Tema 5. De la lógica clásica a la lógica simbólica.

La lógica no siempre ha recibido el mismo nombre. Platón hablaba de la “dialéctica” como la técnica de conocer las relaciones entre las ideas. Platón pensaba que cualquier contenido de la mente existía tal cual en la realidad, en el mundo de las Ideas separadas, el cosmos noetós. Contra estas ideas separadas reaccionó Aristóteles, quien en su Oganon o colección de obras lógicas, emplea la palabra “analítica” para referirse a la lógica. Para Aristóteles las ideas existen sólo en la mente humana, pero se corresponden a la realidad; esto trajo consigo el nacimiento de la lógica. Aristóteles distingue, así, entre la metafísica(ciencia de la realidad o del ser y sus principios más profundos) y la lógica (ciencia de las ideas y procesos de la mente), que Platón identificaba.

Por lógica clásica puede entenderse a veces la lógica simbólica moderna estándar, esto es, cálculos como los de Principia Mathematica y sistemas afines, que incluirían la lógica de enunciados, la lógica de predicados de primer orden (incluida la lógica de relaciones) y la lógica de predicados de orden superior. Esto se opondría a las lógicas no clásicas, esto es, aquellas que, o bien no comparten algún presupuesto fundamental de la lógica clásica, o bien constituyen desarrollos complementarios de la lógica clásica (como la lógica modal), o bien constituyen de algún modo concepciones alternativas a la lógica clásica (como la lógica intuicionista). Pero puede entenderse también y más frecuentemente por “lógica clásica) la lógica aristotélica con sus complementos medievales que permaneció con apenas alguna variación hasta Frege.

1. La lógica griega

1.1 Aristóteles

La opinión de que la lógica comienza con Aristóteles se debe a varias razones. Una es que fue el primero en formalizar las expresiones, esto es, en emplear variables para los términos, para poder analizar mejor las inferencias entre enunciados. Fue también el primero en concebir la lógica como el estudio de la inferencia formalmente válida, y quien construyó el primer sistema de lógica de términos. Pero, además de la lógica sensu estricto, en las obras de Aristóteles aparecen los siguientes temas: estudios acerca del uso de los términos en el lenguaje ordinario; estudios sobre el arte de la argumentación y de la retórica; estudios de metodología de la ciencia, incluida su concepción del método inductivo; el estudio de la organización de los sistemas deductivos; y finalmente la teoría del razonamiento deductivo o silogístico.

En la concepción aristotélica de la lógica hay una vacilación entre dos ideas. Por un lado, la lógica es concebida, en tanto que órgano, como prolegómeno de toda investigación científica, filosófica o simplemente perteneciente al lenguaje ordinario. Por eso la lógica no es una parte de la filosofía; es, a lo sumo, el pórtico que permite pasar a cualquiera de sus partes (la teórica, la práctica y la poética o productiva). Por otro lado, la lógica aparece como el análisis de los principios según los cuales se halla articulada la realidad. Así como el primado de la definición y de la dialéctica en Platón podía ser considerado como la consecuencia del interés de este autor por el “qué” de las cosas, el primado del razonamiento (sobre todo silogístico) en Aristóteles podría ser considerado como la consecuencia del interés de este pensador por el “porqué” de las cosas. La lógica de Aristóteles parece seguir el tratado de una ontología general. Esto se manifiesta en una serie de proposiciones que pueden resumirse del siguiente modo: a) la lógica es un instrumento para el pensar y supone un pensamiento; b) el pensamiento supone una realidad pensada, pues el pensar carece de espontaneidad y es sólo relativo, c) es necesario, en vista de ello, desarrollar una teoría del concepto como expresivo del ser “constitutivo” de lo real, d) la lógica puede de este modo convertirse en ciencia de los principios de lo que es.

En MetafísicaXI, 7 afirma que la lógica es una técnica indispensable para la investigación, pero añade que la consideración de los principios silogísticos corresponde al filósofo y a quien especula sobre la naturaleza de cualquier sustancia. Así, él mismo reconduce la lógica a su supuesto indispensable: la teoría de la sustancia. Esta teoría es el fundamento de todo conocimiento intelectual. La forma es a la vez la ratio essendi y ratio cognoscendi del ser: en tanto que ratio essendi es sustancia, en tanto que ratio cognoscendi es concepto. La forma, pues, garantiza la correspondencia entre el concepto y la sustancia y, por tanto, la verdad del conocimiento y la racionalidad del ser. Por esto Aristóteles puede decir que el ser y la verdad se hallan en relación recíproca: que, por ejemplo, si el hombre existe, la afirmación de que el hombre exista es verdadera; y recíprocamente, si es verdadera la afirmación de que el hombre existe, el hombre existe. Pero Aristóteles añade que en esta relación el fundamento es la realidad, y que la realidad no es tal porque la afirmación que le concierne sea verdadera, sino que la afirmación es verdadera porque la realidad es tal como ella la expresa. En otros términos, la verdad del concepto se funda en la sustancialidad de laforma y no viceversa: la metafísica precede y fundamenta la lógica.

Por ello, se puede decir que Aristóteles no pretendió fundar la lógica como ciencia formal, en el sentido moderno del término, o sea, de ciencia sin objeto o sin contenido, constituida únicamente por proposiciones tautológicas. Según Aristóteles, la lógica tiene un objeto y este objeto es la estructura de la ciencia en general que luego es la misma estructura del ser que es objeto de la ciencia. Aristóteles afirma que la lógica debe analizar el lenguaje apofántico o declarativo, que es el propio de las ciencias teoréticas, en el cual tienen lugar las determinaciones de verdadero y falso según que la unión o separación de los signos (de que consta una proposición) reproduzca o no la unión o la separación de las cosas.

El lenguaje apofántico no tiene nada de convencional. Según Aristóteles, las palabras del lenguaje son convencionales, tanto es así que de una lengua a otra son distintas. Pero las palabras se refieren a “afectos del alma que son los mismos para todos y constituyen imágenes de objetos que son los mismos para todos”. Por tanto, se puede decir que, para Aristóteles, el lenguaje es convencional en su diccionario, no en su sintaxis; en consecuencia, la lógica ha de mirar a esta sintaxis para analizar la estructura fundamental del conocimiento científico y del ser.

1.1.1 Cuantificación de los enunciados

Aristóteles considera que todos los enunciados (simples) tienen la forma “S es P” donde S es el sujeto, y P el predicado que se atribuye a S. El predicado P siempre es un concepto o entidad abstracta, pero el sujeto S puede ser tanto un individuo o entidad concreta como un concepto o entidad abstracta. Si ocurre lo primero, tenemos un enunciado singular, mientras que en el segundo caso nos las habemos con un enunciado conceptual o general.

En los Analíticos Anteriores sólo se consideran los enunciados conceptuales o generales, que a su vez se dividen en universales, particulares e indefinidos.

El enunciado es una oración que afirma o niega algo de algo, y es universal, particular o indefinido. Llamo universal al pertenecer a todo o a ninguno; particular, al pertenecer a alguno o no a todo; indefinido, al pertenecer o no pertenecer, sin indicar universalidad o particularidad (Analíticos Anteriores, I, 24 a 16)

El enunciado universal (afirmativo) contiene un cuantificador universal, es decir, una expresión lingüística como “cada”, “todos”, o “para todo”, y atribuye el predicado universalmente al sujeto, es decir, afirma que el concepto-predicado es aplicable a todas las cosas a las que se aplica el concepto sujeto.

El enunciado particular (afirmativo) contiene un cuantificador particular, es decir, una expresión lingüística como “algún” o “hay” o “para algún”, y atribuye el predicado particularmente al sujeto, es decir, sólo afirma que el concepto-predicado es aplicable a algunas cosas a las que también se aplica el concepto-sujeto.

El enunciado indefinido es un enunciado conceptual o general que carece de cuantificadores, por lo que no está claro si el predicado se atribuye universal o particularmente al sujeto.

Una de las invenciones más notables de Aristóteles consistió en la introducción de variables o letras esquemáticas en la lógica. No llegó a introducir variables para individuos, pero sí para conceptos o entidades abstractas. Utilizaba letras mayúsculas para referirse indistintamente a conceptos cualesquiera.

División aristotélica de los enunciados simples en ocho tipos, según su cuantificación y su carácter afirmativo o negativo:

		Afirmativo	Negativo
		S es P	S no es P
Enunciado	Universal	Todo S es P	Ningún S es P
	Particular	Algún S es P	Algún S no es P
	Indefinido	S es P	S no es P

En su exposición definitiva, la lógica aristotélica no conoce mas que cuatro tipos de enunciados (simples), los tipos que los lógicos medievales designaron mediante las letras a, e, i, o, correspondientes a los enunciados universales afirmativos (a), universales negativos (e), particulares afirmativos (i) y particulares negativos (o).

	A afirmativo	Todo S es P P pertenece a todo S
Universal
	E negativo	Ningún S es P P no pertenece a ningún S
	I afirmativo	Algún S es P P pertenece a algún S
Particular
	O negativo	Algún S no es P
		P no pertenece a algún S

1.1.2 Oposición entre enunciados

Aristóteles inició su estudio sistemático de las relaciones lógicas entre enunciados con la consideración de la oposición. La oposición entre enunciados puede ser de dos tipos: oposición contradictoria y oposición contraria.

La oposición contradictoria o contradicción se da entre dos enunciados de los cuales uno es la negación del otro. Por el principio del tercio excluso, al menos uno de ellos ha de ser verdadero y, por el principio de contradicción, el otro ha de ser falso. La contradicción se da entre dos enunciados singulares del tipo “s es P” y “s no es P”. Pero estos enunciados no juegan ningún papel en la lógica de Aristóteles. La contradicción se da también – y esto sí juega un papel importante en su lógica – entre un enunciado universal afirmativo y el correspondiente enunciado particular negativo, es decir, entre dos enunciados de los tipos “todo S es P” y “algún S no es P”. Igualmente se oponen contradictoriamente un enunciado universal negativo y el correspondiente particular afirmativo, es decir, dos enunciados de los tipos “ningún S es P” y “algún S es P”.

“Todo A es B” es el contradictorio de “algún A no es B”

“Ningún A es B” es el contradictorio de “algún A es B”

“Algún A es B” es el contradictorio de “ningún A es B”

“Algún A no es B” es el contradictorio de “todo A es B”

Cada enunciado es equivalente a la negación de su contradictorio. Por tanto, si negamos un enunciado, hemos de afirmar su contradictorio. Si afirmamos un enunciado hemos de negar su contradictorio.

La oposición contraria o contrariedad se da entre dos enunciados que no pueden ser ambos verdaderos, sino que al menos uno de ellos ha de ser falso. También los dos pueden ser falsos. Si el uno es verdadero, el otro es falso. Pero si el uno es falso, el otro puede ser tanto verdadero como falso. La contrariedad se da entre un enunciado universal afirmativo y el correspondiente enunciado universal negativo, es decir, entre dos enunciados de los tipos “todo S es P” y “ningún S es P”.

“Todo A es B” es el contrario de “ningún A es B”

“Ningún A es B” es el contrario de “todo A es B”

Leyes de la oposición contradictoria:

1. Si no (todo A es B), entonces (algún A no es B)
2. Si no (ningún A es B), entonces (algún A es B)
3. Si no (algún A es B), entonces (ningún A es B)
4. Si no (algún A no es B), entonces (todo A es B)

Leyes de la oposición contraria:

1. Si (todo A es B), entonces no (ningún A es B)
2. Si (ningún A es B), entonces no (todo A es B).

Estas dos leyes son inválidas desde el punto de vista de la lógica actual.

1.1.3. Conversión de enunciados

Una de las razones por las que Aristóteles prescinde de los enunciados singulares en su lógica madura estriba en su deseo de poder permutar sujeto y predicado en cualquier enunciado. Ahora bien, si el sujeto es un individuo o entidad concreta, es imposible que haga de predicado y, por tanto, la permutación es imposible. Pero si tanto el sujeto como el predicado son conceptos o entidades abstractas, entonces la permutación es siempre posible. Por eso Aristóteles limita su consideración a los enunciados conceptuales o generales.

La conversiónde un enunciado consiste en la permutación de su sujeto y su predicado. El enunciado conserva los mismos conceptos, pero el concepto que hacía de predicado pasa a hacer de sujeto, y a la inversa. Naturalmente, no siempre la verdad de un enunciado garantiza la verdad del enunciado que resulta de la permutación de sus conceptos.

Los enunciados universales negativos y los particulares afirmativos pueden convertirse siempre; los enunciados particulares negativos no pueden convertirse nunca; los enunciados universales afirmativos pueden convertirse sólo a condición de transformar su cuantificación de universal en particular. Aristóteles obtiene las siguientes leyes lógicas de la conversión:

1. Si (ningún A es B), entonces (ningún B es A)
2. Si (algún A es B), entonces (algún B es A)
3. Si (todo A es B), entonces (algún B es A)

1.1.4. Silogismos y figuras

Aristóteles define el silogismo del siguiente modo:

El silogismo es un discurso en el cual, puestas ciertas cosas, algo distinto de las cosas puestas se sigue necesariamente de ellas, como consecuencia suya, y sin que sea preciso introducir ningún otro término para justificar la necesidad de la conclusión (Analíticos Anteriores, I, 24 b 18)

Esta definición vale para cualquier deducción. Sin embargo, Aristóteles usa la palabra “silogismo” para referirse no a cualquier deducción, sino a un tipo muy especial de ella, la formada por tres enunciados (dos premisas y una conclusión), cada uno de los cuales es de uno de los cuatro tipos “todo S es P”, “ningún S es P”, “algún S es P”, o “algún S no es P”, donde S y P son términos generales (o conceptos) cualesquiera, y tales que en los tres enunciados juntos aparecen exactamente tres términos o conceptos, no más ni menos.

Según el análisis que hace Aristóteles, para que las premisas impliquen la conclusión, es preciso que en ellas aparezcan los dos conceptos de la conclusión (a los que llamaremos extremos), uno en cada premisa y, además, un concepto nuevo, que no aparece en la conclusión, pero que aparece en ambas premisas (al que llamaremos medio). ¿Cómo clasificar estas combinaciones? En primer lugar, en figuras.

La primera figura se da cuando el sujeto de la conclusión es sujeto de una premisa, el predicado de la conclusión es predicado de otra premisa y el concepto medio es predicado de una premisa y sujeto de otra.

Ejemplo:

todo A es B

todo B es C

—————-

todo A es C

La formulación aristotélica original de la ley de este ejemplo es la siguiente:

Si A se predica de todo B y B se predica de todo C, entonces necesariamente A se predica de todo C (Analíticos anteriores, I, 26 a 37)

Cuatro son las combinaciones de la primera figura que Aristóteles reconoce explícitamente como implicaciones, como silogismos, y éstas son sus correspondientes leyes lógicas:

(1.1) Si todo A es B y todo B es C, entonces todo A es C

(1.2) Si todo A es B y ningún B es C, entonces ningún A es C

(1.3) Si algún A es B y todo B es C, entonces algún A es C

(1.4) Si algún A es B y ningún B es C, entonces algún A no es C

La segunda figura se da cuando el sujeto de la conclusión es sujeto de una premisa, el predicado de la conclusión es sujeto de la otra premisa y el concepto medio es predicado de ambas premisas. También en esta figura reconoce Aristóteles cuatro combinaciones como dando lugar a la implicación de la conclusión por las premisas, como silogismos.

(2.1) Si todo A es B y ningún C es B, entonces ningún A es C

(2.2) Si ningún A es B y todo C es B, entonces ningún A es C

(2.3) Si algún A es B y ningún C es B, entonces algún A no es C

(2.4) Si algún A no es B y todo C es B, entonces algún A no es C

La tercera figura se da cuando el sujeto de la conclusión es predicado de una premisa, el predicado de la conclusión es predicado de la otra premisa y el concepto medio es el sujeto de ambas. En esta tercera figura reconoce Aristóteles seis combinaciones en las cuales las premisas implican la conclusión, seis silogismos:

(3.1) Si todo B es A y algún B es C, entonces algún a es C

(3.2) Si todo B es A y algún B no es C, entonces algún A no es C

(3.3) Si algún B es A y todo B es C, entonces algún A es C

(3.4) Si algún B es A y ningún B es C, entonces algún A no es C

(3.5) Si todo B es A y todo B es C, entonces algún A es C

(3.6) Si todo B es A y ningún B es C, entonces algún A no es C

Llamo silogismo perfecto al que no necesita nada fuera de lo puesto en las premisas para hacer evidente la necesidad de la conclusión. Llamo silogismo imperfecto al que [para hacer evidente la necesidad de la conclusión] necesita de una o varias cosas que no aparecen explícitamente en las premisas, aunque se siguen necesariamente de ellas (Analíticos anteriores, I, 24 b 22)

Un silogismo perfecto es evidentemente válido. Un silogismo imperfecto es igualmente válido, pero su validez no es evidente, sino que ha de ser mostrada con ayuda de un silogismo perfecto. Aristóteles elige como axiomas de la silogística a los silogismos de la primera figura, por ser éstos los únicos perfectos y evidentes.

¿Por qué son evidentes los silogismos de la primera figura? Porque en esta figura y sólo en ella: 1) la primera premisa acaba con el mismo concepto con que empieza la segunda, lo que facilita la intelección; 2) el concepto medio ocupa efectivamente el puesto medio, lo que evidencia su papel mediador; 3) el primer y último conceptos del antecedente (o unión de las dos premisas) son el primer y último conceptos del consiguiente (o conclusión). Además, en el primer silogismo de la primera figura, que es el más evidente de todos, el concepto sujeto de la conclusión o concepto menor tiene una extensión menor que el concepto medio, que tiene una extensión intermedia entre los otros dos y, por tanto, menor que la del concepto predicado de la conclusión o concepto mayor.

Los silogismos de las figuras segunda y tercera son válidos, pero su validez no es evidente, sino que sólo se patentiza reduciéndolos a los de la primera figura.

1.1.4 Silogismos: premisas y validez

Aristóteles parte del principio que “toda doctrina o disciplina deriva de un conocimiento preexistente”. Para que el silogismo concluya necesariamente, las premisas de donde deriva deben también ser necesarias. Y para ser tales, han de ser, en sí mismas, principios verdaderos, absolutamente primeros e inmediatos; y respecto a la conclusión, más cognoscibles, anteriores a la conclusión y causas de ella. “Inmediatos” quiere decir que son indemostrables, como evidentes por sí mismos, ya que si no fueran tales, serían principios de los principios y así sucesivamente hasta el infinito. Algunos de estos principios son comunes a todas las ciencias, otros son principios de cada ciencia. Los principios, sobre todos los principios propios, según Aristóteles, no son sino definiciones y las definiciones son posibles sólo de la sustancia o de la esencia necesaria. La validez de los principios en que se funda la ciencia, consiste, pues, en ser ellos expresión de la sustancia, o mejor aún, del género de sustancias sobre las que versa una ciencia particular; y como la sustancia es causa de todas sus propiedades y determinaciones como los principios son causa de las conclusiones que el silogismo deriva de ellos, todo el conocimiento es conocimiento de causas.

1.1.5 La inducción y la deducción

La inducción, según Aristóteles, es una deducción que, en lugar de deducir un extremo de otro mediante el término medio, como hace el silogismo, deduce el término medio de un extremo, valiéndose del otro externo. Por ejemplo, después de haber constatado que el hombre, el caballo y el mulo (primer término) son animales sin bilis (término medio) y que el hombre, el caballo y el mulo son longevos (segundo término), deduce que todos los animales sin bilis son longevos; en cuya conclusión aparece el término medio y un extremo. El “ser sin bilis” es, en este caso, el término medio porque es la razón o la causa por la que el hombre, el caballo y el mulo son longevos. La inducción es válida si y sólo si se agotan todos los casos posibles. De ahí que la inducción sea de uso limitado y no pueda suplantar al silogismo deductivo, aunque para el hombre es un procedimiento más fácil y claro. Por eso afirma Aristóteles que la inducción puede usarse, no en la ciencia, sino en la dialéctica y en la oratoria, es decir, como instrumento de ejercicio o persuasión.

Los estoicos

Mediante el término lógica los estoicos expresaban la doctrina que tiene por objeto los lógoi, o discursos. Como ciencia de los dicusos continuos, la lógica es retórica; como ciencia de los discursos divididos en preguntas y respuetas, la lógica es dialéctica. La dialéctica se define como “la ciencia de lo que es verdadero y de lo que es falso y de lo que no es ni verdadero ni falso”. Con la expresión “lo que no es ni verdadero ni falso” los estoicos probablemente entendían los sofismas o las paradojas, sobre cuya verdad o falsedad no se puede decidir. A su vez, la dialéctica estoica se divide en cuatro partes, según trate de las palabras o de las cosas que significan las palabras: la que trata de las palabras es la gramática; la que trata de las cosas significadas es la lógica en sentido propio: por lo tanto, ésta tiene por objeto las representaciones, las proposiciones, los razonamientos y los sofismas.

Los megáricos y los estoicos fueron los primeros en estudiar la lógica de enunciados, esto es, las relaciones entre enunciados unidos por partículas como ‘y’, ‘o’, ‘si … entonces’, etc. Los megárico-estoicos se interesaron por los razonamientos que tienen la forma de argumento y no de una implicación, esto es, de series de premisas distintas afirmadas y una conclusión derivada de ellas, en vez de enunciados-premisas condicionales que implican un enunciado-conclusión. Pero lo más fundamental es que esta lógica investigaba la lógica de las partículas conectivas entre los enunciados. Los estoicos establecieron algunas leyes lógicas, como el Modus Ponens (si p entonces q, y p, por tanto q), el Modus Tollens (si p entonces q, y no q, por tanto no p) el silogismo disyuntivo (p o q, y no p, por tanto q), etc., aunque ellos los entendieron como reglas de inferencia.

1.2.1. El criterio de verdad

El problema fundamental de la lógica estoica es el del criterio de la verdad. Según todos los estoicos, el criterio de la verdad es la representación cataléptica o conceptual. Dos interpretaciones son posibles del significado de esta expresión. En primer lugar, la fantasía puede consistir en la acción del intelecto que se apodera y comprende el objeto. En segundo lugar, puede ser la representación impresa en el entendimiento por el objeto, esto es, la acción del objeto sobre el entendimiento. Para Sexto Empírico la representación cataléptica es la que viene del objeto real y es impresa y marcada por él en conformidad consigo mismo, de modo que no podría nacer de un objeto diverso. Zenón ponía el significado de la representación cataléptica en su capacidad de alcanzar y comprender el objeto. Él comparaba la mano abierta y los dedos extendidos a la representaciónpura y simple; la mano contradía que hace acto de coger, al asentimiento; la mano cerrada en puño, a la comprensión cataléptica. En fin, las dos manos apretadas una sobre otra, con gran fuerza, eran el símbolo de la ciencia, la cual proporciona la verdadera y completa posesión del objeto.

1.2.2 El asentimiento y la epoché

Si el recibir una representación determinada, por ejemplo, ver el color blanco, no está en el poder del que lo recibe, porque depende del objeto del cual se origina la sensación, el asentir a tal representación es, en cambio, un acto libre. El asentimiento constituye el juicio; el cual se define precisamente o bien como asentimientoo como disconformidad o como suspensión, esto es, renuncia provisional al asentimiento de la representación recibida o a disentir de la misma. Según Sexto Empírico, los estoicos posteriores pusieron el criterio de la verdad, no en la simple representación cataléptica, sino en la representación cataléptica “que no tenga nada contra sí”; porque puede darse el caso de representaciones catalépticas que no sean dignas de asentimiento por las circunstancias en que son recibidas. De esto se deriva que la representación cataléptica es la que está dotada de evidencia no contradicha, tal que solicite con gran fuerza al hombre a prestar su asentimiento, el cual, con todo, es libre. Consecuentemente, definían la ciencia como una representación cataléptica o un hábito inmutable para aceptar tales representaciones, acompañadas de razonamiento y afirmaban que no hay ciencia sin dialéctica, siendo propio de la dialéctica presidir los razonamientos.

1.2.3 El nominalismo estoico

Los conceptos no tienen para los estoicos ninguna realidad objetiva: lo real es siempre individual y el universal subsiste solamente en las anticipaciones o en los conceptos. El estoicismo es, pues, un nominalismo. Los conceptos más generales, las categorías, son reducidos por los estoicos a cuatro: 1) el sustrato o sustancia; 2) la cualidad; 3) el modo de ser; 4) el modo relativo. Estas cuatro categorías están entre sí en una relación tal que la siguiente encierra la precedente y la determina. De hecho, nada puede tener un carácter relativo, si no tiene un modo de ser; no puede tener un modo de ser, si no tiene una cualidad fundamental que lo diferencia de los demás; y no puede tener esta cualidad si no subsiste por sí, y es sustancia.

El concepto más alto y más amplio es el concepto de ser; por cuanto todo en cierto modo es, y no hay, por tanto, un concepto más extenso que éste. El concepto más determinado, en cambio, es el de especie, que no tiene otra especie debajo de sí, esto es, el individuo, por ejemplo, de Sócrates.

1.2.4 La proposición y el razonamiento

La parte de la lógica estoica que ha ejercido mayor influencia en el desarrollo de la lógica medieval y moderna es la que concierne a la proposición y al razonamiento. Como fundamento de esta parte de su doctrina, los estoicos pusieron la teoría del significado.

Tres son los elementos que se coligan: el significado, lo que significa y lo que es. Lo que significa es la voz, por ejemplo, “Dios”. El significado es la cosa señalada por la voz y a la que nosotros unimos pensando en la cosa correspondiente. Lo que es, es el sujeto externo, por ejemplo, el mismo Dios (Sexto Empírico, Adv. Math., VIII, 12)

De estos tres elementos conexos, dos son corpóreos, la voz y lo que es; uno es incorpóreo, el significado mismo. El significado es aquella función o representación o concepto que nos viene a la mente cuando oímos una palabra y que nos permite referir la palabra a una cosa determinada. El concepto “animal racional” es el significado que permite la referencia de las palabras al objeto existente. Este concepto sirve de camino entre la palabra (y en general, la expresión verbal) y la cosa real o corpórea, orientada de esta manera la referencia al objeto de las expresiones lingüísticas que de otra manera serían puros sonidos, incapaces de toda conexión con las cosas. Por lo tanto, la referencia a la cosa es parte integrante del significado o, por lo menos, es un aspecto íntimamente unido a ella, pues la información en que consiste el significado no tiene más función que la de hacer posible y orientar tal referencia. En la lógica medieval y moderna, lo que los estoicos llamaban significado ha sido expresado con otros nombres como connotación, intensión, comprensión, mientras que la referencia ha sido llamada suposición, denotación, extensión, significado.

Según los estoicos, un significado es completo si puede expresarse en una frase. Por lo tanto, sólo la proposición es un significado completo.

El razonamiento consiste en una conexión entre proposiciones simples del tipo siguiente: “si es de noche, hay tinieblas; pero es de noche, luego hay tinieblas”. Este tipo de razonamiento no tiene nada de común con el silogismo aristotélico, pues le faltan sus caracteres fundamentales: es inmediato (no tiene término medio) y no es necesario. La falta de estos caracteres permite que los estoicos distingan la concluyencia de un razonamiento de su verdad. El razonamientos antes expuesto es verdadero sólo si es de noche, pero es falso si es de día. Sin embargo, es concluyente en todo caso, porque la conexión de las premisas con la conclusión es correcta. Los tipos fundamentales de los razonamientos concluyentes los llaman los estoicos apodícticos o razonamientos no demostrativos. Son evidentes por sí mismos y son los siguientes: 1º) Si es de día hay luz. Pero es de día. Luego hay luz (A ® B; A; B [MP]); 2º) Si es de día hay luz. Pero no hay luz. Luego no es de día (A ®B; ¬B; ¬A [MT]); 3º) Si no es de día, es de noche. Pero es de día. Luego no es de noche (¬A ®B; A; ¬B); 4º) O es de día o es de noche. Pero es de día. Luego no es de noche (A ÚB; A; ¬B [SD1]); 5º) O es de día o es de noche. Pero no es de noche. Luego es de día (A ÚB; ¬B; A [SD2]). Estos esquemas de razonamientos son siempre válidos, pero no siempre son verdaderos, ya que son verdaderos solamente cuando la premisa es verdadera, es decir, corresponde a la situación de hecho. Sobre ellos se modelan los razonamientos demostrativos, que no sólo son concluyentes, sino que además manifiestan algo que antes era “oscuro”: o sea, algo que no es inmediatamente manifiesto a la representación cataléptica que se ve siempre limitada al aquíy ahora. El razonamiento demostrativo lo llaman los estoicos un signo indicativo por cuanto permite poner en claro que antes era oscuro. En cambio, son signos rememorativos aquellos que, en cuanto se presentan, hacen evidente el recuerdo de la cosa que primero ha sido observada en conexión con ellos y ahora no es manifiesta.

Uno de los temas más debatidos fue la lógica de los condicionales. Dos fueron las interpretaciones principales que se dieron acerca de las condiciones de verdad de los condicionales. Según Filón de Megara, los enunciados del tipo “si … entonces” sólo son falsos cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso; en todos los demás casos es verdadero. Este condicional fue denominado por Russell implicación material, y es el usado normalmente en lógica desde Frege.

Por contra, según Diodoro de Cronos, para que un enunciado condicional sea verdadero es menester, no meramente que no sea –en ese instante– el antecedente verdadero y el consecuente falso, sino que nunca sea el antecedente verdadero y el consecuente falso. De este modo, “si es de día entonces es de noche” es siempre falso, independientemente de cuando se emita. Como para Diodoro la verdad del condicional sólo se da si constituye una implicación material siempre verdadera, podemos llamarlo implicación material permanente. Hubo incluso quienes pensaban que sólo tiene sentido considerar a un condicional verdadero cuando se da algún tipo de relación entre el contenido del antecedente y el del consecuente, de modo que no sea posible que siendo el antecedente verdadero el consecuente sea falso. Esto es lo que en este siglo C.I. Lewis ha denominado implicación estricta. Este es el tipo de implicación que se da para Aristóteles entre las premisas y la conclusión de un razonamiento, de modo que el que las premisas de un razonamiento sean falsas no basta para justificar la validez del razonamiento, sino que es menester que si las premisas fueran verdaderas, la conclusión necesariamente lo sería. En suma, sólo en la implicación estricta el consecuente es deducible del antecedente.

2. Del medievo al álgebra lógica

La lógica medieval, –entendiendo por tal la que se desarrolla en el occidente cristiano durante la Edad Media, del s. XI al XV-, es heredera de la lógica griega y, en especial, de la silogística aristotélica. A.N. Prior destaca cuatro aportaciones nuevas y fundamentales de la Escolástica: (1) una teoría general de la referencia (suppositio terminorum), (2) una teoría general de la implicación (consequentia), (3) un desarrollo de la lógica de las modalidades, y (4) el tratamiento de paradojas y problemas lógicos del lenguaje. El primer tratado medieval de lógica es la Dialéctica, de Alcuino, obra escrita en forma de diálogo para ser utilizada en el trivium, base de la enseñanza elemental medieval, que Alcuino restaura a iniciativa del emperador Carlomagno. Durante un largo período de tiempo, la lógica queda relegada a estas nociones elementales de las artes liberales. La aparición de los «dialécticos» del s. XI y las primeras discusiones sobre la naturaleza de los universales renuevan el interés por la lógica y su relación con la gramática. El primer lógico medieval importante es Pedro Abelardo. Sus obras de mayor interés son la Dialéctica, en la que reelabora la herencia lógica dejada por Boecio, y Sic et Non, en la que introduce uno de los procedimientos más característicos del estudio de las cuestiones en la Escolástica. A partir de la segunda mitad del s. XII, se conocen ya en occidente el resto de obras lógicas de Aristóteles; la lógica basada en estas nuevas obras se conoció con el nombre de ars nova, o «nueva lógica», la usada ya en las universidades del s. XIII. La doble dirección en el estudio de la lógica que existió en éstas –por un lado, el estudio más formal de la lógica desarrollado con cierta libertad e independencia por las facultades de artes, basado en las primeras obras conocidas del Organon aristotélico, más Analíticos primeros, Tópicos y Elencos sofísticos, y por otra, un estudio de la lógica en consonancia con la metafísica aristotélica y Analíticos segundos, llevado a cabo por las facultades de teología, más fieles al pensamiento aristotélico- dio origen a la lógica antiqua, de las facultades teológicas, y a la lógica moderna, de las facultades de artes. El autor más representativo de esta lógica moderna es Pedro Hispano; sus obras de lógica, Summulae Logicales, fueron los manuales usuales durante los siglos XIV y XV, con más de 150 ediciones. A finales del s. XIII, la lógica moderna se instala en Oxford, donde consigue sus momentos más álgidos con Roberto Kilwarby, Juan Duns Escoto (aunque los tratados lógicos se atribuyen a un Pseudo-Escoto) y, sobre todo, Guillermo de Occam. La doctrina sobre las consecuencias, desarrollada de un modo especial durante esta época, representa una de las influencias de la lógica estoica sobre la medieval. «Consecuencia» es, para los medievales, un condicional o un argumento con la partícula «ergo» uniendo enunciados. Se discute intensamente cuáles son las condiciones de verdad tanto de los condicionales como de estos argumentos y se escriben al respecto tratados titulados De Consequentiis. Tales tratados, aunque no eran independientes de la lógica aristotélica, recogen algunas de las leyes fundamentales de la lógica de enunciados. Se añade la teoría de la suppositio, o de la significación de un mismo término según el lugar que ocupa en un enunciado. Estas teorías guardan relación con la teoría moderna de la cuantificación.

2.1 Boecio y el “cuadrado lógico de la oposición” de las proposiciones categóricas

En De philosophia rationali Apuleyo se interesa por las relaciones entre las cuatro proposiciones clásicas, que se dividen en universales, particulares, singulares e indefinidas. Una proposición es universal cuando el predicado es atribuido o negado con respecto a todos los entes abarcados por el sujeto: “todos los hombres (o: ningún hombre) son filósofos”. Tenemos una proposición singular cuando el predicado se afirma o se niega de un solo individuo: “Juan es filósofo”. Una proposición particular es aquella en la que el predicado se atribuye o se niega sólo de algunos de los entes abarcados por el sujeto: “algunos hombres son filósofos”. En la proposición indefinida el predicado se atribuye o se niega de un sujeto, pero sin precisas a cuántos individuos se hace referencia: “el tren corre”. Apuleyo, al tratar y analizar todas estas proposiciones, afirma que es conveniente presentarlas en quadrata formula, y las dispone de esta manera de conformidad con el siguiente cuadro:

En este cuadro aparecen las contradictorias (alterutrae), las contrarias (incongruae) y las subcontrarias (suppares). Faltan las subalternas.

Boecio vuelve a tomar el cuadrado lógico de Apuleyo, pero lo completa con la subalternación. Habla de proposiciones contradictoriae, contrariae, subcontrariae y subalternae. Introduce asimismo términos como “sujeto”, “predicado” y “contingente”. El cuadrado lógico completado y estructurado por Boecio se presenta del siguiente modo:

Más tarde los medievales indicarán mediante letras las cuatro proposiciones clásicas (véase Pedro Hispano). Colocando de manera oportuna las formas normales de las proposiciones categóricas, se obtiene el clásico cuadrado de la oposición:

donde A y E son una verdadera y la otra falsa, no pueden ser ambas verdaderas, pero pueden ser ambas falsas; A, O y E, I siempre son una verdadera y otra falsa, y no pueden ser ambas verdaderas ni ambas falsas; I y O resultan implicadas, respectivamente, por A y E.

Este cuadrado no fue concebido como un juego elegante, sino que se consideró que las relaciones lógicas ilustradas mediante el presente diagrama proporcionaban una base lógica que garantizaba la validez de ciertas formas elementales de razonamiento. Éstas eran las que concernían a las inferencias inmediatas, esto es, aquellas inferencias en las que la conclusión surge inmediatamente de la premisa, sin mediación de una segunda premisa. Así, un silogismo es una inferencia mediata, mientras que la inferencia: “todos los hombres son justos y, por eso, algún hombre es justo” es inmediata. El cuadrado tradicional nos ofrece la base lógica para un número considerable de inferencias inmediatas de este tipo, que pueden enumerarse así:

• Si A es verdadera: E es falsa, I es verdadera, O es falsa
• Si E es verdadera: A es falsa, I es falsa, O es verdadera
• Si I es verdadera: E es falsa, A y O son indeterminadas
• Si O es verdadera: A es falsa, E e I son indeterminadas
• Si A es falsa: O es verdadera, E e I son indeterminadas
• Si E es falsa: I es verdadera, A y O son indeterminadas
• Si I es falsa: A es falsa, E es verdadera, O es verdadera
• Si O es falsa: A es verdadera, E es falsa, I es verdadera

Otros tipos de inferencias son aquellos que se obtienen por conversión, por obversión y por contraposición. La conversión se realiza mediante el intercambio de las respectivas proposiciones de los términos del sujeto y del predicado de una proposición. En este caso, se trata de la conversio simplex y se aplica a E y a I; O no tiene proposición conversa, y A la tiene per accidens: además de cambiar la posición de los términos, es preciso cambiar también la cantidad de la proposición, de universal a particular. Por ejemplo: la conversa de “todos los perros son animales” es “algunos animales no son perros”. Se produce obversión cuando el término-sujeto permanece incambiado, y también permanece incambiada la cantidad de la proposición que se desea obvertir, pero se cambia la cualidad, sustituyendo el término-predicado por su complemento.

La obversión se aplica a los cuatro tipos de proposiciones categóricas. Estamos ante una contraposición cuando en una proposición categórica se sustituye su término-sujeto por el complemento de su término predicado y, al mismo tiempo, su término-predicado se sustituye por el complemento de su término-sujeto. La contraposición se aplica a A y a O; I no tiene proposición contrapuesta, y E sólo la tiene per accidens. Pueden resumirse así estos tipos de inferencias inmediatas:

CONVERSIÓN
Convertenda A: Todo S es P E: Ningún S es P I: Algún S es P O: Algún S no es P		Conversa Algún P es S (per accidens) E: Ningún P es S I: Algún P es S No existe conversa
OBVERSIÓN
Obvertencia A: Todo S es P E: Ningún S es P I: Algún S es P O: Algún S no es P		Obversa E: Ningún S es no-P A: Todo S es no-P O: Algún S no es no-P I: Algún S es no-p
CONTRAPOSICIÓN
Premisa A: Todo S es P E: Ningún S es P I: Algún S es P O: Algún S no es P		Contrapuesta A: Todo no-P es no-S O: Algún no-P no es no-S (por limitación) No existe contrapuesta O: Algún no-P no es no-S

Para Boecio las proposiciones hipotéticas son más generales que las categóricas: es posible expresar una proposición categórica a través de una proposición hipotética, pero no es posible llevar a cabo la operación inversa. Distingue entre dos tipos de proposiciones hipotéticas: el primer tipo se da cuando el consecuente está vinculado al antecedente de una manera accidental; en el segundo tipo, el consecuente es una consecuencia natural del antecedente. Por ejemplo, al decir “si el fuego es cálido, el cielo es redondo”, no pretendemos afirmar que el cielo es redondo porque el fuego sea cálido, sino sencillamente que al mismo tiempo que el fuego es cálido, el cielo es redondo.

2.2 Pedro Hispano

En las Summulae logicales aparecen por primera vez las vocales, palabras y versos mnemotécnicos que luego se emplearon corrientemente en la enseñanza de la lógica. Así, por ejemplo, se indica con la A la proposición universal afirmativa, con la E la universal negativa, con la I la particular afirmativa y con la O la particular negativa, con arreglo a los siguientes versos:

A adfirmat, negat E, sed universaliter ambae,

I firmat, negat O, sed particulariter ambae.

>Para indicar las figuras y los modos del silogismo emplea las palabras mnemónicas Barbara, Celarent, Darii, Ferio, etc., cuyas vocales indican la cantidad y la cualidad de las proposiciones que constituyen las premisas y conclusiones del silogismo.

En el libro 7 de esta obra incluye la lógica terminalista. Las propiedades de los términos son la suposición, la ampliación, la restricción, la apelación, la distribución. Pero la más importante de todas ellas es la suposición. La suposición se distingue de la significación en que, a diferencia de ésta, es propia no del término aislado sino del término en cuanto se repite en las proposiciones y constituye su dimensión semántica.

La suposición y la significación difieren en que la significación es la imposición de una voz a la cosa significada mientras que la suposición es la acepción del mismo término ya significante para cualquier otra cosa; por ejemplo, cuando se dice “el hombre corre” este término “hombre” alude a Sócrates, a Platón, o cualquier otro. La significación es antes que la suposición, pero no son idénticas ya que el significar es propio de la voz y el suponer lo es del término ya compuesto de voz y significación (Summulae, 6, 03).

Distingue entre suposición simple y suposición personal. Existe suposición simple cuando el término común se emplea para la cosa universal que el mismo representa, como cuando se dice “el hombre es una especie”: en cuya proposición el término “hombre” está en lugar del hombre en general y no por un individuo humano determinado. En cambio, hay suposición personal cuando el término común está en lugar de los individuos comprendidos por el mismo, como en la proposición “el hombre corre”, donde el término hombre está en lugar de los individuos humanos, o sea, en lugar de Sócrates, de Platón y de otros.

2.3 De Llull a Leibniz

En la Edad Media, el uso de la disputatio como ejercicio escolar produjo un desarrollo del arte de discutir, es decir, de la dialéctica propiamente dicha, y un estudio más intenso de la sofística; de ahí se derivaron análisis más detallados sobre las relaciones entre proposiciones y sobre el sentido de los términos. Por eso los lógicos componen tratados que dan las reglas a seguir en las disputationes, pero cuyo sentido en la historia de la lógica es sin duda más importante.

Junto a los tratados sobre las disputationes, se encuentran los tratados “sobre las controversias”, que estudian las inferencias entre proposiciones simples y compuestas y los sophismata. Un sophisma no es un sofisma, o por lo menos no lo es necesariamente (como la fallacia); es una proposición que contiene alguna dificultad, debido a una falta o a una ambigüedad de construcción, o a cualquier otra razón; esa proposición es estudiada por sí misma, y en la práctica escolar sirve de ocasión, en muchos casos, para que el maestro desarrolle un punto particular de la disciplina que enseña. Casos particulares de sophismatason: los “insolubles”, o proposiciones que, tomadas al pie de la letra, se contradicen (como “yo digo mentira”); los “imposibles”, en los que la contradicción no se solventa por una simple distinción lógica, como ocurre en el caso de los “insolubles”.

Además de la teoría de las consecuencias, los lógicos se ocuparon también de los términos y de sus relaciones en la proposición. Enumeraron y analizaron palabras tales como cada, todo, y, o, no…; su característica común es que no significan por sí mismas, sino que tienen que unirse a términos dotados de una significación propia o “categorema”; de ahí proviene su nombre, que es “sincategoremas”.

Otro concepto importante es el de “suposición”; se llama así a la acepción en que es tomado un nombre. Por ejemplo, en la frase “el hombre es animal”, la palabra hombre “supone por” una especie; en el “hombre corre”, por un individuo; en el “hombre es sustantivo”, por una palabra. Con la suposición hay que relacionar la “copulación”, que afecta del mismo modo al predicado. Queda aún la “amplificación”, caso en que un nombre es empleado para designar no sólo los objetos presentes, sino también los pasados, futuros y posibles: esto afecta necesariamente al sentido de la proposición en que se encuentra.

Lo que los lógicos medievales pretendían, en realidad, era estudiar el único instrumento de razonamiento de que se disponía: la lengua latina. Los lógicos construyeron un álgebra del lenguaje y se esforzaron mucho por disipar sus ambigüedades y extraer las reglas de su uso exacto.

2.3.1 Raimundo Lulio

Entre estos lógicos medievales destaca Ramón Llull. Llull piensa que el ser de las criaturas es como una imitación de Dios, y la naturaleza es como un libro en el que pueden leerse los designios de la divinidad. Pero para captar el orden divino deben establecerse unos principios generales. Dichos principios generales –que son los que estaban en la base de su Ars–, eran elementos simples a los que se reducen todas las proposiciones y, debidamente combinados, debían hacer posible una presentación unitaria, rigurosa y encadenada de todo el saber.

Llull menciona dieciocho principios generales. De ellos, nueve son los atributos divinos, que se obtienen a partir de maximizar en grado supremo las perfecciones de los seres creados: bondad, eternidad, grandeza, poder, voluntad, virtud, sabiduría, verdad y gloria. Los otros nueve señalan las relaciones entre los seres creados y contingentes: principio, medio, fin, contrariedad, diferencia, concordancia, minoría, igualdad y mayoría. Cada uno de estos elementos es representado por letras o por otros símbolos, y los combina entre sí, de manera móvil, en círculos concéntricos. Los diversos razonamientos para solventar todos los problemas (tanto de la religión como de las ciencias) surgían de todas las combinaciones posibles. Llull proyectó una especie de máquina con ruedas de conceptos, una especie de precursora de las computadoras, capaz de combinar y clasificar todos los conceptos, de manera que se pudiera discutir y razonar sin errores. Recurrió a diagramas, tablas, círculos gráficos y círculos concéntricos móviles (el más complejo de estos instrumentos es denominado figura univeralis, que posee catorce círculos concéntricos), dispuestos de modo que, a partir de los conceptos fundamentales, fuera posible hallar conceptos nuevos así como razonar acerca de ellos sin error. Creía, por tanto, en un fundamento lógico y racional universal, a manera de un cálculo, válido para todas las verdades, incluidas las de la religión.

Esto es posible, pensaba, porque hay un único fundamento racional, que afecta también a las verdades de la fe que, de esta manera, pueden demostrarse por deducción lógica. En tanto que los principios generales o elementos simples son el fundamento de todo lo real, para Llull hay una coincidencia entre lógica y ontología, y el auténtico conocimiento es una visión mística en Dios.

La lógica en la que se basaba era, fundamentalmente, la silogística de Aristóteles, que supone unos principios ciertos (que incluso los infieles han de aceptar), y consideraba que había la posibilidad de encontrar todos los términos medios posibles que unan cualquier sujeto con el predicado que le conviene. De esta manera, se podrían enumerar todos los predicados posibles de un sujeto y determinar de acuerdo con las reglas lógicas, cuáles le pertenecían. Pensaba que así incluso se podría demostrar lógicamente el misterio de la Trinidad. De esta manera, aunque basándose en la lógica demostrativa de Aristóteles, Ramón Llull la concebía como una lógica capaz de ser inventiva, que no se limita a resolver las verdades conocidas, sino que es capaz de descubrir las nuevas. Además de este cálculo general, que influyó decisivamente en Leibniz (y que, por intermedio de éste, se puede considerar un precedente de la lógica moderna), Llull defendió también una metafísica ejemplarista y un realismo neoplatónico, muy influido por el agustinismo que imperaba entre los franciscanos a los que Llull estaba próximo.

No obstante, en Llull se trata de poco más que de una idea visionaria. Fue Descartes quien concibió la idea de un lenguaje general como una suerte de aritmética, como parte del método de una filosofía verdadera, si bien se cuidó de tratar él mismo de constituir tal lenguaje y lo planteó como un proyecto para la posteridad.

2.3.2 Leibniz

Para Leibniz el saber conceptual se reducirá en último término a descubrir todas las combinaciones posibles de los primeros elementos primitivos y sus conexiones en este reino de las verdades esenciales. Ya a sus veinte años había escrito sobre un género de arte combinatoria, que tendría por cometido “hallar una especie de alfabeto de los conocimientos humanos, que permitiera, mediante la combinación de sus letras y el análisis de las palabras compuestas de aquéllas, descubrir y juzgar todo lo demás”.

Leibniz era un gran admirador de la silogística aristotélica, aunque no creía que todos los argumentos pudiesen ponerse en forma de silogismo; por ejemplo, los argumentos por inversión de la relación, como “Tito es más alto que Cayo. Por tanto, Cayo es más bajo que Tito”. Sin embargo, no llegó a crear una lógica de relaciones debido a que pensaba que éstas podían reducirse a conjunciones o concatenaciones de predicados monádicos. Sostuvo también que las figuras de los silogismos no son tres, sino cuatro, obteniéndose entonces veinticuatro, y no catorce, formas de silogismo válidos.

En De arte combinatoria pensó en la creación de una característica universalis o lenguaje simbólico universal que fuese un instrumento de cálculo del pensamiento. Su ideal era que las disputas y diferencias de opinión se pudiesen resolver mediante el cálculo. De acuerdo con eso, los disputantes se sentarían, tomarían sus plumas y dirían: “Calculemus”. Quería además crear una lógica del descubrimiento o lógica inventiva.

Leibniz ensayó varios cálculos lógicos: 1) trató de simbolizar los conceptos mediante números enteros, “aritmetizando” la lógica, 2) utilizó letras en lugar de números, 3) elaboró un cálculo de la inclusión, o sea, una lógica intencional, y 4) esbozó un cálculo con el concepto de sustracción (diferente del de negación) de las comprensiones de los términos.

De acuerdo con su tesis de que el concepto de predicado está incluido en el concepto de sujeto, intentó elaborar una lógica en que lo importante fuese la relación conceptual entre el predicado y el sujeto, independientemente de la existencia o no existencia del objeto designado por el sujeto. «En las escuelas [i.e., en la escolástica] hablan de otra manera, no considerando las nociones, sino ejemplos sujetos a nociones universales… En verdad, preferí considerar las nociones universales o las ideas y sus compuestos, porque no dependen de la existencia de los individuos». A la lógica basada en esta idea se le ha llamado lógica intensional.

En Algunas dificultades de la lógica, Leibniz propone dos lecturas de las proposiciones categóricas. Son las siguientes:

Todo A es B	AB = A	A no B es no-ente
Algún A no es B	AB ¹ A	A no B es ente
Ningún A es B	AB ¹ AB ente	AB es no ente
Algún A es B	AB = AB ente	AB es ente

En la versión de la segunda columna puede observarse que, dada la tesis de la contención o inclusión del predicado en el sujeto, tanto A como el predicado B están incluidos en el sujeto A, es decir, AB Ì A; pero también podemos ver que A Ì AB, y esto se debe a que para Leibniz todo enunciado o proposición, tanto de razón como de hecho, afirma en el fondo una identidad (o su negación). Si la identidad es una verdad de razón, ésta se demuestra en un número finito de pasos; si es una verdad de hecho, se necesita, para su demostración por parte de nosotros (no de Dios), un “análisis infinito”, es decir, una aproximación continua e interminable a una identidad que sólo es vista por la mente divina. La versión de la tercera columna muestra que todas las oraciones de sujeto-predicado, unidas por la cópula (llamadas oraciones de tercer adyacente) son equivalentes a oraciones en que el sujeto es la unión del sujeto y predicado, del cual se predica la entidad o la no entidad (oraciones de segundo adyacente).

2.4 La lógica de Port-Royal

Los lógicos de Port-Royal no conciben la lógica como una ciencia, sino como un arte: el arte que enseña no a combinar palabras y fórmulas, sino a pensar correctamente. Así, la lógica tiene que convertirse en un instrumento adecuado para servir a las demás ciencias. Por consiguiente, es inútil perder el tiempo con silogismos elaborados mediante ejemplos del todo artificiosos. Si la enseñanza quiere ser no sólo entretenida, sino también conseguir resultados valiosos y útiles, debe basarse en ejemplos de razonamientos que se utilicen de modo efectivo en los diversos ámbitos del saber, la literatura y la vida. Además, la lógica escolástica se propone ofrecernos las reglas de los razonamientos correctos, y su utilidad consiste sin duda en tales reglas. Sin embargo, «no debemos creer siquiera que tal utilidad vaya muy lejos, ya que la mayor parte de los errores humanos no consiste en verse engañados por consecuencias erróneas, sino en caer en juicios falsos, de los que se extraen consecuencias erróneas». Los hombres, en suma, razonan en general de un modo correcto, es decir, no se engañan al extraer determinadas consecuencias de las premisas; lo que ocurre es que a menudo juzgan equivocadamente, es decir, no saber establecer las premisas. En resumen: no es cuestión de corrección, sino que es problema de la verdad, por lo cual el arte de razonar (esto es, deducir consecuencias basándose en premisas) debe estar precedido por el arte de pensar (el arte que enseñe a establecer premisas válidas).

El pensamiento asume la forma de lenguaje, pero el lenguaje no debe enclaustrar o distorsionar el pensamiento. La forma lingüística no debe torcer o viciar las operaciones lógicas. Y «la función de la lógica, arte de pensar, consiste justamente en poner en claro el auténtico pensamiento que se halla debajo de las apariencias de la forma verbal, ayudándonos a remontarnos desde la forma hasta el significado. Éste es el que debe permitir una interpretación de la forma y no es la forma la que impone el significado». La noción de un pensamiento que está por debajo de las más diversas formas lingüísticas condujo a la concepción de una gramática general. La intención específica de dicha Gramática general es el llegar a aquellas estructuras fundamentales que rigen la mente humana en general, y que puede constatarse en el interior de las diferencias existentes entre las lenguas históricas.

2.5 Kant: lógica formal y lógica trascendental

Para Kant la intuición y los conceptos constituyen los elementos de todos nuestros conocimientos, de manera que ni los conceptos, sin que les corresponda de algún modo una intuición, ni la intuición, sin los conceptos, pueden darnos un conocimiento. Más aún, ninguna de estas dos facultades debe anteponerse a la otra. Sin sensibilidad no se nos daría ningún objeto y sin intelecto no podría pensarse ninguno. Los pensamientos sin contenido están vacíos; las intuiciones sin conceptos son ciegas. El intelecto no puede intuir nada y los sentimientos nada pueden pensar. El conocimiento sólo puede surgir de su unión.

Kant distingue entre la ciencia de las leyes de la sensibilida den general –la estética– y la ciencia del intelecto en general –la lógica. La lógica se divide en a) lógica general y b) lógica trascendental.

La lógica general prescinde de los contenidos y se limita a estudiar las leyes y los principios en general del pensamiento, sin los cuales no existiría una utilización del intelecto. Esta es la célebre lógica formal descubierta por Aristóteles y que, según Kant, nació casi perfecta, hasta el punto de que “no tuvo que dar ningún paso atrás” y se ha limitado a sufrir correcciones sólo de detalle.

A Kant, en la Crítica de la razón pura no le interesa la lógica formal, sino la trascendental, que no prescinde del contenido. ¿Cuál será el contenido que la lógica trascendental tiene por objeto, además de las formas mismas del pensamiento? Kant distingue entre conceptos empíricos y conceptos puros; los empíricos son aquellos conceptos que contienen elementos sensibles; puros, en cambio, son aquellos que no están mezclados con ninguna sensación.

2.6 El siglo XIX

Entre 1825 y 1900 el álgebra y la geometría experimentaron grandes cambios, que hacia 1900 dieron lugar a una nueva concepción de la filosofía de la matemática. Una ecuación es un enunciado que establece que dos grupos de números o de signos representativos de ellos son iguales. Hasta 1825 el álgebra no era sino la teoría de las ecuaciones. El fin de la teoría era obtener un conocimiento del modo en que tales ecuaciones podían ser manipuladas para asignarles valores numéricos que las hiciesen verdaderas, como también obtener un conocimiento de las condiciones que controlan la existencia entre esos valores numéricos. Las cuatro operaciones básicas se efectuaban siguiendo un criterio más o menos intuitivo, según los pasos que parecían más “naturales”. Las reglas que las apoyaban continuaban en la oscuridad. No se pensaba que fuese necesario el establecimiento de tales reglas.

Peacock adelantó la idea de que el álgebra es una ciencia deductiva como la geometría. Defendía, primero, que todos los procesos del álgebra habrán de estar basados en un establecimiento completo del cuerpo de leyes que conciernen a las operaciones utilizadas en esos procesos, no pudiéndose usar ninguna propiedad de una operación si no ha sido puesto de manifiesto que tal propiedad pertenece a esa operación, y no se ha establecido como una ley verdadera desde el comienzo o no ha sido obtenida por deducción a partir de las leyes iniciales. En segundo lugar, que los signos de las operaciones no tienen, a efectos deductivos, otros sentidos que aquellos que les han sido asignados por leyes.

En el siglo XIX también merece un lugar destacado la lógica de Stuart Mill. Para Mill la lógica es una elaboración posterior de nuestras intuiciones sensibles. Pero no todo es percepción inmediata; éstas son ciertas y contra ellas no hay apelación. Sin embargo, la mayor parte de nuestro saber lo obtenemos por deducciones. Después de las observaciones particulares siempre queremos establecer leyes generales y conceptos. Y estas leyes implican siempre una conexión y dependencia entre un A y un B, C, etc. En A System of Logic, Rationative and Inductive establece las siguientes reglas:

1. Método de concordancia: si dos o más casos, en los que tiene lugar un fenómeno, tienen una única circunstancia común, ésta es causa o efecto de aquel fenómeno.

2. Método de diferencia: si dos casos contienen un fenómeno W siempre que se da la circunstancia A, y no la contienen si A falta, W depende de A.

3. Método combinado de concordancia y diferencia: si varios casos, en que está presente A, contienen un fenómeno W, y otros casos, en que no está presente A, no contiene W, A es condición de W.

4. Método de los residuos: si W depende de A = A1, A2, A3, mediante la comprobación de las dependencias de A1 y A2, queda también comprobado en qué grado depende W de A3.

5. Método de las variaciones concomitantes: si un fenómeno W cambia siempre que cambia otro (fenómeno U), de modo que todo aumento o disminución de U va acompañadio de un aumento o disminución de W, W depende de U.

5.1 Boole

Probablemente puede considerarse El análisis matemático de la lógica de Boole como el nacimiento de la lógica matemática. Boole esta influido, además de por las ideas de la lógica clásica, por las de Hamilton y De Morgan, relativas a la teoría que se basaba en el cambio de las cuatro formas de enunciado categórico (A, I, E y O) en un número mayor en las cuales se toma en consideración la cuantificación del predicado. Por ejemplo, Hamilton advirtió dos tipos de enunciados universales: “Todo S es todo P” y “Todo S es algún P”. Si se tiene en cuenta también la cuantificación de predicados, entonces todo enunciado de la forma sujeto-predicado puede transformarse en una ecuación o en la enunciación de que esa ecuación es falsa, aproximando de este modo la lógica al álgebra.

En la teoría de Hamilton y De Morgan, S y P se convierten en signos de las cosas mismas que poseen las cualidades (y no como signos de cualidades, tal como ocurría en Aristóteles). Este es el cambio de “todo S es P” a “todos los S son P” (p.e., de “toda hoja es verde” a “todas las hojas son verdes”). Este cambio de un enfoque intensional (en términos de cualidades de las cosas) por uno extensional (en términos de clases de objetos) permitió una estricta matematización de la lógica, y así un avance más rápido, pues los conceptos extensionales siempre poseen unos criterios de aplicación más claros.

El nombre que se emplea en lógica y matemáticas para designar un grupo formado por todas las cosas que poseen una cierta propiedad es el de clase o conjunto, y de las cosas que poseen esa propiedad se dice que son elementos de la clase o del conjunto. Las ideas de clase y elemento son básicas en la matemática actual. El resultado de la teoría de Hamilton y De Morgan fue posibilitar una concepción de la lógica como un álgebra de clases. Y Boole fue el primero en tener claramente esta concepción.

Boole da cuenta de la antigua lógica como un álgebra, mostrando cómo los enunciados A, I, E y O pueden traducirse en forma de ecuaciones simples; cómo las consecuencias necesarias de cualquiera de estos enunciados pueden obtenerse algebraicamente partiendo de su ecuación correspondiente; cómo la validez de un silogismo puede comprobarse convirtiendo el grupo de enunciados que lo integran en un sistema de ecuaciones simples y viendo si la ecuación correspondiente a la conclusión puede ser obtenida algebraicamente a partir de las ecuaciones correspondientes a las premisas; y cómo si se dan ciertos enunciados como premisas de un silogismo, pero sin especificar conclusión alguna, es posible obtener algebraicamente de ellos una conclusión necesaria partiendo de sus correspondientes ecuaciones.

Pero Boole expuso, además, una teoría de la lógica de enunciados considerada como un álgebra. Como su teoría de la lógica de enunciados fue, en cuanto a la forma, la misma que la del álgebra de clases, fue el primero en ofrecer una teoría unificada de la lógica. De este modo, el álgebra de Boole es como una teoría con dos interpretaciones. Así, en álgebra de clases “1” significa “todo”, esto es, la clase de todos los elementos posibles, “0” es “nada”, o sea, la clase que no tiene por elemento nada que sea elemento de “todo”, “x + y” es la clase cuyos elementos son las cosas de “todo” que son elementos de x o y de y, pero no de ambos; “x ( y” es la clase de elementos comunes a x e y. Pero esas cuatro fórmulas significan respectivamente en lógica de enunciados: “lo verdadero”, “lo falso”, que x es verdadero o y es verdadero, pero no ambos, y finalmente que x es verdadero e y es verdadero. Traducido a notación actual tendríamos, por ejemplo, expresiones de la lógica de enunciados como “p ® q”, “p Ú q” o “p Ù q” que tienen sus equivalentes en álgebra de clases: “A >Ì B”, “A È B” o “A Ç B” respectivamente, y las leyes del álgebra tienen su equivalente en leyes de la lógica de enunciados.

6. La lógica simbólica

6.1 Gottlob Frege

El objetivo de Frege es fundamentar la aritmética y aclarar de una vez para siempre la naturaleza de los números naturales. Tal objetivo se condensa en lo que se conoce como programa logicista en la fundamentación de la matemática: reducir la aritmética a lógica, es decir, derivar los conceptos de la aritmética de conceptos lógicos y deducir los principios aritméticos de los principios lógicos.

Admitido por todos los matemáticos, a partir de 1872, que todos los conceptos de la matemática pueden reducirse a los de la aritmética y los de ésta a los números naturales, Frege adopta sobre sí la tarea de derivar estos últimos por medios estrictamente lógicos. Con ello lograría establecer que toda la matemática es reducible a la lógica. Para esta labor tiene que cumplir dos objetivos: (1) precisar qué entiende por lógica y enumerar los conceptos lógicos con los que poder definir los aritméticos; (2) demostrar que los teoremas aritméticos son derivables de los principios lógicos mediante el único proceso válido, la deducción. Esto último obliga a especificar cuáles son los primeros principios lógicos y cuáles son las reglas de inferencia. Y en vista de estos objetivos, Frege dará un primer paso: construir una lógica que le sea válida para su objetivo, una lógica del pensamiento puro, alejada de la influencia de la gramática y del lenguaje usual, para lo que debe crear un simbolismo adecuado. Esta tarea será acometida en la Conceptografía y en las leyes físicas de la aritmética.

En la Conceptografía señala que existen dos tipos de juicios, los analíticos y los sintéticos. Frege estima que los aritméticos son juicios analíticos, contra el sentir kantiano, pero entiende por juicio analítico aquel que puede derivarse, en forma estrictamente lógica, de las definiciones. No se tiene en cuenta, aquí, el contenido de dicho juicio, sino su derivabilidad. Explica, a continuación que la etapa inicial de su trabajo se centra en reducir el concepto de orden en una sucesión al de consecuencia lógica, para proceder desde allí al concepto de número. Para realizar esta tarea encuentra el lenguaje ordinario inadecuado. Agregará que una de las tareas de la filosofía debe consistir en liberar el espíritu humano de los errores que, en cuanto al concepto, presenta el lenguaje ordinario. En particular, debe eliminarse la confusa terminología entre “sujeto” y “predicado” en beneficio de “argumento” y “función”. Para conseguir estos fines, dedica su atención a construir un lenguaje de fórmulas, a semejanza del aritmético, pero que permita un análisis lógico del razonamiento matemático, del pensamiento puro.

Estos dos objetivos le llevan a dividir la Conceptografía en dos partes: en la primera dará una descripción semántica de los símbolos que emplea; en la segunda, realizará una representación sistemática, deductiva, de algunos juicios del pensamiento puro. En otras palabras, expone, en la primera parte, por vez primera, lo que hoy se conoce como lógica de primer orden –que incluye la lógica proposicional–. En el segundo apartado, aplicará su Conceptografía para definir, por los medios estrictamente lógicos, la noción de “sucesión”, y la de orden lineal o cadena, así como mostrar que el principio de inducción completa puede describirse por medio de su Conceptografía.

La Conceptografía no es una mera búsqueda de un simbolismo más o menos arbitrario y que refleje el lenguaje ordinario; su objetivo es conseguir un cálculo lógico al estilo de lo preconizado por Leibniz pero que, además, refleje el pensamiento puro; pues, para Frege, el signo es inseparable del contenido que representa. Según Frege, lo primero es el concepto; lo segundo, el signo con el cual se representa el concepto. El hombre no crea los conceptos, los aprehende; el hombre no crea sistemas matemáticos, sino que éstos preexisten conceptualmente al mismo; los contenidos conceptuales puros son independientes de que el hombre los perciba, imagine o piense. En lógica, en matemáticas, lo que importa es el pensamiento puro, no la génesis del mismo. Esta convicción lleva a Frege a oponerse a los métodos de Boole, porque Boole parte en su labor de la construcción de un cálculo formal que permite ulteriores interpretaciones distintas; para Frege ello equivale a partir del signo material para alcanzar el concepto. Y Frege insiste en que tales cálculos, por su punto de partida, se mostrarán impotentes para la expresión de los conceptos y relaciones estrictamente lógicos.

Para Frege, lo primero es el contenido conceptual o de juicio; lo segundo, el signo con que pueden representarse tales contenidos o pensamientos. Y un contenido que no hace referencia, en momento alguno, a los aspectos psicológicos. Una proposición lógica no es más que un signo compuesto con arreglo a una regla determinada; signo que posee un “sentido” que se mantendrá en cualquier lengua a la que se traduzca la proposición anterior. Y es este “sentido” el que Frege denomina pensamiento, independiente, por tanto, de la representación sensorial del mismo, de la actividad psicológica o espiritual más o menos subjetiva.

La Conceptografía pretende ser una conceptografía que permita la traducción a signos que reflejen las relaciones entre los conceptos simbolizados mediante un manejo por reglas estrictamente especificadas. «En realidad, yo no he querido hacer un simple calculos ratiocinator sino una lingua charaterica [sic] en el sentido de Leibniz». Y ello hasta el extremo de que si se partiera de un cálculo al estilo del álgebra lógica se está condenando a mantenerse en una especie de álgebra abstracta, vacía, mientras que puede concebirse una lingua characterica que no aboque en un cálculo por el mero cálculo. El cálculo no debe considerarse como otra cosa que como un complemento de dicha lingua.

Frente a los formalistas, que llegan a identificar numeral y número, Frege distingue tres planos: expresión, contenido judicativo de esa expresión y aserción o juicio del contenido o pensamiento. Lo único que importa en la Conceptografía es el contenido judicativo. “Los griegos vencieron a los persas en Platea” y “los persas fueron vencidos por los griegos en Platea” son dos expresiones diferentes, pero presentan el mismo pensamiento, el mismo contenido. Contenido que puede ser convertido en aserción, aunque sea independiente de tal aserción e incluso puedan existir contenidos que carezcan de la expresión asociada correspondiente. Ello conduce a rechazar la distinción entre sujeto y predicado, válida fundamentalmente para la expresión gramatical y no para el contenido judicativo ni para el conceptual. La única diferencia que importa entre contenidos judicativos es la que existe entre universales y particulares, porque dicha distinción lo es en cuanto a contenido conceptual y no sólo en cuanto a expresiones. De este modo quedan fuera de la lógica las viejas distinciones entre juicios categóricos, hipotéticos, disyuntivos… Igualmente, conduce a admitir que la negación se aplica a contenidos de juicios y no a la sola expresión de los mismos, contenidos a los que harán referencia, por modo exclusivo, las restantes constantes lógicas que explicitará Frege.

Desde este enfoque que diferencia radicalmente lógica de gramática y de teoría del conocimiento, Frege se ve obligado a rechazar la posibilidad de distinciones modales como tema propio de la lógica. Así, “es posible que la Tierra choque algún día con otro cuerpo celeste” es una expresión en la cual quien la afirma no conoce las leyes de las cuales pueda seguirse la negación; en otras palabras, una distinción modal de posiiblidades o de necesidad se refiere más al fundamento cognoscitivo que se tiene en el momento de enunciarla, que al contenido del juicio. Desde esta posición se invalida cualquier construcción lógico-modal.

Más arriba se ha dicho que Frege sustituye los conceptos de sujeto y predicado por los de argumento y función. ¿Cómo se hace esto? Sea una expresión como “La vaca come hierba”. Si en lugar de “La vaca” ponemos “la oveja”, la expresión seguirá siendo válida. Se puede reemplazar el término “vaca” por otros términos o, generalizando, por un lugar vacío: “( ) come hierba”, y ello de manera tal que, al cubrir ese espacio vacío por un término conveniente se tenga la expresión completa que podrá o no ser judicable. Y lo será cuando el término sea conveniente, en cuyo caso dicho término poseerá la propiedad indicada por la otra parte de la expresión; en nuestro ejemplo, “vaca” poseerá la propiedad de comer hierba. Todos aquellos términos que permitan cubrir el espacio vacío constituirán los argumentos, mientras que la propiedad que los mismos poseen, la de “comer hierba”, constituye la función para tales argumentos. Si ahora se toma la expresión “Jorge ama a Luisa”, en lugar de “Jorge” y “Luisa” pueden colocarse otros términos por argumentos, por lo que la expresión general tendría dos espacios vacíos “( ) ama a ( )” y la función “ama a” será una función de dos argumentos. El proceso puede continuar generalizándose para obtener funciones pluriargumentales.

Los espacios vacíos se representarán por letras entre paréntesis, como indeterminadas, mientras que la propia función se representará, igualmente, por una letra. Representación que Frege hace por “F(A)” para la función de un argumento y “F(A,B)” para la función de dos argumentos. Si al reemplazar “convenientemente” la letra entre paréntesis resulta que el contenido obtenido es capaz de ser convertido en juicio, en aserción, entonces es que el argumento satisface la función, es decir, posee la propiedad determinada por la misma.

Es el análisis de una proposición en letra funcional y argumento el que permite superar a Frege la distinción entre sujeto y predicado. Análisis por el cual puede establecerse uno de los logros más definitivos de la lógica matemática: la teoría de la cuantificación. Siguiendo con la función, puede ocurrir que todo término que se reemplace en el argumento de una función posea esta propiedad, con lo que estamos ante un cuantificador universal. La negación del cuantificador universal nos permite hacer aserciones existenciales.

La introducción de los cuantificadores universal y existencial le lleva a introducir las nociones de variable libre y variable ligada. El cuantificador universal debe estar sometido a que cualquier sustitución que pueda hacerse en una función tiene que dar un contenido que pueda convertirse en juicio: «Si una combinación de signos que siguen a un trazo de contenido puede convertirse en juicio, entonces esa posibilidad permanece inalterada por una sustitución» (parágrafo 11). La variable que acompaña al cuantificador aparece como una variable ligada y, por ello, es diferente a una variable libre.

6.2 Giuseppe Peano

Al principio, la lógica matemática se redujo a la teoría de clases. McColl fue el primero en sostener que la teoría de enunciados era más importante. Según su punto de vista, el fin de la lógica es sólo la teoría de enunciados y su principal partícula conectiva es alguna especie de implicación. La idea de que la raíz de la lógica matemática es la teoría de enunciados y no la teoría de clases y de que la implicación es su relación principal, cobró fuerza en seguida entre los precursores de la lógica, como Frege o Pierce. Ambos se interesaron por la lógica de enunciados como una rama del álgebra de clases, y la implicación jugó un papel esencial en sus sistemas. No obstante, antes de Peano nadie usó la lógica de enunciados para clarificar los argumentos de la matemática ordinaria, viendo así en la lógica un instrumento para aclarar y dar rigor al razonamiento matemático. Nadie antes de Peano puso de relieve que la implicación es la relación fundamental en matemáticas, por ser implicaciones casi todos los enunciados verdaderos en cualquier sistema matemático. Así, con Peano, se constató la posibilidad, gracias a la lógica, de poner todos los enunciados de la matemática –y no sólo la aritmética, como creía Frege– en forma de un lenguaje artificial de signos, y construir las demostraciones de todos los teoremas matemáticos mediante cambios y sustituciones de tales signos partiendo de axiomas y definiciones.

Para poner las demostraciones de las matemáticas de forma rigurosamente razonada, Peano emprendió la tarea de descubrir todas las ideas y leyes de la lógica que se usan en matemáticas y de inventar un conjunto de signos para la notación de esas ideas y la clara enunciación de esas leyes. Entre sus descubrimientos e invenciones destacan: a) la definición de una clase por medio e un enunciado de la forma: “la clase de los x tales que P(x)” (que simbolizó como “x Î px”); b) la idea de que los enunciados con variables libres difieren de un modo importante de los bivalentes; c) el uso de puntos en lugar de los signos (, ), [, ], para agrupar complejos de signos; d) el uso de signos diferentes a los matemáticos para las operaciones y relaciones lógicas cuando puede haber peligro de lectura errónea; e) la distinción clara de la relación de ser elemento de una clase respecto de la de ser parte de una clase; siendo denotada la primera por Î y la segunda por Ì; f) la idea de “el tal y tal” (tan usada luego por Russell) que resulta necesaria para el tratamiento de propiedades de las que tenemos que decir que las posee sólo un individuo; g) la notación del cuantificador universal escribiendo las variables en la parte inferior derecha del conector de enunciados; h) la notación del cuantificador existencial mediante $.

Pero, el logro más importante de Peano fue la formalización de la aritmética.

6.2.1 La formalización de la aritmética

Cuando contamos pasamos de una cosa a la siguiente, y cuando numeramos lo que estemos contando, pasamos de un número al siguiente (al que podemos llamar su sucesor); asimismo empezamos siempre a contar en algún punto, de modo que al numerar hay siempre un primer número que posee la singularizadora propiedad de no ser sucesor de ningún otro; por lo regular suponemos también que al contar no nos quedaremos sin números, de suerte que, por grande que sea el grupo de cosas que contemos, podremos continuar contando indefinidamente; es decir, suponemos que no hay un último número; finalmente, cuando ordenamos cosas contándolas queremos lograr la unicidad de tal orden, y para ello no contamos dos veces la misma cosa ni asignamos el mismo número a dos cosas distintas, requisito que podemos formular diciendo que no hay dos números (distintos) que tengan el mismo sucesor. Podemos reunir en una cómoda lista estas tan conocidas propiedades de la operación de contar del siguiente modo:

1. n es un número
2. el sucesor de un número es un número
3. no hay dos números que tengan el mismo sucesor
4. n no es el sucesor de ningún número
5. todos los números (naturales) tienen cierta propiedad, y sucede que

a. el primer número la tiene, y

b. si un número cualquiera la tiene, su sucesor asimismo la tiene

Este último axioma se refiere a la llamada inducción matemática, y enuncia la fuerte intuición aritmética que nos lleva a concluir, a partir de uno o dos casos, que algo lo cumplen todos los números.

Podemos caracterizar la relación “sucesor de” por sus propiedades formales; supongamos, en efecto, que tomamos dos números ordinales tales que y sea el sucesor de x; es evidente, entonces, que “si (xSy, no ySx)”, por lo cual consideraremos que la relación sucesor de es asimétrica; pero además es intransitiva, ya que “si zSy e ySz, no zSx”.

Los elementos del sistema formal de Peano son:

1. términos primitivos no definidos (“0”, “número” y “sucesor”);
2. los axiomas I a IV, en los que aparecen dichos términos primitivos; estos axiomas son las fórmulas o enunciados primitivos de la teoría, de los que se derivan, por demostración, todos los demás;
3. reglas de formación y transformación: son las reglas de construcción de fórmulas bien formadas (o enunciados admisibles) de la teoría, y las reglas de inferencia, que permiten “pasar” de un enunciado a otro;
4. definiciones que introducen términos definidos valiéndose de los no definidos, y que, por consiguiente, cabe eliminar efectuando la reducción a estos últimos (pero las deducciones facilitan los métodos de inferencia);
5. teoremas demostrables apoyándose en I) a IV).

Para nuestros fines adoptaremos la siguiente forma de los axiomas, empleando 0, número y sucesor (para abreviar, utilizaremos la notación Sx en lugar de sucesor de x, siendo x una variable que pueda representar cualquier número):

1. 0 es un número;
2. si x es un número, Sx será un número
3. no hay dos números que tengan el mismo sucesor
4. 0 no es el sucesor de ningún número
5. todos los números tienen la propiedad P si

a. P(0), y

b. si para cualquier x, P(x), P(Sx).

Definiciones para suma y multiplicación:

D1. Adición (“+”):

1. x + 0 = x

2. x + Sy = S(x + y)

D2. Multiplicación “·”:

1. x · 0 = 0

2. x · Sy = (x · y) + x

Como ejemplo de la utilidad de esta formalización, veamos la demostración de que 3 + 1 = 4

1. 0’ es un número (por los axiomas I y II)
2. 0’ = 1 (por definición)
3. (0’)’ es un número (en virtud de 1 y el axioma II)
4. (0’)’ = 1’ = 2 (por sustitución y definición)
5. 2’ es un número (en virtud de 3, de una sustitución y el axioma II)
6. 2’ = 3 (por definición)
7. 3’ es un número (en virtud de 5, de una sustitución y el axioma II)
8. 3’ = 4 (por definición)
9. (3 + 1) = (3 + 0’) (por sustitución y adición)
10. (3 + 1) = (3 + 0’) (por definición de adición (parte 2))
11. (3 + 0) = 3 (por definición de adición (parte 1))
12. (3 + 0)’ = 3’ = 4 (por sustitución y en virtud de 11 y 8)
13. (3 + 1) = 4 (por sustitución y en virtud de 9 y 12)

En este sistema formal, las expresiones “3”, “4”, “1” y “+” no significan más que lo que expresan sus definiciones a base de los términos primitivos, y, si atendemos sólo a los fines sintácticos, exactamente lo mismo podríamos haber escrito en su lugar, “A”, “B”, “C” y “%”, de igual manera que hubiera sido posible escribir “*”, “refunfa” y “expeditor” en lugar de los términos primitivos que hemos utilizado, “0”, “número” y “sucesor”. Los números ordinales proyectados por los axiomas de Peano representan relaciones de orden o sucesión, tales como “primero”, “segundo”, etc.

Si decimos de las cosas susceptibles de ser contadas que son miembros de conjuntos o clases de cosas, nos acercamos más a las intuiciones que tenemos acerca de ellas. Si adoptamos esta manera de expresarnos, lo que querremos decir al pronunciar uno será esa propiedad común compartida por todos los miembros de cierta clase, y cabrá sostener que cuanto sea uno constituirá una clase de un solo miembro, en virtud de su singular identidad como esa cosa. Ahora bien, puede decirse que todas las cosas del universo son idénticas a sí mismas, pero en la medida en que son discriminablemente únicas cada una de ellas tiene su propia identidad, o conjunto único de propiedades que la hagan ser esa cosa, y no otra; y semejantes clases de un solo miembro, o clases unitarias, comparten, a su vez, una propiedad: la de tener un solo miembro. De ahí que podamos definir el número cardinal uno como la clase de todas las clases con un solo miembro, o sea, la clase de las clases unitarias; análogamente, se define el cardinal dos como la clase de todas las clases dotadas de dos miembros, y el número cardinal cero como la clase de todas las clases carentes de miembros, o clase vacía.

Por consiguiente, podemos “entender” o “constituir” los números de tal modo que lleguemos a interpretar los números naturales a base de la cardinalidad, esto es, en el sentido de la numerosidad de los miembros de cada clase de clases igualmente dotadas de ellos, una vez generados los cardinales correspondientes a cada término sucesivo de la serie de los números naturales, 0, 1, 2, 3, …

Si partimos de “0”, adoptándolo como primer número, y lo entendemos como la clase vacía, podemos “generar” el segundo, o sea, “1”, como la clase cuyo único miembro sea la clase vacía; luego, la clase que contenga como único miembro la clase unitaria cuyo solo miembro es la clase vacía será 2, y así sucesivamente.

6.3 Russell y los Principia Mathematica

La obra Principia Mathematica de Russell y Whitehead es a la lógica moderna lo que el Organon de Aristóteles para la lógica clásica. Es la síntesis y culminación de todos los desarrollos de la segunda mitad del siglo XIX. La primera parte, titulada Lógica matemática, desarrolla la teoría de los juntores o conectivas (lógica de enunciados), la teoría de cuantores o enunciados con variables de individuo (lógica de predicados monádicos), y la teoría de clases y relaciones (lógica de predicados poliádicos) como un álgebra. La segunda parte, titulada Prolegómenos a la aritmética cardinal, se ocupa de las ideas necesarias para definir “número cardinal” y para poder construir una aritmética de los números cardinales con los pilares de la lógica. Los volúmenes 2 y 3 estudian en detalle las aritméticas de los números cardinales y ordinales, basándolas enteramente en la lógica.

6.3.1 La teoría de los tipos

En los Principios de la matemática Russell había sostenido que toda la matemática es reducible a la lógica. Pero no se ofrecía un desarrollo detallado ni de las definiciones ni de las demostraciones lógicas en términos de las cuales fundamentar las matemáticas. Esta es la tarea principal de los Principia.

El objeto primario de los Principia fue mostrar que toda la matemática pura se sigue de premisas puramente lógicas, y que emplea solamente conceptos definibles por medio de términos lógicos; ahora bien, aquí apareció una dificultad, conocida con el nombre de paradoja de Russell (la paradoja de la clase de todas las clases que no son miembros de sí mismas). La solución de este problema llegó cuando Russell se dio cuenta de que la dificultad residía más en la lógica que en las matemáticas y que, por tanto, era la lógica lo que había que modificar. ¿Cómo salvar tal dificultad?

El razonamiento de Russell es el siguiente: supongamos que tenemos n objetos ante nosotros, y que queremos saber de cuántos modos existen de elegir ninguno, algunos todos los n objetos. El número de modo es 2ⁿ; es decir, una clase de n términos tiene 2ⁿ subclases. Ahora bien, Cantor había demostrado que 2ⁿ es mayor que n. Aplicando esto a todas las cosas del universo, se llega a la conclusión de que existen más clases de cosas que cosas; de donde, las clases no son “cosas”, las clases son meramente conveniencias del discurso.

Dicho en otras palabras: dada cualquier función proposicional, fx, existe cierto rango de valores de x para los cuales esta función es “significativa”. Si a está en el rango, fa es una proposición verdadera o falsa. Además de sustituir la variable x por una constante, pueden hacerse otras dos cosas con una función proposicional: una es afirmar que siempre es verdadera; la otra, decir que algunas veces es verdadera. Hay, pues, tres cosas que pueden hacerse con una función proposicional: la primera es sustituir la variable por una constante; la segunda es afirmar todos los valores de la función, y la tercera es afirmar algunos valores o al menos uno de los valores. La función proposicional en sí misma no es más que una expresión. No afirma ni niega nada. Una clase, del mismo modo, es tan sólo una expresión.

Por otro lado, cuando afirmo todos los valores de una función fx, los valores que x puede tomar deben ser definidos, si lo que estoy afirmando ha de ser definido. Es decir, ha de haber un determinado total de posibles valores de x. Si ahora creo nuevos valores, definidos en términos de ese total, dicho total aparece por ello aumentado y, en consecuencia, los nuevos valores que a él se refieren se referirán a ese total aumentado.

Tendremos, por tanto, que distinguir entre proposiciones que se refieren a un determinado total de proposiciones, y proposiciones que no lo hacen. Las que se refieren a una totalidad de proposiciones nunca pueden ser miembros de tal totalidad. Podemos definir como proposiciones de primer orden las que no se refieren a una totalidad de proposiciones; proposiciones de segundo orden, a las que se refieren a totalidades de proposiciones de primer orden, y así ad infinitum. Mediante esta teoría, conocida como teoría de los tipos, logramos salvar la paradoja del mentiroso. Básicamente la teoría consiste en negar la posibilidad de la autorreferencia; es decir, no debemos nunca hablar de las proposiciones de un lenguaje L en ese mismo lenguaje L, sino que debemos utilizar un lenguaje L + 1.

6.3.2 La teoría de las descripciones

La teoría de las descripciones está considerada como la aportación más importante de Russell a la lógica. El punto central de esta teoría es que una frase puede contribuir al significado de una oración sin tener significado en absoluto aisladamente.

Para explicarla utilizaremos el ejemplo de Russell. ¿Expresa el enunciado “Scott es el autor de Waverley” una identidad o una tautología?. La respuesta de Russell es que este enunciado es claramente una identidad, porque cuando Jorge IV preguntó quién era el autor de Waverley, quería saber si Scott era el autor de Waverley, pero no quería saber si Scott era Scott.

Esto parece evidente; ¿dónde está, pues, el problema? Antes de Russell los lógicos solían pensar que si dos frases denotan el mismo objeto, una proposición que contenga a una de ellas puede ser reemplazada siempre por una proposición que contenga a la otra, sin dejar de ser verdadera, si era cierta, o falsa, si era falsa. Ahora bien, argumenta Russell, si esto fuese cierto la proposición verdadera “Jorge IV quiso saber si Scott era el autor de Waverley” se convierte (sustituyendo ‘el autor de Waverley’ por Scott) en la proposición falsa “Jorge IV quiso saber si Scott era Scott”. Esto demuestra, según Russell, que es necesario distinguir entre un nombre y una descripción. Scott es un nombre, “el autor de Waverley” es una descripción.

Otra diferencia entre nombre y descripción consiste en que, un nombre no puede aparecer significativamente en una proposición a menos que haya algo que denomine, mientras que una descripción no está sujeta a esta limitación. El no hacer esta distinción nos lleva a defender la existencia de objetos inexistentes, como en la famosa argumentación de Meinong sobre la montaña de oro. Meinong decía: si decís que la montaña de oro no existe, es obvio que hay algo que estáis diciendo que no existe, es decir, la montaña de oro; por tanto, la montaña de oro debe subsistir en algún oscuro mundo platónico del ser, porque, de otro modo, vuestra afirmación de que la montaña de oro no existe no tendría significado.

El punto esencial de la teoría de las descripciones es que, aunque la “montaña de oro” pueda ser gramaticalmente el sujeto de una proposición con significado, tal proposición, cuando se analiza correctamente, deja de tener tal sujeto. La proposición “la montaña de oro no existe” se convierte en «la función proposicional ‘x es de oro y una montaña’ es falsa para todos los valores de x». El enunciado «Scott es el autor de Waverley” se convierte en “para todos los valores de x, ‘x escribió Waverley’ es equivalente a ‘x es Scott’». Aquí, la frase “el autor de Waverley” ya no aparece.

La teoría de las descripciones, además, arroja luz sobre el significado de “existencia”. “El autor de Waverley existe” quiere decir «hay un valor de c para el cual es cierta la función proposicional: ‘x escribió Waverley’ es siempre equivalente a ‘x es c’». La existencia, en este sentido, puede afirmarse solamente de una descripción, y, cuando se analiza, se descubre que es un caso de función proposicional que es verdadera por lo menos para un valor de la variable. Podemos decir “el autor de Waverley existe” y podemos decir “Scott es el autor de Waverley”, pero “Scott existe” no es gramaticalmente correcto. En el mejor de los casos, puede interpretarse su significado como “la persona llamada ‘Scott’ existe”, pero (la persona llamada ‘Scott’( es una descripción, no un nombre. Cuando quiera que un nombre se emplea correctamente como tal nombre, no es correcto gramaticalmente decir “que existe”.

6.3.3 Los Principia Mathematica

En esta obra aparece la primera axiomatización de la lógica. Como es sabido, la lógica puede concebirse o bien como un sistema de reglas de deducción natural (reglas de inferencia) destinadas a su aplicación a los razonamientos del lenguaje ordinario, o bien como un cálculo. En este último caso se trata de un algoritmo bien definido, que no se refiere a nada y en cuanto tal carece de significado (excepto el puramente sintáctico) con vistas al estudio de sus propiedades metalógicas (como la consistencia, la completud o la decidibilidad). En un cálculo han de presentarse sólo los elementos imprescindibles –todos ellos perfectamente determinados– y en términos de éstos se irán construyendo los demás. Esto es, un conjunto de símbolos primitivos con los cuales se construirán los símbolos derivados, unas reglas de formación de expresiones bien formadas o fórmulas, y alguna regla de transformación de expresiones. Si a ello le añadimos un número de axiomas, esto es, de fórmulas tomadas como verdaderas por definición dentro del sistema, el cálculo se convierte en un sistema formal, y entonces se dice que el cálculo está axiomatizado.

En Principia Mathematica aparecen como símbolos primitivos

1. las variables proposicionales (p, q, r, s, etc.)
2. las conectivas: ¬, Ú
3. los diversos signos de puntuación ((),{}, [], etc.)

Como símbolos definidos aparecen:

Ù[(X Ù Y =def ¬(¬X Ú ¬Y)]

® [X ® Y =def ¬X Ú Y

« [X « Y =def {¬(¬X Ú Y) Ú ¬(¬Y Ù X)}]

Se emplean, además, cuatro reglas de formación:

1. una variable proposicional sola es una fórmula bien formada del cálculo
2. si X es una fbf, entonces ¬X también lo es
3. Si X e Y son fbfs, X ( Y también lo es
4. Estas son todas las reglas de formación el cálculo (esta última regla tiene un carácter metalingüístico respecto de las anteriores –y metalingüístico respecto al cálculo)– y se establece para dejar sentado que todas las reglas están explicitadas)

Aparecen, también, dos reglas de transformación:

a. Dada una tesis del cálculo en la que aparezcan variables de enunciado, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por fbfs del cálculo será también una tesis del cálculo; con tal de que cada variable sea sustituida siempre que aparece, y siempre por el mismo sustituto (regla de sustitución)

b. Si X es una tesis del sistema, y los es también X ( Y, entonces Y es una tesis del sistema (regla de separación o modus ponens)

Además, Russell y Whitehead formularon los siguientes seis axiomas:

1. lo que esté implicado por una premisa verdadero es verdadero
2. p Ú p ® p
3. q ® (p Ú q)
4. (p Ú q) ® (q Ú p)
5. [p Ú (q Ú r)] ® [q Ú (p Ú r)]
6. (q ® r) ® [(p Ú q) ® (p Ú r)]

Además de estas proposiciones primitivas, formulan el “axioma de identificación de variables reales”. Cuando tenemos aseveradas por separado dos funciones de x diferentes, en donde x es indeterminado, frecuentemente es importante saber si podemos identificar la x de una aserción con la x de la otra. Este será el caso si ambas aserciones presentan x como el argumento de alguna función, es decir, si f x es un componente de ambas aserciones o, con más generalidad, si f (x, y, z, …) es un constituyente en una aserción, y f(x, u, v, …) es un constituyente de la otra.

Con estos elementos pueden comenzar a deducirse todos los teoremas de la lógica elemental de enunciados. En realidad, como se demostró más tarde, incluso puede construirse un sistema entero de lógica de enunciados con menos elementos. Por ejemplo, puede usarse una sola conectiva para definir todas las demás: la barra de Sheffer (p | q que se lee “no conjuntamente p y q” o “p y q son incompatibles”).

Con los Principia Mathematica queda definitivamente establecida la lógica moderna como un sistema formal axiomático, plenamente simbolizado, en el que se unifican y se establecen claramente las relaciones entre la lógica de enunciados y la de predicados, los diversos tipos de predicados de primer orden, y los predicados de orden superior (la cuantificación de las variables de predicado).

El único borrón que se le puede achacar a este sistema son los resultados de Gödel de 1931, sobre la incompletud de los sistemas formales. Ahora bien, este no es un borrón de los Principia solamente, sino de cualquier sistema formal que podamos inventar y que, en definitiva, lo que viene a demostrar es que no podemos demostrar que las matemáticas no son contradictorias.

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