméticos.
Es mejor trabajar al inicio en gran grupo, para que el alumno se sienta mas acompañado en el proceso de aprendizaje, y posteriormente pasar a la modalidad por parejas. Una vez que en la pareja han hablado y han “planteado” oralmente la tarea a realizar, cada uno, ahora ya individualmente, completa la ficha de trabajo y resuelve las actividades.
Si es posible debería contarse con espacio suficiente en el aula para que no se den interferencias entre alumnos de diferentes parejas mientras estén ejecutando la tarea (Echenique, 2006).
6. COMENTARIOS FINALES.
La enseñanza tradicional de las matemáticas fomentaba el aprendizaje “memorístico” e impedía la creatividad por parte del alumnado. Nuestro reto será enseñarles a pensar matemáticamente, es decir, a que sean capaces de abstraer y aplicar ideas matemáticas a diversas situaciones a partir de métodos o estrategias.
El maestro/a tiene mucho que decir, ya que este conforma el eslabón de unión entre la materia y el alumno/a, y tendremos que responder al reto de no caer en inculcarles de forma rutinaria un número de contenidos sin conexión con la realidad.
Como conclusión, queremos señalar que el profesorado debe actuar de guía, interviniendo en los momentos claves para hacer las sugerencias oportunas y buscar diversos apoyos (manipulativos, gráficos, etc.) que faciliten al alumnado la comprensión y la resolución del problema.
B. RECURSOS.
7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
– BOJA_______
– MEC (2013a). Ley Orgánica 8/2013 del 9 de diciembre para la Mejora de la Calidad Educativa.
– MEC (2014b). Real Decreto 126/2014 del 28 de febrero por el que se establece el currículo básico de la Educación Primaria.
– MEC (2006a) Ley Orgánica 2/2006, de 3 de Mayo, de Educación.
– MEC (2006b) Real Decreto 1513/2006, del 7 de diciembre por el que se establecen las enseñanzas mínimas para la educación primaria
– Schoenfeld, A. (1985). Sugerencias para la enseñanza de la Resolución de Problemas Matemáticos. En Separata del libro “La enseñanza de la matemática a debate”. (Pp.13-47). Ministerio de Educación y Ciencia. Madrid.
– Puig l. y Cerdán F. (1990) Departamento de Didàctica de la Matemàtica de la Universitat de València. Conferencia invitada al grupo de Álgebra del Segundo Simposio Internacional de Educación Matemática, Cuernavaca, Morelos, México, 12-14 de julio de 1990.
– Vergnaud, G. (1983) Multiplicative Structures. In Lesh, R., Landau, L. Acquisition of mathematic concepts and processes. New York: Academic Press. 127-174, traducido por GODINO, J. http://www.ugr.es/~jgodino/
8. REFERENCIAS WEB.
– Http:// galeón.hispavista.com/aprenderaprender/intmultiples/intmultiples.htm